2022-2023学年高三数学新高考一轮复习专题5.3三角恒等变换含解析

Page15.3三角恒等变换课标要求考情分析核心素养1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).新高考3年考题题号考点数学抽象数学运算直观想象2022(Ⅱ)卷6三角恒等变换的综合应用2021(Ⅰ)卷6、10二倍角公式，向量数量积的坐标运算，和差角公式，同角三角函数的基本关系1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)Cα±β:cosα±βSα±β:sinα±βTα±β:tanα±β=(2)公式的逆用及变形 ①tanα±tanβ=tan②在△ABC中,(角A,B,C均不为直角)，tanA+B=tanA+tanB2.二倍角公式Cα±βS2αC2αT3.辅助角公式函数fx=asinx+bcosx(a,b为常数f其中sinφ=ba2+b2,cosφ=1.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝＝.2.升幂公式：1-cos2α=2sin2α;1+cos2α=2co3.降幂公式：sinα∙cosα=124.万能置换公式：sin2α=2sinα∙cosαsin1.【P223T5.多选】下列四个等式其中正确的是(

)A.tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3B.tan22.5°2.【P227T10】已知OPQ是半径为1，圆心角为π6的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的接矩形，则AB+2AD的最大值为

．考点一和差角公式的应用【方法储备】1.公式的正用、逆用及变形用：（1）正用：记住公式的结构特征和符号变化规律，正确使用公式；（2）逆用及变形用：公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；（3）注意特殊角的应用，当式子中出现12（4）三角恒等变换常与同角三角函数的基本关系，诱导公式等综合应用.2.角（函数名的）的变换：（1）变角技巧（2）常见的配角技巧①2α=②α=③α-β=④π⑤7角度1公式的直接应用【典例精讲】例1.(2022·山东省期中)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=

．【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查．【靶向训练】练1-1(2022·四川省成都市期中)求值：tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=

．练1-2(2022·天津市模拟)计算cos20°cos80°+A.12 B.32 C.-角度2拆角、配角问题【典例精讲】例2.(2022·浙江省模拟)若α,β∈(π2,π)，且sinα=255A.7210 B.22 C.1【名师点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属于中档题．

由同角三角函数的基本关系可得cosα和cos(α-β)，由sinβ=【靶向训练】练1-3(2022·浙江省丽水市期末)已知sinα-π6=13，α∈0,A.6+12 B.6-13练1-4(2022·云南省期末)已知tan(α-π6)=12，tan考点二二倍角公式【方法储备】1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情况；2.二倍角是相对的,α2是α4的2倍,3α是3α2的2倍【典例精讲】

例3.(2022·安徽省强基)下列等式成立的是(

)A.cos215°-sin215°=3【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变形即化简的应用，属于基础题．

分别将所给命题按二倍角公式，两角和的正弦公式，两角差的正切公式逆用可判断出所给命题的真假．【靶向训练】练2-1(2022·湖南省长沙市期末)已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan2α=练2-2(2019·全国理科卷新课标卷Ⅱ)已知α∈(0,π2)，2sinA.15 B.55 C.3考点三三角函数给值求值问题【方法储备】1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角(非特殊角)求值的基本思路：3.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：角度1给值求值【典例精讲】例4.(2022·湖北省孝感市省期末)已知sinα-cosα=105，0≤α≤πA.43-310 B.3-4310 【名师点睛】本题考查三角式的化简求值，注意角的范围，属于基础题．【靶向训练】练3-1(2021·江苏省模拟)若cos(π4-α)=3A.725 B.15 C.-1练3-2(2022·山东省临沂市模拟)已知sinαcosα=38，且α∈(0,π2)角度2给角求值【典例精讲】例5.(2022·江苏省期末)tan15∘A.-2-3 B.-2+3 C.2-【名师点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属于基础题．【靶向训练】练3-3(2021·山东省东营市期末)sin15∘+sin75练3-4(2021·江西省萍乡市期末)求值：sin50∘-sin角度3给值求角【典例精讲】例6.(2022·江苏省期末)已知锐角α，β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β的值为

．【名师点睛】本题考查两角和的正切公式，确定α+β的范围是解答本题的关键，属于基础题．

由已知化简可得tanα+tanβ=tanαtanβ-1，代入两角和的正切公式，可以求出α+β的正切值，根据α、β为锐角，易得α+β的值．【靶向训练】练3-5(2022·湖北省武汉市模拟)已知sinα=55，sinβ=1010，且α，β为锐角，则α+β=练3-6(2022·江苏省无锡市模拟)已知cosα=55，sin(α-β)=1010，且α、β∈(0,π2

考点四三角恒等变换的综合应用【方法储备】1.三角恒等变换主要有以下四变:2.三角函数式化简的方法（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．（2）常值代换，三角公式的正用、逆用、变形用.（3）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次．（4）三角函数式的化简过程中通常会用到辅助角公式asinx+bcosx=a3.化简要求使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；式子中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.角度1辅助角公式的应用【典例精讲】例7.(2022·山西省模拟)设a=12cos6°-32sin6°，bA.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a【名师点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式和半角公式的应用，三角函数的性质.

