流体力学第三章课件

流体力学第三章课件1第1页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-1描述流体运动的方法描述流体运动的方法有拉格朗日（J.L.Lagrange）法和欧拉（L.Euler）法两种。一、拉格朗日法（质点法）在该方法中，观察者着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流场运动的规律。（这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。）2第2页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程拉格朗日法用如下方程描述质点（a,b,c）··其中，a,b,c

为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示;t表示时间。a、b、c、t

称为拉格朗日变数。a、b、c给定，表示指定质点的轨迹。

t

给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程，三式消去t得轨迹所经历的轨迹：

x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)3第3页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程因为质点的坐标位置是时间

t

的函数，对于给定的流体质点（a，b，c），速度表达式是：流体质点的加速度为：这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。4第4页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。例如流体质点（a,b,c）的温度可表为T(a,b,c,t)二、欧拉法（空间点法，流场法）欧拉法只着眼于流体经过流场（即充满运动流体质点的空间）中各空间点时的运动情况，而不过问这些运动情况是由哪些质点表现出来的，也不管那些质点的来龙去脉，然后通过综合流场中所有被研究空间点上各质点的运动要素（即表征流体运动状态的物理量如速度、加速度、压强、密度等）及其变化规律，来获得整个流场的运动特征。在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。5第5页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：其中，x，y，z为空间点的坐标。t表示时间。x，y，z，t称为欧拉变量，是四个相互独立的变量。x，y，z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。t给定，x，y，z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。6第6页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为欧拉法。

7第7页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度。一个速度场

即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场:

8第8页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程

一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。

加速度应该是速度的全导数。注意上速度表达式中x，y，z是流体质点在t时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量t的函数。因此，根据复合函数求导法则，并考虑到

9第9页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程可得加速度在空间坐标x，y，z方向的分量为10第10页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程若用加速度矢量和速度矢量来表示，则为其中，为哈密顿算子：用欧拉法描述流体的运动时，流体质点的加速度由两部分组成：第一部分称为当地加速度，它表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；第二部分称为迁移加速度，它表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。11第11页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程

譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际流动，u=u（y）。当地加速度和迁移加速度都是零。

迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导数之乘积，或称沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度，因此也将称为对流导数。12第12页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程用欧拉法求流体质点其它运动要素对时间的变化率的一般式子为其中，称为全导数，为当地导数，为迁移导数例如，对于密度有或13第13页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-2流体运动的若干基本概念一、定常流动与非定常流动若流场中各空间点上的一切运动要素都不随时间变化，这种流动称为定常流动，否则称为非定常流动。定常流动中的一切运动要素都只是空间坐标x、y、z的函数，而与时间t无关，因而有，即各运动要素的当地导数等于零。14第14页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程二、一元流动、二元流动与三元流动根据流场中各运动要素与空间坐标的关系，可把流体流动分为一元流动、二元流动和三元流动。若运动要素仅随一个坐标（包括曲线坐标）变化，则称为一元流动。实际流体力学问题，运动要素大多是三个坐标的函数，属于三元流动。但人们往往根据具体问题的性质把它简化为二元流动或一元流动来处理。15第15页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程三、流线与迹线1.流线的定义若某时刻在流场中画出这样一条空间曲线，在该时刻，它上面所有流体质点的速度矢量均与这一曲线相切，这条曲线就称为该时刻的一条流线（如图）。一条某时刻的流线表明了该时刻这条曲线上各流体质点的速度方向。在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，这些流线就构成了该时刻流场中的流谱（如图）。16第16页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程流线是同一时刻与许多质点的速度矢量相切的空间曲线。迹线是同一质点在一个时段内运动的轨迹线。

前者是欧拉法分析流体运动的概念，时间是参变量，后者则是拉格朗日法分析流体运动的概念，时间是变量。脉线（染色线）：对同一空间点连续染色后形成的染色线。17第17页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程若写成投影形式，则为设流线上任一点的速度矢量为，流线上的微元段矢量为，则根据流线的定义，可得用矢量表示的流线微分方程2.流线的微分方程式中ux、uy、uz是x、y、z、t的函数，其中为t参变量。18第18页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程3.流线的性质（1）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一时刻，一点处只能通过一条流线。

