四升五培优数学暑假班讲义

四升五培优数学暑假班讲义四年级培优数学暑假班第一讲：算式谜题。解决算式谜题需要找准突破口，推理时应注意以下几点：1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4.算式谜解出后，要验算一遍。例1：在下面的方框中填上合适的数字。□76×□□18□□□□□□31□□分析：由积的末尾是，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。练习一：在空格里填上适当的数。（1）6□（2）□2□□（3）285×35×□6×□□33□□□41□2□1□8□□7□□□□□□□□□□□□□9□□例2：在下面方框中填上适合的数字。分析：由商的十位是1，以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7，除数的个位是，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。练习二：在空格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。例3：下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？abcd×9dcba分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。练习三：求下列各题中每个汉字所代表的数字。（1）1华罗庚金杯×3华=罗=庚=华罗庚金杯1金=杯=（2）盼望祖国早日统一×一盼=望=祖=盼盼盼盼盼盼盼盼盼早=日=统=国=一=例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。分析：先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。（1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。123+45+6+7+8+9+10=100（2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。1+2+(3×4)÷5+6×7+8+9=100例5：在下面的式子里添上括号，使等式成立。(88+33-11)÷(11×2)=5分析：根据运算符的优先级，应先计算除法，再计算加减法，所以需要给除法加上括号。1、已知两数相除，商为19，若被除数扩大20倍，除数缩小4倍，求新的商。原先的被除数为x，除数为y，则有x/y=19。现在被除数扩大20倍，除数缩小4倍，变成了20x/(y/4)，即商变成了(20x/(y/4))/19=80x/y。所以新的商为80。2、已知两数相除，商为27，若被除数扩大12倍，除数扩大6倍，求新的商。原先的被除数为x，除数为y，则有x/y=27。现在被除数扩大12倍，除数扩大6倍，变成了12x/6y，即商变成了(12x/6y)/27=8x/9y。所以新的商为8/9。练习四1、已知小强把一个加数十位上的7错写成了1，个位上的8错写成了x，所得的和为285，求正确的和。设原先的加数为a，错写后的加数为b，则有a+7x+b+8=285，即a+b=280-7x。将7x错写成的数字代入得到a+b=231，所以正确的和为a+b+7x+8=239+7x。2、已知小亮把一个加数个位上的5错写成了3，另一个加数十位上的3错写成了8，所得的和为650，求正确的和。设原先的两个加数分别为a和b，则有a+5b=10x+y，错写后的加数为a+3b+8x+y，所以有a+3b+8x+y+5b=650，即a+8b+8x+y=650。将3和8错写成的数字代入得到a+8b+2=650，所以正确的和为a+b+8x+y+2=652。练习五1、已知小刚把减数个位上的9错写成了6，十位上的3错写成了8，所得的差为268，求正确的差。设原先的减数为a，错写后的减数为b，则有a-9+10b-30=268，即a+10b=307+9=316。将9和3错写成的数字代入得到a+10b=341，所以正确的差为a-b=341-268=73。2、已知小红把被减数十位上的x错写成了8，减数个位上的8错写成了3，所得的差为632，求正确的差。设原先的被减数为a，减数为b，则有a-x0-b=632，错写后的被减数为a-10x+b+80，所以有a-10x+b+80-x0-b=632，即a-10x+80-x0=632。将x错写成的数字代入得到a-10*8+80-0=632，所以正确的差为a-b=632-72=560。例1：已知两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍。求两箱原来各有茶叶多少千克？设甲箱原来有x千克茶叶，则乙箱原来有(96-x)千克茶叶。现在从甲箱取出12千克放入乙箱后，乙箱的茶叶重量变成了3倍的甲箱，即(96-x+12)=3x。解得x=28，所以甲箱原来有28千克茶叶，乙箱原来有68千克茶叶。1、甲、乙、丙三个人一起做某件事，甲比乙多做8个小时，丙比甲少做12个小时，他们一共做了多少小时？2、一个三角形的三个角分别是60度、70度和50度，这个三角形的周长是24厘米，它的面积是多少平方厘米？解答：练习一：1、设甲、乙原来各储蓄x、y元，则有x+y=2000，x-160=2(y+240)-20，解得x=1100，y=900，甲原来储蓄1100元，乙原来储蓄900元。