北师大版高中数学必修5同步练习：课时分层作业22简单线性规划的应用

课时分层作业(二十二)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．车间有男工25人,女工20人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有5名男工,3名女工,乙组要求有4名男工,5名女工,并且要求甲种组数不少于乙组,乙种组数不少于1组,则最多各能组成工作小组为()A．甲4组、乙2组B．甲2组、乙4组C．甲、乙各3组D．甲3组、乙2组5x＋4y≤25，x、y人,依题意有x≥y，y≥1.3x＋5y≤20，D[设甲、乙两种工作小组分别有作出可行域可知(3,2)符合题意,即甲3组,乙2组．]2．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为()【导学号：91022290】体积(m/箱)质量(50kg/箱)利润(102元/箱)3甲5252010乙托运能力A．4,142413B．3,2D．2,4C．1,45x＋4y≤24，A[设托运货物甲x箱,托运货物乙y箱,由题意,得2x＋5y≤13，x，y∈N，利润为z＝20x＋10y.由线性规划知识可得x＝4,y＝1时利润最大,故选A.]260万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,3且对每个项目的投资不能低于5万元3．某公司有,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为()A．36万元B．31.2万元D．24万元C．30.4万元B[设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则x＋y≤60，2x≥y，3z＝0.4x＋0.6y.x≥5，y≥5，由图像知,目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．∴y＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]max4．某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种至少买2套,问共有买法种数为()A．14C．16B．15D．17C[设票面8角的买x套,票面2元的买y套,由题意得x≥2，y≥2，0.8×5x＋2×4y≤50，x∈N，y∈N，＋＋x≥2，x∈N，＋即y≥2，y∈N，＋2x＋4y≤25.由25－2x≥4y≥8,得2x≤17,所以2≤x≤8,x∈N.当y＝2时,2≤x≤8,共7种；当y＝3时,2≤x≤6,＋有5种；当y＝4时,2≤x≤4,共3种；当y＝5时,x＝2,有一种．故共有7＋5＋3＋1＝16(种)不同的买法．]5．在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元C．2400元B．2200元D．2800元20x＋10y≥100，B[设需用甲型货车x辆,乙型货车y辆,由题目条件可得约束条件为0≤x≤4，目标函数0≤y≤8，z＝400x＋300y,画图可知(图略),当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时,z取得最小值2200,故选B.]二、填空题6．铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：2ab(万吨)1c(百万元)AB50%70%360.5某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为2________(百万元).【导学号：91022291】铁矿石的费用为z(百万元),[解析]设购买铁矿石A、B分别为x,y万吨,购买0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，则x≥0，y≥0.目标函数z＝3x＋6y,0.7y＝1.9，0.5x＋由x＋0.5y＝2，x＝1，得y＝2.可行域如图中阴影部分所示．记P(1,2),画出可行域可知,当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时,z取得最小值15.[答案]157．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩1.2万元每吨售价0.55万元0.3万元黄瓜韭菜4t6t0.9万元为使一年的种植的总利润最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________．[解析]设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x、y,则总利润z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y,x＋y≤50，此时x、y满足条件1.2x＋0.9y≤54，画出可行域知(略),最优解为(30,20)．x≥0，y≥0，[答案]30亩,20亩8．物流行业最近几年得种货物,已知某袋的体积、获得的利润,表列如下：到迅猛发展,某货运公司最近接了一批货物,决定采用厢式货车托运甲、乙两辆厢式货车所装托运货物的总体积不能超过40m3,总质量不能超过2t．甲、乙两种货物每质量和可货物甲每袋体积/m3每袋质量/t0.2每袋利润/元54300400乙0.3经过适当的调配,该厢式货车可获得最大利润为________元．[解析]设该辆厢式货车托运甲、乙两种货物的袋数分别为x,y,则其利润为z＝300x＋400y.由题意可得x,y所满足的条件如下：5x＋4y≤40，5x＋4y≤40，0.2x＋0.3y≤2，2x＋3y≤20，即x≥0，y≥0，x≥0，y≥0，x，y∈N，x，y∈N.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)内的整数点所示,作出目标函数对应的直线300x＋400y－z＝0.易知当直线经过点B时,目标函数取得最大值．5x＋4y＝40，4020可求得B，.由772x＋3y＝20，显然点B的坐标不是整数,故目标函数在可行域内该点附近的某整点处取得最大值．如图,将平面区域网络化,找出可行域内的整点,显然点B附近的整点为C(4,4),D(5,3),E(6,2),F(7,1)．则目标函数在C点处的值z＝300×4＋400×4＝2800；目标函数在D点处的值z＝300×5＋400×3＝2700；目标函数在E点处的值z＝300×6＋400×2＝2600；目标函数在F点处的值z＝300×7＋400×1＝2500.1234显然z最大,即该辆厢式货车托运甲种货物4袋,乙种货物4袋时,可获得最大利润．