【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学九年级上册24.7向量的线性运算同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023·顺义模拟）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么与互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是（）

A．，B．，

C．,D．，

【答案】B

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】解：A：4×（-3）+（-3）×4=-24≠0，不垂直，故不符合题意；

B：（-2）×3+3×2=0，垂直，故符合题意；

C：×（）+1×1＝-2≠0，不垂直，故不符合题意；

D：，不垂直，故不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据平面向量垂直的判定方法，一一判断即可．

2．（2023九上·闵行期末）已知：点C在线段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，选项A不符合题意；

，选项B不符合题意；

，选项C一定符合题意；

．选项D不符合题意；

ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.

故答案为：C．

【分析】由AC＝2BC，可得BC＝AB，AC＝AB，据此逐一分析判断即可.

3．（2023八下·徐汇期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：由题意得：||=||，且它们的方向相反，

∴有，

故答案为：C．

【分析】根据平面向量运算的性质即可得出正确答案。

4．（2023九上·浦东期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AB，CD的中点，AD=BC，=，那么等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】梯形中位线定理；向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，

∴EF=（AD+BC），

∵AD=BC，

∴EF=BC，

∵，

∴．

故选C．

【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF=BC，又由，即可求得的值．

5．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，=，=，那么等于（）

A．-B．-C．-D．-

【答案】D

【知识点】向量的减法法则；向量的线性运算

【解析】【解答】解：因为D是边BC的中点，

所以所以

因为所以

故选D．

【分析】由D是边BC的中点与=，即可求得的值，又由，即可求得答案．

6．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）

A．20B．18C．16D．9

【答案】B

【知识点】实数与向量相乘的运算律；向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵=bccos∠BAC=2，∠BAC=30°，

∴bc=2，

∴bc=4，

∴S△ABC=x+y+=bcsin∠BAC=1，

∴x+y=，

∴+=2（+）×（x+y）

=．

故选B．

【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化为2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．

7．已知=3﹣，=+，那么﹣4等于（）

A．2-B．4-C．2-D．4-

【答案】A

【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵=3﹣，=+，

∴﹣4

=

故选A．

【分析】首先将=3﹣，=+代入﹣4，再利用平面向量的运算法则进行求解即可求得答案．

8．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=（）

A．B．C．2D．

【答案】A

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：设＜，＞=θ，θ+B=，||=a，

∵AB=2，=1，

∴2acosθ=-2acosB=1，

∵AC=3，

由余弦定理可得：9=4+a2-4acoB，

∴a2=3，

∴a=，

∴BC=．

故选A．

【分析】利用向量的数量积，余弦定理，即可求得BC的值．

二、填空题

9．（2023·崇明模拟）已知梯形中，，，设，，那么可用、表示为．

【答案】/

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，

∵AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BE=AD，DE=AB，

∵，，，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。

10．（2023·闵行模拟）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．

【答案】

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．

【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。

11．（2023·杨浦模拟）在中，点D是的中点，，，那么．（用、表示）．

【答案】

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：在中，

∵，，

∴．

∵点D是的中点，

∴．

∴．

故答案为：．

【分析】利用向量的线段运算的计算方法求解即可。

12．（2023·徐汇模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．

【答案】.

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，

∴四边形AHCD是平行四边形．

∴AD＝HC．

又EF是梯形ABCD的中位线，

∴EF＝，且GF＝AD．

∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．

∵＝，＝，

∴＝.

故答案是：.

【分析】根据平行四边形判定定理，两组对边分别平行得四边形AHCD是平行四边形。故AD=GF。根据梯形中位线定理得EF=，然后进行平面相量的基本加减运算。

三、解答题

13．（2023九上·金山期末）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设，，求向量关于、的分解式．

【答案】解：连接BD,

∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，

∴MN∥BD，MN=BD，

∵，

∴

【知识点】向量的线性运算

【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN；

四、作图题

14．（2023九上·普陀期中）如图，已知向量、，求作向量，满足．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）