2、设原来绵羊、山羊的只数分别为x、y，则有x+y=3561，x-60=y+100，2x-1=y，解得x=1187，y=2374，原来绵羊有1187只，山羊有2374只。练习二：1、设甲、乙、丙做的零件数分别为x、y、z，则有x=y+12，z=2x-20=y+38，x+y+z=？解得x=70，y=58，z=100，这批零件共有228个。2、设苹果树、桃树的棵数分别为x、y，则有x=3y，25x+15y-25y=140，解得x=105，y=35，果园里共有140棵树。练习三：1、设第三层放x双，第二层放x+7双，第一层放x+7+4双，则有3x+18+4x+28+x=120，解得第三层多放39双，第二层多放46双，第一层多放35双。2、设四个数分别为x、y、z、w，则有x=y+16，x=z+20，x=w-12，x+y+z+w=152，解得x=47，w=59，被除数是236，除数是59。练习四：1、设甲、乙、丙一共做了x小时，则有甲比乙多做8小时，丙比甲少做12小时，解得甲做了(x+8)/3小时，乙做了(x-8)/3小时，丙做了(x-4)/3小时，所以x=3(x+8)/3+3(x-8)/3+3(x-4)/3，解得x=60，他们一共做了60小时。2、设三角形的三条边长为a、b、c，则有a+b+c=24，cos60°=(b²+c²-a²)/(2bc)，sin60°=sqrt(3)/2，解得a=8，b=10，c=6，所以三角形的面积是sqrt(12×2×2×3)=12sqrt(3)平方厘米。1、已知被除数、除数的商和余数，求被除数。设被除数为x，除数为y，则有xy+7=5y+x+187，整理得4y=186-x，即x=186-4y。代入原式得5y+7=186-4y，解得y=23，代入可得x=79。2、已知被除数、除数的商和被除数、除数的和，求被除数和除数。设被除数为x，除数为y，则有xy+8=17y+x+y+501，整理得16y=493-x，即x=493-16y。代入原式得17y+509=493，解得y=8，代入可得x=125。1、已知刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。设李叔叔的存款为x，则刘叔叔原有存款为6x，取出1100元后剩余5x-1100，李叔叔存入1100元后剩余x+1100，根据题意有5x-1100=2(x+1100)，解得x=2500，代入可得刘叔叔原有存款为15000元。2、设小筐装菠萝x千克，则中筐装菠萝2x千克，大筐装菠萝8x千克。由中筐比大筐少装16千克得到2x=8x-16，解得x=4千克。因此，小筐装菠萝4千克，中筐装菠萝8千克，大筐装菠萝32千克。1、已知甜甜用12去除得到商为32余6，求蜜蜜用15去除得到的商。设蜜蜜用15去除得到的商为y，则有12×32+6=15y，解得y=26，因此蜜蜜用15去除得到的商为26。2、已知小虎把被除数1250误写成1205，得到的商为48余5，求正确的商。设正确的商为x，则有1205÷x=48……5，即1205=48x+5。由于正确的被除数为1250，代入得到1250=48x+5，解得x=25，因此正确的商为25。2、已知小芳把除数32错写成320，得到的商为48，求正确的商。由于除数扩大了10倍，正确的商应该是错误商的10倍，因此正确的商为48×10=480。1.确定图形的类型和特征，如长方形的长和宽、三角形的底和高等。2.根据题目所给的条件，利用相应的公式求解面积。3.注意单位的转换，如将平方厘米转换为平方米等。4.在解答过程中，注意细节，如小数点的位置等。练习：1.一个长方形的长是5.2米，宽是3.8米，它的面积是多少平方米？分析与解答：该长方形的面积为5.2米×3.8米=19.76平方米。2.一个直角三角形的底是12厘米，高是5厘米，它的面积是多少平方厘米？分析与解答：该直角三角形的面积为1/2×12厘米×5厘米=30平方厘米。3.一个圆的半径是3.5米，它的面积是多少平方米？分析与解答：该圆的面积为π×(3.5米)²≈38.48平方米。4.一个梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，高是8厘米，它的面积是多少平方厘米？分析与解答：该梯形的面积为1/2×(6厘米+10厘米)×8厘米=64平方厘米。5.一个正方形的面积是16平方米，它的边长是多少米？分析与解答：该正方形的边长为√16平方米=4米。1、细心观察图形特点，合理进行切割，以解决问题；2、从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。例1：一个长方形铁板，长18米，宽13米。如果长和宽各减少2米，面积比原来减少多少平方米？分析与解答：用新的面积减去原来的面积，得到减少的面积。新的面积是(18-2)×(13-2)=208平方米，原来的面积是18×13=234平方米。所以，面积减少了234-208=26平方米。练习一：1、一个长方形铁板，长18米，宽13米。如果长和宽各减少2米，面积比原来减少多少平方米？2、一个长方形地，长80米，宽45米。如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？例2：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？分析与解答：由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为12米。所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。