1最大利润为2800元．[答案]2800三、解答题9．制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g,乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g．已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g．甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.【导学号：91022292】[解]设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则目标函数为：z＝2x＋y.3x＋2y≤120，4x＋11y≤400，线性约束条件为4x＋6y≤240，作出可行域如图所示．x≥0，y≥0，作直线l：2x＋y＝0,将直线l向右上方平移至l的位置时,直线经过可行域上的点A时纵截距z最大,14x＋6y－240＝0，x＝24，得即z＝2x＋y取最大值．解方程组3x＋2y－120＝0y＝24.故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．10．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省？[解]将已知数据列成下表：原料/10g甲蛋白质/单位铁质/单位573104乙费用25x＋7y≥35，设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg,总费用为z,那么10x＋4y≥40，目标函数为z＝3x＋x≥0，y≥0，2y,作出可行域如图所示：3z3,得到斜率为－,在zy轴上的截距为,随把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋z变化的一簇平行直线．22223,当直线y＝－zz由图可知x＋经过可行域上的点A时,截距最小2,即z最小．2210x＋4y＝40，14得A，3,∴z＝3×5＋2×3＝14.4.14由55x＋7y＝35，min14∴甲种原料5×10＝28(g),乙种原料3×10＝30(g),费用最省．[冲A挑战练]1．为支援灾区人民,某单位要将捐献的100台电视机运往灾区,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可每辆甲型货车运输费用400元,可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元,可装电视机10供使用．台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为()【导学号：91022293】A．2800元C．2200元B．2400元D．2000元C[设调用甲型货车x辆,乙型货车y辆,则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100,即2x＋y≥10,设运输0≤x≤4，费用为t,则t＝400x＋300y,线性约束条件为0≤y≤8，作出可行域如图,2x＋y≥10，4t则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时,t取最小值2200,故选C.]33002．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需费耗工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需费耗工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元,甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间费耗工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱18箱,乙车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱B[设甲车间加工x箱原料,乙车间加工y箱原料,总获利为z,则x＋y＝70，x＝15，得画出可行域5x＋3y＝240，y＝55.故计划甲车间15箱,乙车间55箱时,每天获利最大．]3．如图3­4­4,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z＝2x＋3y的最大值为________．图3­4­421]把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋z,通过平移直线y＝－3332[解析x知,当过点A(2,1)时,z＝2x＋3y取得最大值为z＝2×2＋3×1＝7.max[答案]74．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B的利润之和的最大值为[解析]设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时生产一件产品A需要甲材料1.5kg,,生产一件产品________元．要求等其他限制条件,得线性约1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，束条件为x≥0，目标函数z＝2100x＋900y.y≥0，x∈N*，y∈N*，图3­4­1作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z＝2100×60＋900×100＝216000(元)．max[答案]2160005．某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元,小房间每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元,装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元,如果此人只能筹8000元用于装修,且游房间和小房间各多少间,能获最大利益？客能住满客房,他应隔出大【导学号：91022294】[解]设应隔出大房间x间和小房间y间,则18x＋15y≤180，6x＋5y≤60，1000x＋600y≤8000，5x＋3y≤40，即x≥0，y≥0，x≥0，y≥0，x，y∈N，x，y