2022-2023学年北京市顺义重点中学高二下期中数学试卷含解析

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一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则()

A.B.C.D.

2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是()

A.B.C.D.

3.设，，，则()

A.B.C.D.

4.在的展开式中，常数项为()

A.B.C.D.

5.从，，，，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则等于()

A.B.C.D.

6.在无穷等差数列中，公差为，则“存在，使得”是“”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升到，则大约增加了()

A.B.C.D.

8.已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则()

A.B.C.D.

9.已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

10.已知函数，给出下列四个结论：

若，则函数至少有一个零点；

存在实数，，使得函数无零点；

若，则不存在实数，使得函数有三个零点；

对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点．

其中所有正确结论的序号是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.不等式的解集是______．

12.首项为的等比数列中，，，成等差数列，则公比______．

13.计算：______．

14.已知正数，满足，若恒成立，写出一个满足条件的值______．

15.在数列中，对任意的都有，且，给出下列四个结论：

数列可能为常数列；

对于任意的，都有；

若，则数列为递增数列；

若，则当时，．

其中所有正确结论的序号为______．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．

求数列的通项公式：

记，求数列的前项和

17.本小题分

已知函数．

当时

写出函数图象的对称轴方程，顶点坐标；

求解不等式．

若，求函数最小值的解析式．

18.本小题分

某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有名学生为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间单位：小时各分为组：

，，，，，得到初中生组的频率分布直方图和高中生组的频数分布表．

分组区间频数

高中生组

求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数；

从课外阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，记为人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；

若用样本的频率代替概率，用表示高中阅读时间，“”表示阅读时间在情况，“”阅读区间在的阅读情况相应地，用表示初中组相应阅读时间段的情况，直接写出方差，大小关系结论不要求证明

19.本小题分

已知函数，在点处的切线方程是．

求，的值；

设函数，讨论函数的零点个数．

20.本小题分

已知函数．

当时，求曲线在点处的切线方程；

若函数在上有最小值，求的取值范围；

如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围．

21.本小题分

若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．

Ⅰ分别判断数列，，，，与数列，，，是否为“数列”，并说明理由；

Ⅱ已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；

Ⅲ已知数列为等差数列，且，，求证为“数列”．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合，，

．

故选：．

利用交集定义直接求解．

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：函数为减函数，不满足条件．

B.函数在上为减函数，不满足条件．

C.函数的定义域为，为非奇非偶函数，不满足条件．

D.，则为偶函数，当时，为增函数，满足条件，

故选：．

分别判断函数的奇偶性和单调性进行判断即可．

本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键，是基础题．

3.【答案】

【解析】解：因为对数函数在上是单调递增的，

所以，

又因为，所以．

故选：．

根据指对函数单调性可解决此题．

本题考查指对函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．

先求出通项，然后令的指数为零即可．

【解答】

解：由题意得：，

令得，

故常数项为．

故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查条件概率的计算公式，属于基础题．

用列举法求出事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求，同理求出，根据条件概率公式即可求得结果．

【解答】

解：事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件有：

、、、，

，

事件“取到的个数均为偶数”所包含的基本事件有，

，

．

故选：．

6.【答案】

【解析】解：先检验充分性：

由，得，即，

若，，当时，，不满足题意，充分性不成立；

再检验必要性：

若，则，，

令，得，则，

易知取，满足题意，必要性成立，

故选：．

根据可得，从而可检验充分性；若，令，得，则，从而可检验必要性．

本题考查等差数列的通项公式，涉及充分、必要条件，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．

7.【答案】

【解析】解：当时，，

当时，，

，

故C大约增加了．

故选：．

根据已知条件，分别求出，，再结合对数的公式，即可求解．

本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：是奇函数，且，

，即，

则，即的周期是，

是奇函数，，

若，则，即，

，，，，

则，

则

，

故选：．

根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期是，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．

本题主要考查抽象函数的应用，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，利用周期性进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：关于原点对称的函数为，即，

而函数图象上存在关于原点对称的点，

则与在上有交点，

方程在上有实数根，

即在上有实数根，

即与的图象在有交点，

，在上单调递增，

则，可得，即．

故选：．

由题设，将问题化为在上有实数根，即与的图象在有交点，利用导数研究在的值域，数形结合求参数范围．

本题考查分段函数的应用，考查化归与转化思想，是中档题．

10.【答案】

【解析】解：当时，，令，得，

在同一坐标系中作出，的图像，如图所示：

由图像及直线过定点知函数至少有一个零点，故正确；

当，时，作出，的图像，

由图像知，函数无零点；

当时，在同一坐标系中作出的图像，如图所示：

由图像知：函数有三个零点，故错误；

当时，

，

当时，

，

当时，

由图像知：对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，故正确．

故正确为：．

故选：．

在同一坐标系中作出，的图像，利用数形结合法求解．

本题考查了函数的零点，分类讨论思想及数形结合思想，难点是针对每种情况能准确作了图象，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：，

