理论力学期末复习公开课一等奖课件省课获奖课件

理论力学期末复习肖诗麒2023.1.4第1页知识框架牛顿力学↓←达朗贝尔原理+约束与广义坐标概念（位形空间）↓←哈密顿变分原理←引入数学：变分法拉格朗日力学→应用：中心力场，振动，电磁场，连续介质，刚体↓→延伸：诺特定理，对称和守恒↓←勒让德变换，相空间↓←修正哈密顿原理哈密顿力学→泊松括号，正则变换，劳斯函数，哈密顿雅可比办法↓典型力学延伸：刘维尔定理，位力定理，定态薛定谔方程第2页说明本PPT分为4个部分，即第一部分：拉格朗日力学回忆第二部分：哈密顿力学第三部分：刚体专项第四部分：有关应考第3页第一部分：拉格朗日力学回忆主要知识点与基本办法：1.变分原理与变分法2.拉格朗日函数，拉格朗日方程，拉格朗日力学3.广义动量，尤其是循环坐标→广义动量守恒4.对称性与守恒律（只要求动量，能量和角动量）主要应用：5.中心力场；6.振动；7.电磁场8.刚体（非常主要！因此第三部分专门讲这一点）注明：达朗贝尔原理期末不做要求，连续介质不考，广义相对论绝对不考！第4页1.变分原理与变分法

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第8页2.拉格朗日函数，拉格朗日方程，拉格朗日力学

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第10页3.广义动量与循环坐标

第11页4.对称与守恒（1）运动积分概念：求解拉格朗日方程需要引入积分常数，也叫初次积分，第一积分（2）需要掌握是能量守恒，动量守恒，角动量守恒（3）诺特定理理解即可，不需要掌握第12页时间平移不变性和能量守恒：第13页空间平移不变性和动量守恒：第14页第15页空间转动不变性和角动量守恒：第16页因此，拉格朗日力学解体步骤能够改善：（1）确定自由度和广义坐标（2）写出拉格朗日函数（3）找出守恒量以减少需要求解自由度（4）写出拉格朗日方程并化简（5）在数学上解方程第17页5.中心力场（2维问题）

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第19页6.振动

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第21页7.电磁场

第22页第二部分：哈密顿力学主要知识点和基本办法：1.勒让德变换和哈密顿函数（注意！哈密顿函数自变量和拉格朗日函数不一样！）2.修正哈密顿变分原理，正则方程3.劳斯函数，理解其即有“拉格朗日”部分也有“哈密顿”部分4.正则变换，要求掌握判断xx变换是不是正则变换和求生成函数5.泊松括号，要求掌握基本性质，算法和物理意义6.哈密顿雅可比办法注明：勒让德变换仅仅要求会用，典型力学延伸不考！第23页1.勒让德变换和哈密顿函数

第24页2.正则方程和修正变分原理根据哈密顿量定义和拉格朗日方程推导正则方程利用拉格朗日方程：比较系数能够得到正则方程：以及第25页修正哈密顿变分原理：δS=0使用分部积分：因此：使用哈密顿函数定义能够验证正则方程和拉格朗日方程等价第26页哈密顿力学解题一般步骤：（1）写出拉格朗日函数，这一步在拉格朗日力学中已经讲过（2）写出广义动量，做勒让德变换（3）变化自变量得到哈密顿函数（4）写出正则方程，并将其化简（5）数学上解正则方程第27页3.循环坐标和劳斯函数法

第28页劳斯函数法解题一般步骤：（1）写出拉格朗日函数，这一步在拉格朗日力学中已经讲过（2）找到循环坐标，写出守恒广义动量（3）对循环坐标部分做勒让德变换（3）变化自变量得到劳斯函数，且将守恒广义动量代入化简（4）对非循环坐标写出拉格朗日方程，并将其化简（5）数学上解正则方程第29页4.正则变换

第30页四类生成函数（也叫母函数）：根据偏微分关系能够通过生成函数求出广义动量或坐标，以第一类生成函数为例：第二，三，四类生成函数同理第31页5.泊松括号定义：基本性质：第32页