（2）在奇点和零速度点例外。19第19页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程（3）在定常流动中，流线的形状、位置不随时间变化，流线与迹线重合；在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。（4）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。例已知速度场为其中k为常数，试求流线方程20第20页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程解：据uz=0及y≥0可知流体运动仅限于xOy的上半平面。由式有积分后可得即流线方程为如图所示，该流动的流线为一族等角双曲线21第21页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程四、流管、流束与过流断面

流管是由一系列相邻的流线围成的。经过一条有流量穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线ABCDA（非流线）的各条流线便围成一条流管。

由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。图流管（a）流线组成流管侧壁；（b）没有流量由流管侧壁流出22第22页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程流管内所有流线的总和称为流束。如果封闭曲线无限小，则所得流束称为微元流束，微元流束的极限就是流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是充满整个管道内部的全部流线，称为总流。与流束中所有流线正交的横断面称为过流断面。当组成流束的所有流线互相平行时，过流断面是平面，否则，过流断面为曲面。23第23页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程五、流量与断面平均速度单位时间内通过某一特定空间曲面的流体量称为流量。流量可以分为体积流量Q（m3/s）和质量流量Qm(kg/s)。根据流量的定义，通过流束过流断面的体积流量为式中，dA为微元面积；u是过流断面上的速度。流经任意曲面的流量，则为式中，为速度矢量与微元面积dA法线方向单位矢量的夹角的余弦。24第24页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程断面平均速度是指流经过流断面的体积流量Q除以过流断面面积A，即六、均匀流与非均匀流若同一流线上各流体质点的速度矢量沿流程不变，这种流动称为均匀流，否则称为非均匀流。25第25页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-3系统与控制体系统是指由确定的流体质点所组成的流体团。如图所示，ABCD为在管道中所取的流体系统，与管壁紧连的侧表面AB，CD是系统的一部分边界，是真实存在的边界，AD，BC两个横截面也是系统的一部分边界，但它是假想的表面。26第26页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程系统的边界有几个特点：1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时变化2）在系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力4）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界27第27页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。控制体的边界面称为控制面，它总是封闭的。占据控制体的流体质点是随时间而改变的。流体控制面的特点：1）控制面相对于坐标系是固定的2）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面3）在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面28第28页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-4流体运动的连续性方程流体在流动过程中应该遵循质量守恒定律，且满足连续介质假设。流体运动的连续性方程就是流体上述性质的数学表达形式。一、连续性微分方程针对一个微小六面体推导微分形式的连续方程。在流场中以点O′（x,y,z）为中心划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，且分别与直角坐标轴平行，如图:29第29页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程设某时刻O′点流体质点的三个速度分量为ux，uy

，uz

，密度为ρ。根据泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻各控制面中心点的流体质点的运动速度和密度。以x方向为例：左边控制面中心点M的速度和密度为：右边控制面中心点N的速度和密度为：30第30页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程所以，单位时间内从左控制面流入控制体的流体质量为从右控制面流出控制体的流体质量为则单位时间内在x方向流进和流出控制体的流体质量差为同理，单位时间内在有y、z方向流进和流出控制体的流体质量差为31第31页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程根据质量守恒定律，单位时间内流进和流出控制体的流体质量差总和应等于控制体内流体因密度变化所引起的质量增量，即整理，得矢量形式为上式为直角坐标系下，流体运动的连续性微分方程的一般形式，它表示任何可能存在的流体运动必须满足质量守恒条件32第32页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程对于定常流动，微分方程可写为或对于不可压缩流动，微分方程可写为或不可压连续方程的物理意义是：不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。33第33页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程反过来，ρ＝c的流体必然满足不可压条件，是不可压流体。而均值的定义是▽ρ＝0，即密度在空间上处处均匀，但不能保证随时间不变化，▽是哈密顿算子：不可压、均值与密度为常数的关系*不可压指的是每个质点的密度在流动过程中不变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的，因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如定常变密度平行流动：只有既为不可压缩流体，同时又是均值时密度才处处都是同一常数：由不可压：，均值：▽ρ＝0，从而有，于是ρ＝c，即密度既不随时间变化也没有迁移变化。34第34页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程柱坐标系中的连续性微分方程为:球坐标系中的连续性微分方程为:35第35页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程二、定常总流的连续性方程通过对总流控制体积分得到定常总流的连续性方程根据数学分析中的奥斯特洛夫斯基——高斯定理，可以将上式的体积分写成面积分，即式中，A为总流控制面面积；un为控制面上各点的速度矢量在外法线方向投影；曲面积分为通过总流控制面的质量通量36第36页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程补充※：奥斯特洛夫斯基——高斯定理设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有或这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ是Σ上点(x，y，z)处的方向量的方向余弦。37第37页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程补充※：奥斯特洛夫斯基——高斯定理的物理意义奥斯特洛夫斯基——高斯公式左端表示分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量；右端表示单位时间内离开封闭区域Ω的流体的总质量。38第38页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程由前面的两个式子和可得在总流控制面中，由于总流侧表面上un=0，得式中A1

