专题17数列的通项公式（学生版）

专题17数列的通项公式（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布数列近几年考情考题示例考点分析关联考点2021年全国乙（文科），第19题,12分1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用2、错位相减求前项和2021年全国乙（理科），第19题,12分1、证明等差数列2、求通项公式2021年全国甲（文科），第17题,12分证明等差数列2021年全国甲（文科），第9题,5分等比数列通项公式基本量计算，求前项和2021年全国甲（理科），第18题,12分证明等差数列，等差数列的应用求前项和，由前项和求通项2021年全国甲（理科），第7题,5分判断数列的增减性判断充分性与必要性2022年全国乙（理科），第8题,5分2022年全国乙（文科），第10题,5分等比数列通项公式基本量计算，求数列的项2022年全国甲（理科），第17题,12分2022年全国甲（文科），第17题,12分1、递推公式证明等差数列2、等比中项的应用，求前项和2023年全国乙（文科），第18题,12分1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列基本量的计算2、含绝对值的等差数列求前项和2023年全国乙（理科），第15题,5分等比数列通项公式基本量计算2023年全国乙（理科），第10题,5分等差数列求通项公式，数列周期性余弦函数，集合元素互异性2023年全国甲（文科），第5题,5分等差数列性质计算，求前项和2023年全国甲（理科），第5题,5分等比数列前项和2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现；2.考查数列的增减性、周期性；3.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；4.考查由递推公式证明等差、等比数列；5.考查求等差、等比数列的通项公式与前项和；【备考策略】1.掌握找规律求通项公式；2.掌握公式法求通项公式；3.掌握等差、等比数列求通项公式4.掌握累加法求通项公式5.掌握累乘法求通项公式6.掌握构造法求通项公式7.掌握取倒数法求通项公式【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性；2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；3.考查由递推公式证明等差、等比数列；4.考查求等差、等比数列的通项公式与前项和；知识讲解一、找规律求通项公式根据数列的前几项找规律，写出通项公式，注意求数列是否具备周期性.二、公式法求通项公式1．数列的前项和：.2．三、等差数列求通项公式等差数列通项公式的推导四、累加法求通项公式题型特征：五、等比数列求通项公式等比数列通项公式的推导六、累乘法求通项公式题型特征：七、构造等差数列求通项公式形如型(,其中)的数列的通项公式求法，若,则数列为等差数列;形如型的数列的通项公式等式两边同时除以,即得.当时,数列为等差数列;八、构造等比数列求通项公式1．形如型()的数列的通项公式求法（1）若,则数列为等比数列;（2）若且,则数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下:设,得,与题设比较系数得,所以,即构成以为首项,为公比的等比数列.2．形如型的数列的通项公式等式两边同时除以,即得，当时,原式可以变形为的形式,则数列为等比数列,进而写出的通项公式.3．形如型()的数列的通项公式求法第一步,假设将递推公式改写为的形式;第二步,由待定系数法,求出,的值;第三步,写出数列的通项公式;第四步,写出数列的通项公式.4．形如型()的数列的通项公式求法可以将递推式化为,其中,是方程的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列;若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列.九、取倒数法求通项公式形如型(,,为常数,,,,)的数列的通项公式求法等式两边同时取倒数,变形构造出线性递推式(A,B是常数),进而求解.考点一、找规律求通项公式或数列的项类型1：观察法在数列中，，且，写出数列的前5项，猜想数列的通项公式.2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第15项是（

）A．400 B．110 C．112 D．1133．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的（）A．第58项 B．第59项 C．第60项 D．第61项类型2：周期法4．在数列中，，且，则.5．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（

）A． B． C． D．6．（2023年山西省模拟考试数学试题）数列满足，，则数列的前项的乘积为（

）A． B． C． D．在数列中，，且，写出数列的前5项，猜想数列的通项公式.在数列中，，且，则.3．观察数列则数将出现在此数列的第（

）A．21项 B．22项C．23项 D．24项在数列中，，且，则.5．已知数列满足，则的值为（

）A．-3 B．1 C．2 D．3考点二、公式法求通项公式类型1：差项法差项相减设正项数列满足，求数列的通项公式.2．（2023年湖北省质量检测数学试题）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（

）A． B． C． D．差项相除3．设正项数列满足，求数列的通项公式.题型2：公式法4．设数列的前项和为，若，求数列的通项公式.在数列中，，，求数列的通项公式.2．（2023年江西省联考数学试题）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．设数列的前项和为，若，求数列的通项公式.4．设数列的前项和为，若，求数列的通项公式.考点三、等差数列求通项公式1．（2023年江西省模拟数学试题）已知等差数列的前项和为.求的通项公式；2．（2023年福建省质量监测数学试题）已知数列满足，则数列的通项公式为.3．（2023年安徽省质量检测数学试题）已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.求数列的通项公式；4．（2023届广东省调研数学试题）记，为数列的前n项和，已知，．求，并证明是等差数列；1．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）记等差数列的前项和为，已知，．求的通项公式；2．记为数列的前n项和，且，已知．若，求数列的通项公式；3．（2023年福建省质量检测数学试题）已知等差数列的公差，其前项和为，若，，成等比数列，且.求数列的通项公式；4．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）记为数列的前n项和．已知．证明：是等差数列；考点四、累加法求通项公式1．设数列满足，且，求数列的通项公式.2．设数列满足，且，求数列的通项公式.3．（2023届湖北省调研数学试题）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196 B．197 C．198 D．1994．已知数列满足，，，则数列第2023项为（