解得或．

故答案为：．

进行移项通分，变形成一元二次不等式求解．

本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：设等比数列的公比为，且，

，，成等差数列，

，即，

，解得，

故答案为：．

由题意得，利用等比数列的通项公式可得，求解即可得出答案．

本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：，

故答案为：．

结合对数的运算性质，即可得出式子的值．

本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．

14.【答案】答案不唯一，大于等于均可

【解析】解：正数，，若恒成立，则，

因为，所以，

当且仅当时取等，所以．

故答案为：答案不唯一，大于等于均可．

由基本不等式求出即可得出答案．

本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：，，

任意的都有，，

与同号，当，则时，都有，故错误；

当时，，即，同理得，此时为常数列，故正确；

，

由得若，则，

，

则数列为递增数列，故正确；

由与同号，当，则时，都有，

且此时，

数列为递减数列，

综上所述，若，则当时，，故正确．

故答案为：．

对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，错误；当时，推导出此时为常数列，正确；作差法结合时，，求出数列为递增数列，正确；由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，正确．

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

16.【答案】解：Ⅰ由题意，可知，，

，，成等比数列，

，即，

化简整理，得，

解得舍去，或，

，．

Ⅱ由Ⅰ，得，

则

．

【解析】Ⅰ先根据已知条件及等比中项的性质列出关于公差的方程组，解出的值，即可计算出等差数列的通项公式：

Ⅱ先根据第Ⅰ题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法即可计算出前项和．

本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

17.【答案】解：当时，，

函数图象的对称轴方程为，顶点坐标为，

由可得，解得或，

所以不等式的解集为或；

因为二次函数图象的对称轴为直线，

当时，在上单调递增，则，

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

则，

当时，函数在上单调递减，则，

综上所述，．

【解析】当时，将函数的解析式表示为顶点式，可得出函数图象的对称轴方程与顶点坐标；

利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；

对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出在的不同取值下的表达式．

本题主要考查了二次函数的图象和性质，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．

18.【答案】解：名学生中高中生有人，初中生有人，

设高中部的学生人数为，则有，

设名学生中初中生在小时内的人数为，

则有，

名学生中高中生在小时内的人数为人，

因此全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数估计为：

；

课外阅读时间不足个小时的样本中，

初中学生人数为人，

高中学生人数为人，所以，，，

因此有，，，

所以的分布列如下：

；

，理由如下：

，，则，，

则，

，

，，则，，

则，

，

则．

【解析】根据频率分布直方图和频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；

根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；

根据数学期望和方差的定义即可得出答案．

本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列，离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．

19.【答案】解：因为，所以，

又因为在点处的切线斜率为，

又，求得：，．

由知，，

令，则，

求函数的零点个数即与图象的交点个数，

，，

令，解得：；令，解得：或，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，，的图象如下：

当或，与图象有个交点，

当或，与图象有个交点，

当，与图象有个交点．

【解析】由导数的几何意义求解即可；

，求函数的零点个数即与图象的交点个数，对求导，求出的单调性和极值，画出的图象，结合图像即可得出答案．

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：当时，，求导得：，则，而，

所以曲线在点处的切线方程为．

，，函数，求导得：，显然恒有，

则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；

当时，由，得，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，函数取得最小值，

所以函数在上有最小值，的取值范围是．

，

因为存在，使得当时，恒有成立，

则有存在，使得当时，，

令，，即有，恒成立，

求导得，令，，

因此函数，即函数在上单调递增，而，

当，即时，，函数在上单调递增，，成立，从而，

当时，，，则存在，使得，

当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，

所以的取值范围是．

【解析】把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答．

利用导数分类讨论函数在区间内的最值情况作答．

变形不等式，构造函数，，利用导数探讨恒成立的的范围作答．

本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．

21.【答案】Ⅰ解：数列，，，，是数列，数列，，，不是数列．

因为数列，，，，中，，构成等比数列，

所以数列，，，，是数列；

因为数列，，，中，，，，，，，，，，，均不能构成等比数列，

所以数列，，，不是数列；

Ⅱ解：不是数列．

假设是数列，

因为是单调递增数列，即中存在的，，，，三项成等比数列，也就