、A2分别为总流进口和出口过流断面的面积，第一项取负号是因为速度与dA1的外法线方向相反，应用积分中值定理，上式成为：39第39页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程上式为定常总流的连续性方程。它表明定常总流的质量流量沿流程不变，式中ρ1、ρ2和v1、v2分别为过断流面A1、A2上的平均密度和平均速度。对于不可压缩流体，ρ1=ρ2=常数，上式变为上式即为不可压缩流体定常总流的连续性方程。它表明总流的体积流量沿流程不变，对于任意两过断流面，其平均速度与过流断面面积成反比。流体运动的连续性方程是个不涉及任何作用力的运动学方程，因此，它对于理想流体和粘性流体都适用。40第40页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-5

流体微团的运动分析在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：质点（无体积大小的空间点）:只有平移运动（平动）；刚体（具有一定体积大小，但无变形）:除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；41第41页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程

在流体力学中，研究对象是流体微团，是能不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动；（2）转动；（3）线变形运动；（4）角变形运动42第42页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程平动转动（角平分线转动）线变形运动角变形运动（角平分线不动）43第43页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。根据泰勒级数展开，微元面四个顶点的速度可表示如下。44第44页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度（ux,uy,uz）。（2）线变形速率线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为：由此得到x方向的线变形速率为：45第45页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程同理，在y方向的线变形速率为：平面微团的面积变化率为：46第46页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程（3）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）：AC边的偏转角度为（顺时针为负）：47第47页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程解出可得：平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示：设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为α，边线的纯角变形量为β，则由几何关系可得：48第48页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程定义平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为：上述定义实质是平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值，即角平分线的旋转角速度。上述定义实质是平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角速度。定义平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为：49第49页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程如图所示某时刻t在运动流体中取出任意一流体微团。设参考点A（x，y，z）的速度分量为ux，uy，uz，则相邻点C（x+dx，y+dy，z+dz）的速度分量，按泰勒级数展开并略去二阶以上微量后，得50第50页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程对第一式加上，并重新组合，改写得到同理，对第二、三两式改写，得到51第51页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程若令52第52页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程代入上式，得上式即为流体微团的速度分解公式，称为亥姆霍兹（Helmholtz）速度分解定理。53第53页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程1.ux、uy和uz分别为流体微团在x，y，z方向的平移速度。设某时刻t在一平面流场中，取一边长为dx和dy的矩形流体微团ABCD，四个交点的速度如图所示，由于流体微团各点的速度不同，经过dt时段后，其位置和形状都将发生变化。如下：●亥姆霍兹速度分解定理的物理意义54第54页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程2.εx、εy及εz分别为流体微团在x，y，z方向的线变形速度。对不可压缩流体，有3.θx、θy及θz分别为流体微团在xOy，yOz及zOx平面上的角变形速度之半。B点相对于A点、C点相对于D点，在y方向具有相同的速度增量，经过dt，B、C点均沿y方向向上移动，产生的角变形为：同理，D、C点在x方向移动，产生的角变形为55第55页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程故流体微团在xOy平面上的角变形速度的一半为同理，流体微团在yOz及zOx平面上的角变形速度一半为:4.ωx、ωy及ωz分别为流体微团绕x，y及z轴的旋转角速度。56第56页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程定义矩形平面中∠BAD的平分线绕z轴的旋转角速度ωz。根据几何关系，角平分线绕z轴旋转角速度故流体微团绕z轴的旋转角速度为:同理，流体微团绕x、y轴的旋转角速度为ωx、ωy