）A．B．C． D．5．（2023年湖南省模拟数学试题）设数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则（

）A． B． C． D．1．设数列满足，且，求数列的通项公式.2．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷））在数列中，，，则（）A． B． C． D．3．（2023年河南省摸底检测数学试题）设数列中，，且，则的最小值是（

）A．B．C． D．4．（2023届广东省模拟数学试题）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（

）A．1640 B．1560 C．820 D．7805．（2023届浙江省仿真考数学试题）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（

）

A．1275 B．1276 C．1270 D．1280考点五、等比数列求通项公式1．已知为等比数列,,,则（）A． B． C． D．2．（2023年湖北省调研考试数学试题）设正项等比数列的前项和为，若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．13．已知等比数列，公比为q，其中，q均为正整数，且，，成等差数列，则等于（

）A．96 B．48 C．16 D．84．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足，记，写出，，并求数列的通项公式；1．（2020年海南省高考数学试题（新高考全国Ⅱ卷））已知公比大于的等比数列满足．求的通项公式；2．已知递增等比数列，，，，则（

）A．8 B．16 C．32 D．643．已知等比数列满足，，则（

）A．21 B．42 C．63 D．844．已知数列满足：，且．设．证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；考点六、累乘法求通项公式设数列满足，且，求数列的通项公式.设数列满足，且，求数列的通项公式.设数列满足，且，求数列的通项公式.4．（2022年高考最后一卷（押题卷四）数学试题）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．5．已知数列中，，，则数列的通项公式为（

）A．B．C． D．1．（2023年广东省模拟数学试题）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．设数列满足，且，求数列的通项公式.3．设数列满足，且，求数列的通项公式.4．（2023年广东省模拟数学试题）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（

）A．B．C． D．考点七、构造等差数列求通项公式积累和观察如果数列满足，，求数列的通项公式.设数列的前项和为，且满足，，求数列的通项公式.3．已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.如果数列满足，，求数列的通项公式.2．已知数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．3．已知数列满足，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.4．设数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式.考点八、构造等比数列求通项公式形如型()的数列的通项公式求法1．设数列满足，求数列的通项公式.2．设数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式.形如型的数列的通项公式3．（2023年福建泉州模拟试题）在数列中,,,求数列的通项公式.形如型()的数列的通项公式求法4．（2023年陕西模拟试题）已知数列满足,,则.

形如型()的数列的通项公式求法5．已知在数列中,,,,求这个数列的通项公式.设数列满足，求数列的通项公式.设数列的前项和为，且满足，求数列的通项3．已知在数列中，，，则（

）A． B． C． D．4．（2023年江苏省学情调研数学试题）若是数列的前n项和，已知，,且，则（

）A． B． C． D．5．（2023届河南省考前预测押题理科数学试题）在数列中，，则的前项和的最大值为（

）A．64 B．53 C．42 D．25考点九、取倒数法求通项公式1．设数列满足，求数列的通项公式.2．（2023年广西南宁模拟试题）已知数列满足,,则数列的前项和（）.A． B． C． D．3．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．1．设数列满足，求数列的通项公式.2．已知数列满足,(),则（）A． B． C． D．【基础过关】1．（2023年广东省名校联盟联考数学试题）在数列中，，则（

）A．260 B．860 C．1011 D．20222．（2023年安徽省检测模拟数学试题）已知数列的前项和，则的通项公式（

）A．B．C． D．3．设是数列的前n项和，且，，则（

）A． B． C． D．4．数列满足，且，则（

）A．4043 B．4044 C．2021 D．20225．（2023年河南省模拟数学试题）设数列的前n项和为，且为常数列，则（

）A． B． C． D．6．（2023届湘豫名校联考模拟考试文科数学试题）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（

）A．46 B．49 C．52 D．557．（2023届四川省教学联盟监测文科数学试题）已知数列满足，则的通项公式为（

）A．B．C． D．8．（2023届山东省模拟考试数学试题）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．求数列的通项公式；9．（2023年山东省模拟试题）已知数列的前n项和为，满足，则（

）A．4043 B．4042 C．4045 D．404410．已知数列满足：，(1)求a2，a3；(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；11．若数列和满足，，，，则（

）A． B． C． D．12．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．13．已知数列，则该数列第项是（

）A． B． C． D．【能力提升】1．（2023年辽宁省模拟数学试题）设等差数列满足，，且，，则（

）A．10100 B．10000 C．9900 D．98012．已知，则（

）A． B． C． D．3．（2023届北京适应性测试数学试题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（

）

B． C． D．4．（2023届重庆市联考数学试题）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．5．（2023年黑龙江省模拟数学试题）已知定义在R上的