第33页6.哈密顿雅可比办法

第34页第三部分：刚体专项本章是重点！基本知识点和基本办法：1.刚体定义：刚体中任意两点距离保持不变，自由刚体自由度为6。包括平动（同质点，自由度3），定轴转动（自由度1），定点转动（自由度3），平面平行运动（2平动自由度，1定轴转动自由度），一般运动（自由度6），要求理解，因此仅在此介绍2.刚体上某点运动描述：旋转中心速度和旋转速度叠加3.欧拉角定义与转动矩阵，刚体运动学4.惯量张量和惯量主轴，刚体动能和角动量5.欧拉动力学方程6.几个典型刚体：欧拉陀螺，尤其是对称欧拉陀螺；拉格朗日陀螺注明：只对几个简单有解析解情形做要求第35页3.欧拉角和刚体运动学

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第37页4.惯量张量，刚体动能和角动量

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第39页5.欧拉刚体动力学方程

第40页刚体动力学问题一般解题步骤：（1）求出惯量张量（2）将惯量张量对角化，求出惯量主轴和主转动惯量注意：能够利用刚体几何对称性直接猜出惯量主轴！（3）求出外力矩在惯量主轴上分量，列欧拉动力学方程并求解（4）最后求出欧拉角随时间变化或者：（5）根据其运动形式利用欧拉动力学方程求所受外力矩第41页6.几个主要例子

第42页主要概念：本体圆锥：转动瞬轴（即角动量矢量方向）转动过程中在本体系扫出圆锥空间圆锥：在惯性系中角动量守恒，转动瞬轴绕角动量转动扫出圆锥第43页拉格朗日陀螺：尖端固定，重力场中对称陀螺保守力场，方便使用拉格朗日力学求解发觉φ和ψ是循环坐标！因此对应广义动量守恒！L不显含时间，因此能量守恒：在此已有3个独立运动积分了，标准上能够把欧拉角参数随时间变化关系解出第44页第四部分：有关应考一、往年试卷解读2023年试卷考查了有心力场，通过拉格朗日函数求哈密顿函数，判断正则变换，求母函数，求变换后哈密顿函数，泊松括号，哈密顿雅可比方程，刚体主转动惯量和主轴，欧拉刚体动力学方程；2023年试卷考查了初次积分，通过拉格朗日函数求哈密顿函数，正则方程，泊松括号，判断正则变换，求母函数，求变换后哈密顿函数，哈密顿雅可比方程，刚体动能（或拉格朗日函数），刚体拉格朗日力学，求刚体欧拉角第45页能够发觉必考点包括如下内容，办法也很固定：1.通过拉格朗日函数求哈密顿函数。办法：勒让德变换2.（1）判断正则变换。办法：雅可比行列式或者全变分条件（2）求母函数和变换后哈密顿函数。办法：使用定义3.泊松括号计算和应用。办法：使用定义和性质4.哈密顿雅可比方程。办法：分离变量5.刚体转动惯量和动能，动力学方程，求欧拉角。办法：使用定义第46页二、有关复习范围期中前内容约占1/3，期中后内容约占2/3课本需要复习章节，黑体字为重点：1.3，1.4，1.5；2.1，2.2；3.1，3.2，3.3，3.4；4.2，4.3，4.4着反复习课本基本概念，基本例题，基本办法，基本习题（以布置过作业题为准）；要求概念清楚（尤其是近似概念不要混同！），例题办法纯熟掌握，习题一看就有思绪不考地方包括：群论，流形，广义相对论注意：期末考试题目都很正则，解法很机械，不会有偏难怪题目第47页三、有关考试给出参照公式第48页四、有关考试过程几点提议1.先易后难：每道题先写出拉格朗日函数，哈密顿函数，基本方程等基本点，有时间再写方程求解，积分计算等内容。毕竟这是物理考试而不是数学考试，成果没算出来扣不了多少分2.基本点尽可能认真，力求少犯错，避免扣掉无谓分！3.有关公式请看附录4.读题一定要认真，不要带有预先想法而理解错题目标意思；相近概念一定要看清；务必看清题目问是什么第49页五、大家担心事情1.目前课程已经结束，一种学期体现基本上决定了期末分数，哪怕有涨落也不会太大。因此过多担心发挥是没必要2.最后总评成绩估计按照平时20%，期中30%，期末50%给出；但期中和期末百分比能够调整，即考得较好一次加权较高3.据统计，大家作业成绩平均19/20，这样作业分会拉一下大家总评，一般来说总评会比期末高4.事实证明袁老师最后会调分，优秀率给到上限，往届学