57第57页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程微团运动＝平动＋线变形（拉伸）＋角变形＋角速度（旋转）在粘性流体中，由粘性产生的正应力与线变形速度的大小有关；剪应力与角变形速度有关；而按旋转角速度是否为0的流动将具有不同的性质。如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，则称该流动为无旋流动（或称势流），当流体做无旋流动时，ωx=ωy=ωz=0；若流体微团有旋转运动，则称为有旋运动（或称有涡运动），当流体作有旋运动时，ωx、ωy、ωz三者中至少有一个不等于0。58第58页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程有旋运动和无旋运动是根据流体微团的旋转角速度是否等于0这一特征来划分的。它与流体微团运动时的轨迹形状无关。如左图，虽然流体微团运动轨迹是直线，但是（a）是无旋运动，而（b）却是有旋运动。如右图，流体微团运动轨迹为圆周，有可能出现（c）所示的无旋运动，也可能出现（d）所示的有旋运动。59第59页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程

还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。60第60页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-6理想流体的运动微分方程及其积分

在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的流体来看，不计粘性力，表面力就没有切向力，仅只法向力（压力）一种，而质量力是可以有的。xyz·Pdxdydz欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。一、理想流体的运动微分方程61第61页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程假设：六面体体积：dV=dxdydz中心点坐标：x,y,z中心点速度：ux,uy,uz中心点加速度：中心点压强：p中心点密度：ρ中心点处沿三个方向的单位质量力：fx,fy,fzxyz·Pdxdydz微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图为

x方向质量力，其他方向同理可得。62第62页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程由于没有剪应力，并且其他面上的压力在x方向均无投影，从而x方向的表面力为：x方向的质量力为：根据牛顿第二定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得63第63页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程两边同除以微元体积dxdydz，令其趋于零，得同理可以写出y和

