常微分方程第四版a1课件白底43w公开课一等奖课件省课获奖课件

§4.3高阶方程降阶

和幂级数解法

可降阶方程类型二阶线性微分方程幂级数解第二宇宙速度计算

第1页可降阶方程类型(1)

不显含x,x’,…,x(k-1)

(1)不显含x,x’,…,x(k-1)F(t,x(k),…,x(n))=0

可降

k-1阶:

令

y=x(k)

方程变为F(t,y,y’,…,y(n-k))=0

有解

即再积分k次得原方程通解第2页例1求方程解解令

方程化为这是一阶方程，有解即于是其中ci(i=1,…,5)为任意常数。此即为原方程通解。第3页可降阶方程类型(2)不显含t不显含t:F(x,x’,…,x(n))=0可降一阶：令y=x’，视y为新未知函数，x为新自变量，则有

用数学归纳法，可证明：x(k)可用表出。将其代入原方程，得x,yn-1阶方程比原方程减少了一阶。第4页

例2求解方程解令y=x’

，因有原方程化为得积分得即再积分之：此即为原方程通解。其中c1,c2为任意常数。第5页(3)齐次线性方程已知k个特解齐次线性方程已知k个线性无关非零特解，可降k阶：设存在k个线性无关非零特解x1,x2,…,xk。先令x=xky

逐渐求x

n阶导数后代入原方程化为y

n阶方程因xk满足齐次线性方程，可令z=y’，并用xk除第6页(续)齐次线性方程已知k个特解因有关系

z方程k-1个解仍线性无关。假设它们之间存在关系式即积分之

因x1,x2,…,xk

线性无关，必有

1=

2=…=

k=0。这证明了k-1个解线性无关。仿上做法，可深入令而得k-2阶齐次线性方程且有k-2个线性无关解从而使原方程减少了二阶。如此类推。因此，已知个线性无关非零特解时可降k阶。第7页二阶齐次线性方程已知非零特解时方程可解设特解x1满足方程

经变换后方程变为一阶线性微分方程可解得因此方程解为如取c1=0,c2=1，可得方程(69)一种特解因它与x1之比不为常数，故它与x1线性无关于是解是方程通解。第8页例3已知是方程解，

求方程通解。解这里由得其中c1,c为任意常数。方程通解为第9页二阶线性微分方程幂级数解

例4用幂级数求方程通解。解设是方程解。于是将体现式代入方程，比较同次幂系数，可得一般地可推得因而上式中两个幂级数收敛半径为无限大，因此级数和亦收敛，且是方程通解。第10页例5用幂级数试求方程

满足初值条件y(0)=0,y’(0)=1解。解设方程解首先，利用初值条件y(0)=0,y’(0)=1可得于是将y,y’,y’’体现式代入方程，比较x同次幂系数，得到因而即对一切正整数成立于是方程解为第11页考虑带初始条件二阶齐线性方程

这里x0=0，不然可引进新变量t=x-x0化为t0=0。定理9

若方程中系数p(x),q(x)能展成收敛区间为|x|<R幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为|x|<R幂级数解例4、例5满足定理条件，系数0,-x和-2x,-4可当作在全数轴上收敛幂级数。故方程幂级数解在全数轴上收敛。第12页适合贝赛尔方程定理n阶贝赛尔方程(n不为非负常数)系数不满足定理10条件。定理10

若方程中系数有性质：xp(x),x2q(x)能展成收敛区间为幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为幂级数形式特解这里

为待定常数。式中也许出现此时如令，则幂级数形式特解变为这里而

仍为待定常数。第13页例7

求解贝赛尔方程解将方程改写为它满足定理11条件,且方程有收敛区间为|x|<∞幂级数解将其代入有归类同幂次系数，得各x同幂次系数分别满足方程第14页（续）例7

求解贝赛尔方程因a0≠0,上式第一种方程有解

=n和=-n。当

=n时可深入解得它可分奇、偶项分别有最后归结为即方程一种特解为第15页（续）例7

求解贝赛尔方程当

=-n同样，当

=-n时方程有形如特解。只要n非负整数，可像

=n时求解过程同样可求得即第16页Γ(s)函数假如我们定义函数Γ(s):Γ(s)函数有性质Γ(s+1)=sΓ(s);Γ(n)=n!(n正整数)于是如令则由函数性质特解变为第17页n和-n

阶贝塞耳函数若令则有此和是由贝塞耳方程所定义特殊函数，

称为n和-n

阶贝塞耳函数。第18页n阶贝塞耳方程解定理

n阶贝塞耳方程(n不为非负常数)有特解而n阶贝塞耳方程通解为

c1,c2为任意常数。事实上，还可用达朗贝尔鉴别法验证y1,y2幂级数对x收敛性。故当n不为非负常数时，y1,y2为方程特解。且因y1,y2分别展开为不一样幂次幂级数，故y1,y2之比不为常数，即线性无关，从而可由y1,y2表达方程通解。第19页第二宇宙速度计算

发射人造地球卫星最小速度称为第二宇宙速度。先建立物体垂直上抛运动微分方程。以M和m分别表达地球和物体质量，由牛顿万有引力定律，作用于物体引力，当不计空气阻力时有

这里r为地球中心和物体重心之间距离，k为万有引力常数。第20页运动微分方程因此，物体垂直上抛运动微分方程为这里t=0,R=63×105m为地球半径，V0为发射速度，M为地球质量。上式中不含自变量t，可用降阶办法求解，令方程降为一阶方程可分离变量再积分得利用初值条件可决定积分常数：于是有第21页

第二宇宙速度因物体运动速度必须为正，而上式中当r不停增