综合性较强，为比较大小，往往须先化简三角函数式，利用函数单调性或引入“媒介”．【靶向训练】练4-1(2022·广东省揭阳市期中)已知cos(α-π6)+sinα=45A.45 B.-45 C.练4-2(2022·湖北省荆州市模拟)已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则实数A.m2-4n=0 B.m角度2三角函数式的化简【典例精讲】例8.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cosA.tan(α+β)=-1B.tan(【名师点睛】本题考查三角恒等变换的应用.法一：利用特殊值法，排除错误选项即可；法二，利用三角恒等变换，求出正确选项.【靶向训练】练4-3(2022·湖南省长沙市期末)化简：sin40°(tan10°-3)=

．练4-4(2021·全国甲卷文科)若α∈(0,π2)，tan2α=cosα2-A.1515 B.55 C.5

易错点1．忽略隐含条件致错例9.(2022·浙江省温州市模拟)在△ABC中，sin A+2sin Bcos C=0，则A的最大值是

．易错点2．凑角、拆角选择错误致错例10.(2022·湖南省长沙市模拟.多选)下列选项化简值为1的有(

)A.14(3sin20°-1答案解析【教材改编】1.【解析】对A：tan60°=tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1-tan25∘tan35∘=3，

故tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3，故A正确；

对B：tan22.5°1-tan2.【解析】在Rt△OBC中，设∠COP=θ，0<θ<π则OB=cosθ，BC=AD=sinθ，

在Rt△OAD中，tanπ∴OA=3sinθ，AB=OB-OA=cosθ-3=(2-3)sinθ+cosθ

=(6-2)(2-36-2sinθ+16-2【考点探究】例1.【解析】sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，

cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin即2+2sin(α+β)=1，∴2sin(α+β)=-1．∴sin(α+β)=-12练1-1.【解析】∵tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3．练1-2.【解析】cos20°cos80°+sin例2.【解析】∵sin α=255，sin (α-β)=-1010，且α,β∈(π2∴cosα=-1-sin2α=-55，cos练1-3.【解析】因为α∈0,π2所以cosα-所以cos α=故选：D．练1-4.【解析】因为tan(α-π6)=12，tan(

例3.【解析】A中，cos215°-sin215°=cos30°=32，故A正确；

B中，sinπ8cosπ8=12×sinπ4=练2-1.【解析】∵α∈(π2,π)，sinα=35，∴cosα=-1-故答案为：-24练2-2.【解析】解法一：∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α-1+1，∴4sinαcosα=2cos2α.

∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0且sinα>0，∴2sinα=cosα解法二：∵2sin 2α=cos 2α+1又∵α∈(0,π2)，∴2sinα=cosα，∴tanα=1故选：B．例4.【解析】由sinα-cosα=105，两边平方得：1-sin2α=25，即sin2α=35，

又0≤α≤π，故选：D.练3-1.【解析】法1：∵cos(π∴sin2α=cos(π2-2α)=cos2(π4-α)=2cos2(π4-α)-1=2×9练3-2.【解析】由sinαcosα=38，可得(sinα+cosα)例5.【解析】tan15°=tan(60°-45°)=tan60°-练3-3.【解析】sin15°+sin75°=练3-4.【解析】sin例6.【解析】∵(tanα-1)(tanβ-1)=2，

可得：tanα+tanβ=tanαtanβ-1，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1，

∵α，β为锐角，可得：α+β∈(0,π)，∴α+β=3π练3-5.【解析】∵sinα=55，sinβ=1010，且α，β均为锐角，

∴cosα=1-sin2α=255，练3-6.【解析】(Ⅰ)解：∵α,β∈(0,π2)，∴α-β∈(-π2,π2)，∵cosα=55(Ⅱ)由(Ⅰ)得，cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=55×31010例7.【解析】a=12cos6°-

c=1+所以a<b<c.

故选B．练4-1.【解析】∵cos(α-π6)+sinα=32cosα+3练4-2.【解析】因为两根sinα，cosα不一定相等，所以判别式不一定为零，A错误；由韦达定理及锐角α可得sinα+cosα=-m>0，sinαcosα=n>0，所以mn<0，C错误；因为1=sin2α+cos2α=(sinα+cosαα是锐角，所以m=-(sinα+cosα)=-所以m+n+1=m+m2-12+1=(m+1)例8.【解析】解法一：设β=0则sinα+cosα=0，取α=34π，排除B，D

再取α=0则sinβ+cosβ=2=2sin(α+π4)cosβ+2co