练习二：1、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？2、一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。求这个长方形原来的面积。例3：下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。墙4米分析与解答：根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是(16-4)÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。练习三：1、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？2、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？例4：街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？分析与解答：将水泥路分成四个同样大小的长方形，每个长方形的面积为3平方米。因为水泥路宽1米，所以每个小长方形的长为3米。由图可知，正方形花坛的边长为小长方形的长减去水泥路的宽，即2米。因此，中间花坛的面积为2×2=4平方米。练习一：1、假设大正方形的边长为x，四个长方形的面积之和为64-4=60平方米。则每个长方形的面积为60÷4=15平方米。因为长方形的长和宽相等，所以长方形的长为√15米。2、设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x+4。由题可得：(x+4)²-x²=96。解得x=4，因此小正方形的面积为16平方厘米，大正方形的面积为496平方厘米。例5：将阴影部分剪下来，可以得到两个小长方形，它们的面积之和为181平方分米。再加上被剪掉的两个小长方形，可以得到一个长宽分别为8分米和5分米的长方形，面积为221平方分米。因此，原来正方形的边长为221÷13=17分米。练习五：1、设原来长方形的长为x，宽为y，则有xy-(x-5)(y-2)=66，化简得x+y=29。又因为剩下的部分是一个正方形，所以x-5=y-2，解得x=21，y=8。因此，原来长方形的面积为21×8=168平方分米。2、设原来正方形的边长为x，则有(x-8)²=x²-448，解得x=24。因此，原来正方形的面积为24×24=576平方厘米。例1：由题可知，刘俊每天读的页数是一个等差数列，首项为30，公差为3，末项为60，项数为11。因此，他读的总页数为(30+60)×11÷2=495页。练习一胡茜读了一本故事书，第一天读了20页，从第二天开始，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页，恰好读完，这本书共有多少页？解答：设这本书一共有x页，则第二天读了20+5=25页，第三天读了25+5=30页，以此类推，第n天读了20+5(n-1)页。最后一天读了50页，所以有20+25+...+20+5(n-1)+50=x，即(20+50)+(25+45)+...+(20+5(n-1))=x。等差数列求和公式可得，(20+50)+(25+45)+...+(20+5(n-1))=(n/2)(20+20+5(n-1))=15n^2+5n。因此，15n^2+5n=x。又因为最后一天读完了整本书，所以15n^2+5n=x，即15n^2+5n=x≤15n^2+30n+15=(3n+5)^2-10。因此，3n+5≥32，即n≥9。因为n是正整数，所以n≥9。又因为n≤20（最后一天读完书），所以9≤n≤20。因此，我们只需在9~20之间枚举n，判断是否满足15n^2+5n=x即可。最后得到x=1550。丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？解答：设丽丽一共学了x个单词，则第二天学了6+1=7个单词，第三天学了7+1=8个单词，以此类推，第n天学了6+(n-1)个单词。最后一天学了16个单词，所以有6+7+...+6+(n-1)+16=x，即(6+16)+(7+15)+...+(6+n-1)+16=x。等差数列求和公式可得，(6+16)+(7+15)+...+(6+n-1)+16=(n/2)(6+6+n-1)+16=3n^2+3n+16。因此，3n^2+3n+16=x。又因为最后一天学了16个单词，所以3n^2+3n+16=x，即3n^2+3n+16≤x<3(n+1)^2+3(n+1)+16。因此，3n^2+3n+16≤x<3n^2+9n+22。因为x是正整数，所以3n^2+3n+16≤x≤3n^2+9n+21。我们只需在1~16之间枚举n，判断是否满足3n^2+3n+16≤x≤3n^2+9n+21即可。最后得到x=816。想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？如果把“第11天”改为“最后一天”，则我们无法得知最后一天学了多少个单词，因此无法确定丽丽一共学了多少个单词。练习二有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？解答：假设有n把锁的钥匙搞乱了，则第一次开锁最多需要试n-1次，第二次开锁最多需要试n-2次，以此类推，第n次开锁最多需要试1次。因此，至多需要试1+2+...+n-1=n(n-1)/2次。又因为至多要试28次，所以n(n-1)/2≤28，即n(n-1)≤56。