因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解培优题（超全面、详细分类）因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。初中阶段常用的因式分解方法如下：.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。.考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法;（4）分组分解法。一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如:分析：型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。例题4：分解因式:(x2-7x+6)(x2-x-6)+56.例题5：分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.例题6：分解因式：4(3x2-x-1)(x2+2x-3)-(4x2+x-4)2.提示：可设3x2-x-l=A,x2+2x-3=B,则4x2+x-4=A+B。例题7：分解因式：x6-28x3+27.例题8：分解因式：(a-b)4+(a+b)4+(a2-b2)2.因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法中，我们经常将同类项合并为一项，或将符号相反的同类项相互抵消。在因式分解中，我们需要恢复合并或抵消的项，即通过拆项或添项的方式将多项式重组，以便使用分组分解法进行因式分解。需要注意的是，拆项和添项的具体方法并没有固定的规律,需要根据题目的特点进行观察和变换。因此，拆项和添项是因式分解中最具技巧性的方法之一。1、分解因式:x3-9x+8.2、分解因式：1)x3-3x2+4x2+2(a+b)x-3a2+10ab-3b2x4-7x2+lx4+x2+2ax+l-a2x+y+(x+y)2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4x3+3x2-4x4-llx2y2+y2x3+9x2+26x+24x4-12x+323Il)x4+x2+lx3-llx+2013)a5+a+lx-y+4x+6y-52215)(l-a)(l-b)-4ab七、待定系数法1、分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6.2、⑴当m=5时,多项式x2-y2+mx+5y-6能分解因式为(x-2y+3)(x+3y-2)oa+b=-11.p=-l,分解因式为(x-3)(x-2y+2)。k=2,分解因式为(x分)(x+2y+1)。八、余式定理(试根法)1、f(x)的意义：已知多项式f(x),若把X用C带入所得到的值，即称为f(x)在x=c的多项式值，用f(c)表示。2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式f(x)除以g(x)所得的商式为q(x),余式为r(x),则:f(x)=g(x)xq(x)+r(x)0余式定理是指多项式$f(x)$除以$(x-b)$所得到的余数为$f(b)$,除以$(ax-b)$所得到的余数为$靖6^^}{2})$。例如，当$f(x)=xA2+x+2$除以$(x-1)$时，余数为$f(1)=1A2+1+2=4$。又如，当$£仪)=9*+6*-7$除以$(3x+l)$时，余数为$f(-\frac{1}{3})=9(-\frac{1}{3})+6(-\frac{1}{3})-7=-8$。因式定理是指，设$a,b\in\mathbb{R}$,$a\neqO$,$f(x)$为关于$x$的多项式，贝I$(x-b)$为$f(x)$的因式当且仅当$f(b)=O$,$(ax-b)$为$f(x)$的因式当且仅当$f(\frac{b}{a})=0$o整系数一次因式检验法是指，对于整系数多项式$f(x)=c_nxAn+c_{n-l}xA{n-l}+\cdots+c_lx+c_O$,若$ax-b$为$f(x)$的因式(其中$通$为整数,$a\neqO$,且$趾$互质)，则有以下结论：(1)$ac_0=b\cdotc_n$,$bc_0=a\cdotc_n$；(2)$(a-b)f(l)=(a+b)f(-l)$o例如，i^$f(x)=3xA3+2xA2-19x+6$,则$f(x)$的因式为$(x-1)$和$(3x-2)$。又如，将以下多项式分解因式：(1)$x%+4$,(2)$4xA3-31x+15$,(3)$3xA3-7x+10$,(4)$xA3-41x+30$,(5)$xA3+4xA2-9$,(6)$xA3+5xA2-18$,(7)$xA3+6xA2+llx+6$,(8)$xA3-3xA2+3x+7$,(9)$xA3-llxA2+31x-21$,(10)$xA4+1987xA2+1986x+1987$, (11)$xA4-l998xA2+1999x-1998$,(12)$xA4+1996xA2+1995x+1996$,(13)$xA3+3xA2y+3xyA2+2yA3$,(14)$xA3-9axA2+27aA2x-26aA3$,(15)$4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3xA2$,(16)$(x+6)(x+8)(x+14)(x+48)+12$,(17)$(xA2+x+4)+8x(xA2+x+4)+15xA2$,(18)$2(xA2+6x+1)+5(xA2+6x+1)(x+1)+2(x+1)$,(19)$xA4+xA2yA2+yA4$,(20)$xA4-23xA2yA2+yA4$。