z方向的表达：这就是笛卡尔坐标系下理想流体的运动微分方程。64第64页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程矢量形式为：该式是由欧拉在1755年首先提出的，故又称为欧拉运动微分方程。以当地加速度和迁移加速度表示式右边的加速度，则欧拉运动方程又可写为：65第65页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程或在柱坐标系中，欧拉运动微分方程为式中，fr、fθ、fz分别为单位质量力在r、θ、z坐标轴方向的分量。66第66页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程欧拉运动微分方程与3-4节推导出来的连续性微分方程合在一起，是求解理想流体运动问题的一组基本方程。当质量力和密度给定时，四个方程中只有ux、uy、uz、p，因此从理论上讲，欧拉运动微分方程封闭，是可解的。但是由于它是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知函数与其偏导数的乘积），所以至今仍未找到它的通解，只是在几种特殊情况下得到了它的特解。对第一式右端加上，并重新组合，可得67第67页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程于是，第一式可以写成同理或68第68页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程二、理想流体运动微分方程的积分式中为流体微团旋转角速度矢量。上式称为兰姆（H.Lamb）运动微分方程，与欧拉运动微分方程一样能适用于理想流体的各种流动。兰姆运动微分方程的好处是在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。对于无旋流动，，式子右端第二项等于零，可使方程大为简化。由于数学上的困难，理想流体的运动微分方程仅在某些特定条件下才能求解。现给出两个限制条件：（1）作用在流体上的质量力是有势的，即69第69页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程（2）流体是正压体，即密度仅是压强的函数ρ=f(p)，为了便于计算，引入由下式定义的压强函数PF（x，y，z，t）对上式微分，可得不可压缩流体（ρ=常数）和等温流动中的可压缩流体（p=ρRT0）就是正压流体，其压强函数分别为和密度不是压强的函数的流体称为斜压流体，斜压流体的压强函数是不存在的。70第70页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程在上述两个条件下，兰姆运动微分方程式可以写成分别在无旋流动和有旋流动情况下求解上式1.欧拉积分在无旋流动时，，式子变为从数学分析可知，无旋的条件是uxdx+uydy+uzdz成为某一函数ψ（x,y,z,t）的全微分的必要充分条件。函数ψ（x,y,z,t）称为速度势函数，简称速度势。当以t为参变量时，函数ψ（x,y,z,t）的全微分可写成(3-2)(3-1)71第71页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程于是或因，故式3-2可写成将上式两端分别点乘一个任意微元线段矢量或72第72页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程这里的微元是任意取的，可见，在整个流场中上式称为欧拉积分式，式中积分常数C（t）是时间的函数，可由边界条件确定。对于定常无旋流动，，则上式写为2.伯努利积分在定常有旋流动时，式3-1成为73第73页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程现将上式两端分别乘一个沿流线的微元线段矢量。根据矢量叉乘的性质，上式右端的矢量与矢量垂直，又据流线的定义，与的方向相同，故与垂直，因此，于是有或因为这里的微元是沿流线取的，所以沿流线上式称为伯努利积分式。从形式上看，定常流动情况下的欧拉积分式与伯努利积分式完全相同，但前者在整个流场上成立，而后者仅沿流线成立。74第74页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-7伯努利方程伯努利方程是能量守恒与转换定律在流体力学中的具体体现，它形式简单，意义明确，在实际工程中有着广泛的应用。一、理想流体的伯努利方程1.绝对运动的伯努利方程对于质量力仅有重力的定常不可压缩流体，其力势函数分别为π=gz和pF=p/ρ，将其代入欧拉积分式和伯努利积分式，得或(3-3)75第75页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程对于整个无旋流动或者有旋流动的同一流线上的任意1、2点来说，上式可以写成(3-4)式(3-3)及(3-4)称为定常不可压缩理想流体绝对运动的伯努利方程，即流体的固体边界对地球没有相对运动时的伯努利方程。该方程是伯努利（DanielBenoulli）于1738年首先提出的，是流体力学中十分重要的基本方程之一。76第76页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程式(3-3)的物理意义是：对于重力作用下的定常不可压缩理想流体，在整个流场中（无旋流动）或者沿流线（有旋流动），单位质量流体所具有的机械能为一常数，即机械能是守恒的。伯努利方程实质上就是物理学中能量守恒定律在流体力学上的一种表现形式，故又称其为能量方程。●伯努利方程的物理意义从物理角度看，式(3-3)的每一项都表示单位重量流体所具有的一部分能量。第一项z和第二项p/ρg，分别表示单位重量流体所具有的位能和压能；第三项u2/2g则表示单位重量流体所具有的动能。三种能量之和称为机械能。77第77页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程式(3-3)的几何意义是：对于重力作用下的定常不可压缩理想流体，在整个流场中（无旋流动）或者沿流线（有旋流动），总水头为一常数，即总水头线（各点总水头的连线）为一水平线。●伯努利方程的几何意义从几何角度看，式(3-3)的每一项都表示一个高度，或一种水头。第一项z和第二项p/ρg，分别表示位置水头和压强水头；第三项u2/2g则表示速度水头（或称动水头）。三种水头之和称为总水头。78第78页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程例.求如图光滑容器中小孔的出流速度V，假设小孔中心距自由面深为h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。从而：（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值，其中cv叫做速度系数，实验表明cv＝0.97）沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度。