我们只需在1~10之间枚举n，判断是否满足n(n-1)≤56即可。最后得到n=7，因此有7把锁的钥匙搞乱了。有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？解答：由于每个盒子里的羽毛球只数必须是正整数，所以10个盒子里的羽毛球只数之和必须是44的因数。而44=2^2×11，因此44的因数有1、2、4、11、22、44。我们只需在10个盒子中选出若干个盒子，使它们里面的羽毛球只数之和等于1、2、4、11、22或44即可。根据奇偶性可知，只能选出偶数个盒子，因为1、11、22都是奇数。又因为44只羽毛球不能被分成两个奇数之和，所以不能选出所有盒子。因此，我们只需在1~9之间枚举选出的盒子数，判断是否能选出若干个盒子，使它们里面的羽毛球只数之和等于2、4、22或44即可。最后得到可以选出6个盒子，使它们里面的羽毛球只数之和分别为4、4、4、4、8、20。因此，可以把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等。练习三在一次同学聚会中，一共有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？解答：一共有43+4=47人，他们每个人都要握手，因此一共握了(47×46)/2=1081次手。假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？解答：假设有n个同学相约互通电话，则每个同学都要打n-1次电话，因此一共打了n(n-1)次电话。又因为一共打了78次电话，所以n(n-1)=78。我们只需在1~12之间枚举n，判断是否满足n(n-1)=78即可。最后得到n=12，因此有12位同学相约互通电话。想一想：如果每人互通3次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？如果每人互通3次电话，他们一共打了78次电话，则每个同学都要打3(n-1)次电话，因此一共打了3n(n-1)次电话。又因为一共打了78次电话，所以3n(n-1)=78。我们只需在1~9之间枚举n，判断是否满足3n(n-1)=78即可。最后发现没有整数解，因此无法确定有多少位同学相约互通电话。练习四求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。解答：首先应该弄清楚这题是求999个连续自然数的数字之和，而不是求这999个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~999这1000个数的数字之和。这1000个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+0=9，一共有1000÷2=500对，所以，1~999这999个连续自然数的所有数字之和是9×500=4500。这篇文章介绍了还原问题的解决方法——倒推法。还原问题是指已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数。解决这类问题通常需要倒推法。如果遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决。文章通过三个例子来说明倒推法的应用。在第一个例子中，小刚的奶奶的年龄是通过一系列加、减、乘、除运算得到的。倒推法可以帮助我们逆向思考，从最后一个条件开始向前推算，找到原数。这个例子的答案是79岁。在第二个例子中，商场出售洗衣机的数量是通过一系列售出和剩余的数量得到的。同样地，倒推法可以帮助我们逆向思考，从最后一个条件开始向前推算，找到原数。这个例子的答案是480台。在第三个例子中，三个人共有60本故事书，其中两个人之间进行了多次借书和还书的操作。倒推法可以帮助我们逆向思考，从最后一个条件开始向前推算，找到原数。这个例子的答案是小明有16本书，小强有23本书，小勇有21本书。练习部分提供了两个问题，可以帮助读者练习倒推法的应用。在解决这些问题时，读者可以先从最后一个条件开始向前推算，找到原数。练习三1、设甲、乙、丙原本各有x、y、z张贺年卡，根据题意列出方程组：x+y+z=90x-3=y+5(y+5)-23=(z+3)+13化简得到：x-2y+z=-8x+y+z=90解得x=71，y=32，z=27，因此甲、乙、丙原本各有71、32、27张贺年卡。2、设小红、小丽、小敏原本各有x、y、z张年历，根据题意列出方程组：x-13=yy+23=zz-3=x化简得到：x-y+z=3x+y+z=120解得x=42，y=29，z=49，因此小红、小丽、小敏原本各有42、29、49张年历。练习四1、设甲、乙、丙原本各有x、y、z个玻璃球，根据题意列出方程组：y=x+zx=y+zz=x+y化简得到：x+y+z=48解得x=y=z=16，因此甲、乙、丙原本各有16个玻璃球。2、设上、中、下三层书架原本分别有x、y、z本书，根据题意列出方程组：x+y+z=192x-y+z=0x+y-z=64解得x=96，y=48，z=48，因此上、中、下三层书架原本分别有96、48、48本书。例5：设甲猴最初准备拿x个桃，根据题意列出方程：x-26/2-(26/2)/2+5=(26/2)/2+5化简得到：x=39因此甲猴最初准备拿39个桃。题目一：已知每间宿舍可住6人时，16人没有床位；每间可住8人时，多出10个床位。求宿舍数量和学生人数。解答：设宿舍数量为x，学生人数为y。根据题意，可以列出如下方程组：6x+16=y8x-10=y将第一个方程式乘以2，得