1、证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方。假设这四个连续整数为n-l.n。n+l.n+2,则它们的乘积为(n-l)(n)(n+l)(n+2)。将其展开可得n八4+2M3-nA2-2n-1.将1加入其中得至UnA4+2nA3-nA2-2n,即(nA2+n)A2-4n=(nA2+n-2)(nA2+n+2)o因此，四个连续整数的乘积加1是整数的平方。2、2n-l和2n+l表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除。2n+l)A2-(2n-l)A2=8n,因此这两个连续奇数的平方差能被8整除。3、已知248-1可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数。248-1=3*83*31,因此这两个整数必须是83和31的倍数,即4980和2170.4、已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数。724-1=19*13*23,因此这两个整数必须是13和23的倍数,即520和920.5、求证：817-279-913能被45整除。817-279-913=45*11,因此能被45整除。6、求证：146+1能被197整除。146+1=197*1,因此能被197整除。7、设4x-y为3的倍数，求证：4x^2+7xy-2yA2能被9整除。将4x-y表示为3n,则4xA2+7xy-2yA2=4xA2+6xy+xy-2yA2=3(4xA2+6xy+xy-2yA2)=3(2x-y)(2x+3y),因此能被9整除。8、已知x+xy-2y=7,求整数x、y的值。将式子变形得到x(l+y)=2y+7,因此x=(2y+7)/(1+y)。由于x是整数，因此(2y+7)%(l+y)=0.通过试除法可得y=5,x=3.9、求方程6xy+4x-9y-7二的整数解。将式子变形得到(6y・9)x=9y+7-4,因此(9y+7-4)%(6y-9)=0.通过试除法可得y=2,x=5.10、求方程xy-x-y+l=3的整数解。将式子变形得到xy-x-y=-2,因此(x-l)(y-l)=-3.因为-3只有两个因数1和-3,所以只有两组整数解：(x,y)=(4,-2)或(2,・4)。11、求方程4xA2-4xy-3yA2=5的整数解。将式子变形得到4xA2-4xy-3y八2-5=0,因此△=16yA2+48+60k必须是完全平方数。通过试除法可得k=2,y=2,x=3或y=-2,x=-3.12、两个小朋友的年龄分别为a和b,已知a八2+ab=99,则a=3,b=ll.将式子变形得到a(a+b)=99,因为99只有3*3*11这一种分解方式，所以a=3,b=l1.13、计算下列各题：1)23x3.14+5.9x31.4+180x0.314=73.22+185.86+56.52=315.6.2)-2x-1996=-1996=-.14、求积(l+l/2)(l+l/3)(l+l/4)…(1+1/100)的整数部分。将每个括号展开得到2/2*3*4*...*100+3/3*4*...*100+...+100/100=1/2+1/3+...+1/100.用调和级数的估值公式可得1/2+1/3+…+1/100V1+1/2+1/3+…+l/99<l+ln(99尸5.61.因此积的整数部分为5.15、解方程：(x△2+4x)八2-2(xA2+4x)-15=0.将式子变形得到(x八2+4x-5)(xA2+4x+3)=0,因此x=-5或x=-l±42.16、已知ac+bd=0,贝Uab(cA2+c1A2)+cd3A2+bA2)的值等于2abcdo将式子变形得到ab(cA2+dA2)+cd(aA2+bA2)=ac(bd)+bd(ac)=2abcdo17、已知a-b=3,a-c=326,求(c-b)[(a-b)+(a-c)(a-b)+(a-c)]的值。将(a-b)+(a-c)展开得到2a-b-c,因此(c-b)[(a-b)+(a-c)(a-b)+(a-c)]=3(c-b)(2a-b-c)=3(c-b)(a-b)+(c-b)(a-c)=3(3)+(326)=935.18、已知x+x+1=，求x+x+1的值。将式子变形得到xA2+x-l=0,因此x=(-l±Y5)/2.因为x+x+1>0,所以x=(-l+d5)/2,x+x+1=Y5.19、若x满足xA5+xA4+x=-l,计算xAl998+x八1999+...+xA2004.将xA5+xA4+x+1=0,因此xA5+xM+x=-1.因此xA1998+xA1999+...+xA2004=xA4(xA1994+xA1995+…+xA200l)+xA3(xA1995+xA1996+...+xA2002)+xA2(xA1996+xA1997+...+xA2003)+x(xA1997+xA1998+xA1999)+xA1998+xA1999+xA2000+xA2001l)aA2-bA2=(a+b)(a-b)aA2±2ab+bA2=(a±b)A2aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)aA3-bA3=(a-b)(a八2+ab+bA2)以下是几个常用的公式：aA2+bA2+cA2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)A2aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-be-ca)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3bA2+...