2015高考数学预测专题之几何体与球的切、接问题

2015高考数学预测专题之几何体与球的切、接问题近几年高考数学中，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力。但实际教学中，学生对此部分知识掌握较为薄弱，认识较为模糊，看到就头疼的题目。为了更好地把握高考命题的趋势和思路，下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究。从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。首先，我们需要明确两个定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。对于球与柱体的切接问题，规则的柱体如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。以球与正方体为例，正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则OJ等于球的半径r等于a；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则GO等于球的半径R等于2a；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACAC和其外接圆，则AO等于球的半径R'等于根号3乘以a。通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。正方体的棱切球，如图3所示。位置关系为：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合。数据关系为：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r=2a。例1：棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）。思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球。平面AA1DD1截面所得圆面的半径R=AD12，得知直线EF被球O截得的线段就是球的截面圆的直径。试题详解：由题意可知，球为正方体的外接球。平面AA1DD1截面所得圆面的半径AD12=2，得知直线EF被球O截得的线段为球的截面圆的直径2R=2。因此，直线EF被球O截得的线段长为2。点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径。1.2球与长方体例2：自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA，MB，MC，求MA+MB+MC的值。思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联。试题详解：以MA，MB，MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M-ABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径。因此，MA^2+MB^2+MC^2=(2R)^2=4R^2。点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算。例3：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）。思路分析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径。试题详解：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为2√6，故球的表面积为24π。因此，选C。组合题目中，球与正棱锥的组合分为球为三棱锥的外接球和球为正棱锥的内切球两种情况。对于球为三棱锥的外接球，可以利用截面图的特点，构造直角三角形求解。对于球为正棱锥的内切球，可以利用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积。在组合题目中，需要抓住棱锥的几何性质，综合利用截面法、补形法等进行求解。例如，对于四个面都是直角三角形的三棱锥，可以利用直角三角形斜边中点的几何特征，巧妙地确定球心位置。以例5为例，正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切。利用等体积法可以得到球的半径为6-2，表面积为8(5-26)π，体积为33π。在解决组合题目时，球心是决定球的位置关键点，可以利用球心到正棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求解R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法。对于例6，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积需要通过计算得出。由于没有提供三棱锥的高或底面边长等信息，无法应用等体积法或截面法进行求解。试题详解：如图所示，连接球心O与棱心P，由于球表面与8根铁丝都有接触点，故OP垂直于棱面，且OP=r+10，由勾股定