高等数学9-2第二类曲线积分课件

期中考试时间:5月5日上午10：00-12：00

期中考试时间:5月5日上午10：00-12：00一代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数三、对弧长曲线积分的计算一代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：计算公式(重点）•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧首页×计算公式(重点）•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑例5.计算其中L为双纽线解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得例5.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分例6.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求解:

分段积分例6.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求解:例7.计算其中为球面解:化为参数方程则例7.计算其中为球面解:化为参数方程则习1解由对称性,知习1解由对称性,知四、几何与物理意义四、几何与物理意义高等数学9-2第二类曲线积分课件例1.椭圆柱面被平面所截，求截得部分的侧面积.解所求椭圆柱面的准线是xoy面上的半个椭圆对L作分割，取微元则相应小柱面的侧面积近似等于,因此侧面积积分曲线L的参数方程为于是例1.椭圆柱面被平面高等数学9-2第二类曲线积分课件例2.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:

如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为例2.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个例3.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则例3.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴例4.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.例4.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.思考题?对弧长的曲线积分与重积分进行比较：这里，相同点：1。物理意义都是表示质量（当被积函数是密度函数）2。化成定积分后的积分下限都小于积分上限不同点：重积分：不能代入，如曲线积分：可以代入，如思考题?对弧长的曲线积分与重积分进行比较：这里，相同点：1。一.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线C移动到点B,求移“分割”“近似求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束&2、第二型曲线积分(对坐标曲线积分）一.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在分割：分割：求和取极限近似值精确值求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式2.存在条件：3.组合形式4.推广4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.

定积分是第二类曲线积分（对坐标）的特例,但不是第一类曲线积分（对弧长）的特例.对弧长的曲线积分要求ds

0,但定积分中dx

可能为负.5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.定积分是第二三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形特殊情形高等数学9-2第二类曲线积分课件例3.计算其中C为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例3.计算其中C为沿抛物线解法1取x为参数,则解例4.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例4.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同例5解例5解高等数学9-2第二类曲线积分课件问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相其中（可以推广到空间曲线上）四、两类曲线积分之间的联系其中（可以推广到空间曲线上）四、两类曲线积分之间的联系可用向量表示有向曲线元；可用向量表示有向曲线元；二者夹角为

例6.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧第二型曲线积分必须注意积分曲线弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录4.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动

曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定二代一定(与方向有关)曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计三思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.作业P2501（2）（5）(8)；2（3）;5,6(1)作业人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古