+abn-2+bn-1),其中n为正整数;+xA2002+xA2003+xA2004=xA4(-1-xA1994)+xA3(-l-xA1995)+xA2(-l-xA1996)+x(-l-xA1997)+(-1)+x+xA2+xA3+xA4=-1.已知三角形的三边a、b、c满足等式a+b+c=3abc,我们需要证明这个三角形是等边三角形。首先，我们可以将等式a+b+c=3abc转化为l/a+l/b+l/c=3.这启示我们可以使用倒数定理来证明。根据倒数定理，当且仅当三角形为等边三角形时，其三边倒数之和等于3.接下来，我们假设三角形不是等边三角形，即存在至少两条边长度不相等。不失一般性，我们假设#b。那么，根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得到a+b〉c。又因为#b,所以a+bRc。因此，我们可以将a+b+c拆分为a+b和c两部分，即a+b+c=(a+b)+c。接着，我们将l/a+1/b+l/c表示为通分后的形式，即(c+ab)/(abc)o根据前面的假设，我们有c#a和crb。因此，c+abRabc。又因为a+b+c=(a+b)+c,所以l/a+l/b+l/cR3,与题设矛盾。因此，我们的假设不成立，即三角形必须是等边三角形。综上所述，我们证明了当三角形的三边a、b、c满足等式a+b+c=3abc时，这个三角形是等边三角形。an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b八2-...+abn-2-bn-1),其中n为偶数；an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b八2-...-abn-2+bn-1),其中n为奇数。在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。例如：例题1：分解因式：-2xA5n-lyn+4xA3n-lyn+2-2xn-lyn+4；例题2：分解因式:aA3+bA3+cA3-3abco例题3：分解因式：xA15+xA14+xA13+...+xA2+x+1.练题：1）分解因式：xA2n+xn-1/2y+o2）分解因式：xA10+xA5-2;3)分解因式:xA4-2xA2yA2-4xyA3+4xA3y+yA2(4xA2+3/2y);4)分解因式：仪八5+xA4+xA3+xA2+x+1)A2-xA5;5)化简：9(a-b)A2+12(aA2-bA2)+4(a+b)A2;6)化简：(a-b)A2-4(a-b-l)o二、分组分解法一)分组后能直接提公因式考虑多项式$am+an+bm+bn$,虽然从整体上看没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部上看，前两项都含有$a$,后两项都含有$b$,因此可以分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。这种分组的关键在于分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。考虑多项式$2ax-10ay+5by-bx$,可以将前两项分为一组,后两项分为一组。这两组内都可以提公因式，然后再考虑两组之间的联系。二)分组后能直接运用公式对于多项式$xA2-yA2+ax+ay$,可以通过运用公式$x^2-yA2=(x+y)(x-y)$进行分解。对于多项式$aA2-2ab+b八2-”2$,可以通过运用公式$(a-b)A2-(cA2)$进行分解。综合练题：l.$x+xy-xy-y$2.$axA2-bxA2+bx-ax+a-b$3.$x+6xy+9y-l6a+8a-l$4.$aA2-6ab+12b+9bA2-4a$5.$aA4-2aA3+aA2-9$6.$4ax-4ay-bx+by$7.$x-2xy-xz+yz+y$8.$aA2-2a+bA2-2b+2ab+1$9.$y(y-2)-(m-l)(m+l)$10.$(a+c)(a-c)+b(b-2a)$11.$aA2(b+c)+bA2(a+c)+cA2(a+b)+2abc$12.$aA4+2aA3b+3aA2bA2+2abA3+bA4$13.$(ax+by)A2+(ay-bx)A2$14.$xyz(xA3+yA3+zA3)-yA3zA3-zA3xA3-xA3yA3$15.$xA4-2axA2+x+aA2-a$16.$xA3-3xA2+(a+2)x-2a$17.$(x+l)A3+(x+3)A3-4(3x+5)$三、十字相乘法.十字相乘法对于二次项系数为1的二次三项式，可以直接利用公式$x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$进行分解。这种多项式的特点在于二次项系数是1,常数项是两个数的乘积，一次项系数是常数项的两因数的和。例如，对于多项式$x9+5x+6$,可以直接使用十字相乘法进行分解。.例题对于多项式$x^2-7x+6$,可以使用十字相乘法进行分解。对应练题：l.$xA2+14x+24$2,$aA2-15a+36$3.$xA2+4x-5$.修正公式格式错误，将2(4)x2改为2(4)x八2,将2(5)y改为-2(5)y,将15(6)x2改为-15(6)x八2..删除明显有问题的段落。.改写每段话，使其更加清晰易懂。二次项系数不为1的二次三项式 axA2+bx+c,分解结果为(ax+al)(ax+a2),其中al、a2为常数，满足ala2=c/a。例如，对于3x八2-llx+lO,我们可以将其分解为(3x-10)(x-l)o对应的练题有:(l)5xA2+7x-6,(2)3xA2-7x+2,(3)10xA2-17