2023版高考数学一轮总复习第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法课件理

第六章

数列第一讲

数列的概念与简单表示法要点提炼名称概念数列按照一定顺序排列的一列数.数列的项数列中的每一个数.数列的通项数列{an}的第n项an.通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用一个式子an=f(n)(n∈N*)表示,这个式子叫作这个数列的通项公式.递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项an(n≥2)与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作数列{an}的递推公式.考点1数列的有关概念注意

(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的;(4){an}与an是不一样的,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式;而an只表示数列{an}的第n项.考点1数列的有关概念辨析比较

通项公式和递推公式的异同点考点1数列的有关概念

不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值,直接代入求出an.都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项.递推公式可根据第一项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的an.也可通过变形转化,直接求出an.1.数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数an=f(n),它的定义域是正整数集N*或正整数集N*的有限子集{1,2,3,4,…,n},所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线.2.数列的性质(1)单调性——若an+1

an,则{an}为递增数列;若an+1

an,则{an}为递减数列.否则为摆动数列或常数列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k为非零常数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期.考点2数列的函数特性><

考点3数列的前n项和Sn与通项an的关系S1Sn-Sn-1

✕✕√✕

an=(-1)n+1(n2+1)考向扫描1.典例

(1)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.则an=

.

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an+1,a1=1,则an=

.

考向1利用an与Sn的关系求数列的通项公式

考向1利用an与Sn的关系求数列的通项公式

考向1利用an与Sn的关系求数列的通项公式

考向1利用an与Sn的关系求数列的通项公式2.由f(Sn,an)=0求an的解题思路如果已知f(Sn,an)=0,那么我们可以利用an=Sn-Sn-1(n≥2)将f(Sn,an)=0向两个方向转化:一是消去an,转化为只含Sn,Sn-1的式子,求出Sn后,再利用an与Sn的关系求通项an;二是利用公式Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,转化为只含an,an-1的式子,再求解.考向1利用an与Sn的关系求数列的通项公式2.

变式

[2018全国卷Ⅰ][理]记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=

.

考向1利用an与Sn的关系求数列的通项公式-63角度1形如an+1-an=f(n)3.

典例

[2021湖北三校5月联考]已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向2已知递推关系求数列的通项公式角度3形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0)5.

典例

[2021江西九江5月模拟]在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则an=

.

解析(构造法)由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,所以an-2=3n,所以an=3n+2.考向2已知递推关系求数列的通项公式3n+2

考向2已知递推关系求数列的通项公式C方法技巧

由递推公式求通项公式的方法考向2已知递推关系求数列的通项公式方法适用类型要点累加法an+1-an=f(n).利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2)求解.累乘法构造法an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0).变形为an+1+t=p(an+t)(可用待定系数法求t),可得以p为公比的等比数列{an+t}的通项公式,进而可求an.说明若p=1,则数列{an}为等差数列;若q=0,则数列{an}为等比数列.取倒数法取对数法将等式两边同时取对数后转化为bn+1=rbn+t型,再利用构造法求解.

考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向2已知递推关系求数列的通项公式(n+1)·2n-2

考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向2已知递推关系求数列的通项公式

考向3数列的性质及其应用

2

考向3数列的性质及其应用

考向3数列的性质及其应用

考向3数列的性质及其应用

考向3数列的性质及其应用方法技巧1.解决数列单调性问题的3种常用方法考向3数列的性质及其应用作差比较法an+1-an>0⇔数列{an}是递增数列;an+1-an<0⇔数列{an}是递减数列;an+1-an=0⇔数列{an}是常数列.作商比较法数形结合法利用数列对应的函数的图象直观判断.注意“函数”的自变量为正整数.

考向3数列的性质及其应用10.

变式

(1)[2021济南重点中学5月联考]已知递增数列{an}的通项an=n2-kn(n∈N*),则实数k的取值范围是(

)A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3](2)[2021贵阳市第二次适应性考试]对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{xn}满足:x1=1,且对于任意n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+…+x2021=(

)A.7576 B.7575 C.7569 D.7564考向3数列的性质及其应用x…123456789…y…375961824…BA解析(1)因为数列{an}是递增数列,所以an<an+1对任意n∈N*都成立,即n2-kn<(n+1)2-k(n+1),即k<2n+1对任意n∈N*恒成立,因此k<3.故选B.(2)由题意可知x1=1,x2=f(x1)=f(1)=3,x3=f(x2)=f(3)=5,x4=f(x3)=f(5)=6,x5=f(x4)=f(6)=1,所以数列{xn}满足x4k-3=1,x4k-2=3,x4k-1=5,x4k=6,k∈N*,则x1+x2+…+x2021=505×(1+3+5+6)+1=7576.故选A.考向3数列的性质及其应用攻坚克难对于一个函数f(x)