79第79页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程●伯努利方程的应用——皮托（H.Pitot）管皮托管是广泛用于测量流场各点速度的仪器，又称为测速管。如图，测量时，将小孔对准来流方向，则A点速度为零，侧表面B点处的速度为来流速度u。将式(3-3)用于A、B两点，得其中和分别是A点和B点的静水头（若压强以相对压强计量，则通常称为测压管水头），设两者之差为h，则皮托管80第80页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程由于实际流体是有粘性的，因此，上式计算速度u时需进行修正，即式中ξ称为皮托管修正系数，其值与皮托管构造有关，一般接近于1.0。若皮托管采用液体压差计量测静水头差，如图，则有考虑皮托管修正系数，可得81第81页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程如果用皮托管测量低速气流的速度，由于气体的密度远小于液体密度，即，上式可以简化为2.相对运动的伯努利方程流体在透平机械（turbine：涡轮）（如离心式水泵、风机、水轮机等）中的流动，一方面具有随叶轮旋转的牵连速度ue=rω，一方面又具有对叶片的相对速度ur。将坐标系固结于旋转叶轮上（如图），当转速不变时，相对于转动坐标系，则流动可以认为是定常的。82第82页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程假设叶轮以等角速度ω旋转。从转动坐标系中看，流体沿叶片以速度ur流入和流出叶轮。因此，叶道中沿流线（相对运动的流线）的伯努利积分式为因流体的单位质量力为故其力势函数为代入上式，并假定流体不可压缩，有或(3-5)83第83页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程对于同一流线上任意两点，上式又可写为(3-6)式(3-5)及(3-6)称为定常不可压缩理想流体相对运动的伯努利方程，即流体的固体边界对地球有相对运动时的伯努利方程。它常用来分析透平机械中的流体运动规律。由式(3-6)可以看出，当r2＞r1时，2点上单位重量流体的机械能大于1点。也就是说，当流体由内向外流动时，机械能是逐渐增加的，这是由于叶轮旋转而对流体作了功，离心式水泵、风机就是根据这个原理设计的；当流体由外向内流动时，机械能逐渐减小，此时流体对叶轮作工使之旋转，这就是水轮机的工作原理。84第84页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程3.总流的伯努利方程将式(3-4)各项同乘以ρgdQ，得单位时间通过微元流束两过流断面的全部流体的机械能关系式为(3-4)注意到dQ=u1dA1=u2dA2，代入上式，在总流过流断面上积分，可得通过总流两过流断面的总机械能之间的关系式为85第85页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程或上式共有两种类型的积分，现分别确定如下(1)它是单位时间内通过总流过流断面的流体位能和压能的总和。在急变断流面上，各点的不为常数，其变化规律因具体情况而已，积分困难。但在渐变断流面上，动压强近似地按静压强分布，各点的近似等于常数。将过断流面取在渐变流断面上，则(3-7)(3-8)86第86页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程(2)它是单位时间内通过总流过流断面的流体动能的总和。工程上为了计算方便，常用断面平均速度v来表示实际动能，则因用代替存在差异，故在式中引入了动能修正系数α—实际动能与按断面平均速度计算的动能之比值，即α值取决于总流断面上的速度分布，一般流动的α=1.05~1.10，但有时可达到2.0或更大，在工程计算中常取α=1.0。(3-9)87第87页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程将式(3-8)、(3-9)代入式(3-7)，考虑到定常流动时，Q1=Q2=Q3，化简后得这就是理想流体总流的伯努利方程。它在形式上类似式(3-4)，但是以断面平均速度v代替点速度u（相应地考虑动能修正系数）★总流的伯努利方程使用时的限制条件①流体是理想、不可压缩的；流动是定常的；质量力仅有重力。②过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。(3-10)88第88页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程③两过流断面间没有能量的输入或输出。当总流在两过流断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外地获得或失去了能量，则总流的伯努利方程应做如下修正：式中，+H表示单位重量流体流过水泵、风机时获得的能量；-H表示单位重量流体经过水轮机所失去的能量。89第89页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程★总流的伯努利方程应用文丘里（Venturi）流量计文丘里流量计是一种测量有压管道中流体流量的仪器。它由光滑的收缩段、喉道和扩散段三部分组成，如图所示。选取渐变流的收缩段进口断面与喉道断面为1—1断面和2—2断面，计算点均取在管轴上，基准面0—0置于管道下方某一固定位置，并取α1=α2=1.0，有90第90页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程上式中有v1和v2两个未知量，还需应用总流的连续性方程联立上面两式，可得通过流量计的体积流量为91第91页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程式中取决于文丘里管的结构尺寸，称为文丘里系数。若采用液体差压计测静水头差，则上式可写成考虑到流体粘性的影响，上式右端还需要乘以一个流量修正系数μ（一般μ=0.95~0.99），则实际通过流量计的体积流量应为92第92页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程二、粘性流体总流的伯努利方程从式(3-10)可知，理想流体运动时，其机械能沿流程不变。但粘性流体运动时，由于流层间内摩擦阻力作功会消耗部分机械能，使之不可逆转地变成热能等能量形式而耗散掉，因此，粘性流体的机械能将沿流程减小。设hw为总流中单位质量流体从1—1过流断面至2—2过流断面所消耗的机械能（通常称为流体的能量损失或水头损失），根据能量守恒定律，可得粘性流体总流的伯努利方程为上式的适用条件除了流体是粘性的以外，与理想流体总流的伯努利方程完全相同。93第93页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程§3-8

