完全平方公式／平方差公式的认识及应用讲义

完全平方公式／平方差公式的认识及应用讲义本节将学习完全平方公式和平方差公式的认识及应用。在上海初一的学生中，学校已经教授了整式乘法，但由于学生基础较差，学生反映学校进度太快，所以测试得分只有三十分左右。分析了学生情况后，主要原因是学生对新知识只知道个大概，但完全不会应用。因此，本节课将按题型由简到难划分，主要培养学生的解题能力，并在课程前部分带学生回顾基础知识及推论（2-3小时课程）。本节的教学目的有两个方面：一是经历乘法公式的探求过程，理解其意义，并知道与多项式乘法法则的关系；二是熟悉乘法公式的特征，掌握乘法公式及其简单运用（重难点）。在教学设计中，首先进行复习乘法公式的基础形式并总结相关重点推论，将学生掌握不准确的知识点或易错点给予补充。接下来，进行知识梳理，重点讲解平方差公式和完全平方公式。平方差公式的特点是左边是两个项式相乘，两个项中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。完全平方公式的特点是在公式（a±b）²=a²±2ab+b²中，左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式。其中有两项是左边括号内每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定。本公式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央。同时，本节还讲解了完全平方公式的几种常见变形。通过本节课的教学，学生将掌握乘法公式的特征，理解乘法公式的意义，并能够熟练运用平方差公式和完全平方公式解题。2.平方差公式平方差公式是指两个数的平方差可以表示成一个算式，即：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式可以用来简化一些数学计算，例如：(a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2(a+3)(a-3)=a^2-9另外，平方差公式还可以推广到三个数的平方和的情况，即：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc5.其他内容除了平方差公式，还有一些其他的内容需要拓展：-完全平方公式的表示-完全平方公式的结构特征-完全平方公式的应用-完全平方公式的变形6.完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示成一个完全平方加上一个常数，即：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2这个公式可以用来简化一些二次多项式的计算，例如：x^2+6x+9=(x+3)^2y^2-8y+16=(y-4)^2完全平方公式还可以用来解决一些几何问题，例如：在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的正方形，把余下的部分拼成一个矩形。根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以得到以下等式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2因此，正确答案为A。2.下列计算中可以用平方差公式的是：A.(a+2)(a-2)B.(a+b)(b-a)C.(-x+y)(x-y)D.(x^2-y)(x+2y)根据平方差公式，只有A和D可以使用，因此正确答案为AD。借题发挥：1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的正方形，把余下的部分拼成一个矩形。根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以得到以下等式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^22.一块长方形土地的长和宽分别是2x+1和3x-2，如果从这块土地的四周各挖去一个正方形，使得剩下的部分面积最大，那么剩下的部分的面积是多少？根据题意，可以列出以下等式：(2x+1-2y)^2+(3x-2-2y)^2=(2x+1)(3x-2)-4y^2其中y表示挖去的正方形的边长。将等式右边的式子展开，化简后得到：5x^2-4x-8y^2+8y+5=0这是一个二次函数，求得其顶点坐标为：x=2/5,y=1/5因此，剩下的部分的面积为：(2x+1-2y)(3x-2-2y)=(4/5)(7/5)=28/251.(x+y-2)(x-y+2)2.说明：将分子分母分别展开，然后合并同类项，得到的结果中n的系数是相同的，因此与n无关。3.化简：2x^2-2y^2，求值：-1/2。4.化简：(2a+3b)^2/(3a-b)+(b+2a)(b-2a)，求值：-5/3。5.已知x-1+y^2+4y+4=0，求(xy)^2的值。6.已知：x^2-6x+9+(y+2)^2=25，求yx的值。7.利用乘法公式计算：(1)1320(2)600(3)360596(4)901.96(5)9801(6)9982(7)400640(8)408.已知m+n=8,mn=15，求m^2+mn+n^2的值。9.已知a-b=2,ab=1，求(a+b)^2的值。10.(1)m块糖；(2)n块糖；(3)(m+n)(m+n+1)/2块糖；(4)第三天得到的糖块数多，多m+n块糖，因为第三天的孩子数更多。4.先化简后求值：$(x-3)(x+4)-2(x+5)(x-5)$，其中$x=-10$。解方程：$(x+1)(x-1)-(x^2-2x)=4$。化简后求值：\begin{align*}&(x-3)(x+4)-2(x+5)(x-5)\\=&x^2+x-60\\=&(x+10)(x-6)\end{align*}代入$x=-10$，得$(x+10)(x-6)=0$，因此$x=-10$时原式的值为$0$。解方程：\begin{align*}&(x+1)(x-1)-(x^2-2x)=4\\\Rightarrow&x^2-1-x^2+2x=4\\\Rightarrow&x=3\end{align*}因此方程的解为$x=3$。6.若多项式$x^2+ax+169$是一个多项式的平方，求$a$的值。设$x^2+ax+169=(x+b)^2$，展开得$x^2+ax+169=x^2+2bx+b^2$，比较系数得$a=2b$。又因为$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$，所以$169=b^2$，解得$b=13$。因此$a=2b=26$。7.请认真分析下面一组等式的特征：$1\times3=2^2-1$，$3\times5=4^2-1$，$5\times7=6^2-1$，$\cdots$，$11\times13=12^2-1$，$\cdots$，这一组等式有什么规律？将你猜想到得规律用一个含字母$n$的式子表示出来。观察等式左边的数的规律，可以发现它们都是连续的奇数，即$2n-1$。观察等式右边的数的规律，可以发现它们都是相邻的平方数之差，即$(n+1)^2-n^2=2n+1$。因此，猜想到的规律为：$$(2n-1)\times(2n+1)=(n+1)^2-1$$8.已知一个正方形的边长是$(a+3)$cm，从中挖去一个边长是$(a-1)$cm的正方形，求剩余部分的面积。正方形的面积为$(a+3)^2$，挖去的正方形