【答案】解：∵，

∴，

∴

如图：

，

∴

∴

则即为所求．

【知识点】向量的加法运算律；向量的线性运算

【解析】【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。

五、综合题

15．（2023·奉贤模拟）如图，在中，点D在边上，，E是的中点．

（1）求证：；

（2）设，，用向量、表示向量．

【答案】（1）证明：∵E是的中点，

∴，

∴，

又，

∴，

∴

（2）解：∵，，

∴，

∵

∴，

∴，

∴

【知识点】相似三角形的判定与性质；平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得；

（2）根据，可得，再利用向量的线性运算可得。

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2023-2024学年初中数学九年级上册24.7向量的线性运算同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023·顺义模拟）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么与互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是（）

A．，B．，

C．,D．，

2．（2023九上·闵行期末）已知：点C在线段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正确的是（）

A．B．

C．D．

3．（2023八下·徐汇期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023九上·浦东期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AB，CD的中点，AD=BC，=，那么等于（）

A．B．C．D．

5．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，=，=，那么等于（）

A．-B．-C．-D．-

6．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）

A．20B．18C．16D．9

7．已知=3﹣，=+，那么﹣4等于（）

A．2-B．4-C．2-D．4-

8．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=（）

A．B．C．2D．

二、填空题

9．（2023·崇明模拟）已知梯形中，，，设，，那么可用、表示为．

10．（2023·闵行模拟）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．

11．（2023·杨浦模拟）在中，点D是的中点，，，那么．（用、表示）．

12．（2023·徐汇模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．

三、解答题

13．（2023九上·金山期末）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设，，求向量关于、的分解式．

四、作图题

14．（2023九上·普陀期中）如图，已知向量、，求作向量，满足．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）

五、综合题

15．（2023·奉贤模拟）如图，在中，点D在边上，，E是的中点．

（1）求证：；

（2）设，，用向量、表示向量．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】解：A：4×（-3）+（-3）×4=-24≠0，不垂直，故不符合题意；

B：（-2）×3+3×2=0，垂直，故符合题意；

C：×（）+1×1＝-2≠0，不垂直，故不符合题意；

D：，不垂直，故不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据平面向量垂直的判定方法，一一判断即可．

2．【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，选项A不符合题意；

，选项B不符合题意；

，选项C一定符合题意；

．选项D不符合题意；

ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.

故答案为：C．

【分析】由AC＝2BC，可得BC＝AB，AC＝AB，据此逐一分析判断即可.

3．【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：由题意得：||=||，且它们的方向相反，

∴有，

故答案为：C．

【分析】根据平面向量运算的性质即可得出正确答案。

4．【答案】C

【知识点】梯形中位线定理；向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，

∴EF=（AD+BC），

∵AD=BC，

∴EF=BC，

∵，

∴．

故选C．

【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF=BC，又由，即可求得的值．

5．【答案】D

【知识点】向量的减法法则；向量的线性运算

【解析】【解答】解：因为D是边BC的中点，

所以所以

因为所以

故选D．

【分析】由D是边BC的中点与=，即可求得的值，又由，即可求得答案．

6．【答案】B

【知识点】实数与向量相乘的运算律；向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵=bccos∠BAC=2，∠BAC=30°，

∴bc=2，

∴bc=4，

∴S△ABC=x+y+=bcsin∠BAC=1，

∴x+y=，

∴+=2（+）×（x+y）

=．

故选B．

【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化为2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．

7．【答案】A

【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵=3﹣，=+，

∴﹣4

=

故选A．

【分析】首先将=3﹣，=+代入﹣4，再利用平面向量的运算法则进行求解即可求得答案．

8．【答案】A

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：设＜，＞=θ，θ+B=，||=a，

∵AB=2，=1，

∴2acosθ=-2acosB=1，

∵AC=3，

由余弦定理可得：9=4+a2-4acoB，

∴a2=3，

∴a=，

∴BC=．

故选A．

【分析】利用向量的数量积，余弦定理，即可求得BC的值．

9．【答案】/

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，

∵AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BE=AD，DE=AB，

∵，，，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。

10．【答案】

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．

【分析】利用向量的线性运算的计算方法求解即可。

11．【答案】

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：在中，

∵，，

∴．

∵点D是的中点，

∴．

∴．

故答案为：．

【分析