动量方程动量方程是理论力学中的动量定理在流体力学中的具体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系，其特殊优点在于不必知道流动范围内部的流动过程，而只需要知道其边界面上的流动情况即可，因此它可用来方便地解决急变流动中，流体与边界面之间的相互作用问题。一、欧拉型积分形式的方程理论力学中，质点系的动量定理可表述为：在dt时间内，作用于质点系的合外力等于同一时间间隔内该质点系在外力作用方向上的动量变化率，即94第94页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程上式是针对流体系统（即质点系）而言的，通常称为拉格朗日型动量方程。

有许多流体力学问题往往只关心物体附近确定区域内的速度、作用力等，并不关心具体流体系统的时间历程，拉格朗日型方程对于分析、研究流场来说并不方便，因此实用的是以控制体为研究对象的Euler型积分方程。如图虚线所示，选择一个控制体，使其一部分控制面与要计算作用力的边界重合，其余控制面则视取值方便而定。95第95页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程设t时刻流体系统与控制体V重合，且控制体内任意空间点上的流体质点速度为，密度为ρ，则流体系统在t时刻的初动量为。经过Δt时段后，原流体系统运动到实线所示位置，这个流体系统在t+Δt时刻的末动量可以用以下三部分动量相加减表示出来。即t+Δt时刻控制体中所有质点的动量减去由非原流体系统经控制面A1流入的动量（即图示部分I），再加上非原流体系统经控制面A2流出的动量

（即图示部分II）。即流体系统在t+Δt时刻的末动量为96第96页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程式中A=A1+A2为控制体的全部控制面。于是即上式为欧拉型积分形式的动量方程。式中是作用在控制体内流体上所有外力的合力；是控制体内流体动量对时间的变化率，当为定常流动时，这一项为0，它反映了流体运动的非定常性；是单位时间内通过全部控制面的动量代数和，即单位时间内控制体流出动量与流入动量之差（或称净流出的流体动量）。(3-11)97第97页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程欧拉型积分形式的动量方程的意义为：控制体所受合外力等于控制体中动量的增加率加上净流出控制面的动量流量二、定常不可压缩总流的动量方程定常不可压缩总流流束如图所示。流动方向取为自然坐标s的正向，取图中1—1和2—2两过流断面之间的虚线所示的总流流束为控制体，则总控制面中只有A1、A2两过流断面上有动量交换。因此，对于定常（）不可压缩（ρ=常数）总流，式(3-11)可简化为98第98页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程若1—1和2—2两过流断面均为渐变流断面，u与v的方向几乎相同，则可以引入动量修正系数β—实际动量与按v计算的动量之比，即

β值的大小与总流过流断面上的速度分布有关，一般流动的β=1.02~1.05，但有时可达到1.33或更大，在工程计算中常取β=1.0。这样考虑定常不可压缩总流的连续性方程v1A1=v2A2=Q，则这就是定常不可压缩总流的动量方程。99第99页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程例.水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止铅垂平板，水流随即在平板上向四周散开，如图所示，试求射流对平板的冲击力F。解：利用定常不可压缩总流的动量方程计算射流对平板的冲击力。取射流转向前的断面1—1和射流完全转向后的断面2—2及液流边界面所包围的总流流束为控制体（如图所示）100第100页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程流入与流出控制体的液流速度以及作用在控制体上的外力分别如图所示。控制体四周大气压强的作用相互抵消而不计大气压强，射流方向水平，重力也不计。如果不计液流的机械能损失，则由定常不可压缩的伯努利方程可得取x轴方向如图所示，令β1=β2=1.0，则定常不可压缩总流的动量方程在x轴方向的投影式为故101第101页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程式中，Q为射流流量；v为射流速度。射流对平板的冲击力F和大小相等，方向相反。如果射流冲击的是如图所示的凹面板，则取射流转向前的断面1—1和完全转向后的断面2—2之间的液流为控制体，在x轴方向列动量方程，可得射流作用在凹面板上的冲击力F与大小相等，方向相反。由于，cosθ为负值，故作用在凹面板上的冲击力大于作用在平板上的冲击力。当时，F=2ρQv为最大。102第102页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程例.密度ρ=850kg/m3的油从图所示水平放置的圆喷嘴喷入大气。已知喷嘴直径D=8cm，d=2cm，若测得出口油流速度v2=15m/s，试求油流对喷嘴的作用力F。解：以0—0为基准面，对1—1、2—2两渐变流过流断面列定常不可压缩总流的伯努利方程，不计能量损失，且取动能修正系数α1=α2=1.0，则有103第103页，课件共115页，创作于2023年2月第三章流体运动的基本概念和基本方程据定常总流的连续性方程v1A1=v2A2，得将v1值代入伯努利方程后，得取控制体如右图所示，则作用在控制体上的外力的水平分力有过流断面1—1上的流体压力p1（相对压强的压力）和喷嘴对油流的作用力。104第104页，