一元二次方程及其解法市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）全册精品教学课件1/90学习目标1.理解一元二次方程概念.（难点）2.根据一元二次方程一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活利用一元二次方程概念处理有关问题.(重点）2/90导入新课复习引入1.什么叫方程？我们学过哪些方程？具有未知数等式叫做方程.我们学过方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.2.什么叫一元一次方程？具有一种未知数，且未知数次数是1整式方程叫做一元一次方程.3/90讲授新课一元二次方程概念一问题1

初中同窗毕业20周年聚会，假如参与聚会有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件方程，并判断方程是什么类型？解析：设参与聚会有x人，每个人都要与(x-1)人握手，由于甲与乙握手和乙与甲握手是同一次握手，因此所有握手次数是.解：根据题意，列方程：整顿得：化简，得：该方程中有未知数个数和最高次数各是多少？4/90问题2

有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它四角各切去一种正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一种无盖方盒,假如要制作方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大正方形？请根据题意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：设切去正方形边长为xcm,则盒底长为（100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒底面积为3600cm2,得整顿，得化简，得该方程中有未知数个数和最高次数各是多少？5/90观测与思考方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程区分在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②只含一种未知数;③未知数最高次数是2.6/90知识重点一元二次方程概念

像这样等号两边都是整式,只具有一种未知数(一元)，并且未知数最高次数是2(二次)方程叫做一元二次方程.一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数常数项7/90≠3练一练已知有关x方程，当

k______

时，它是一元二次方程．

想一想为何一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c能够为零吗？当

a=0时，方程变为bx＋c=0，不再是一元二次方程.ax2+bx+c=0强调：“=”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有;“=”左边按未知数

x

降幂排列;“=”右边必须整顿为0.8/90典例精析例1

下列选项中，有关x一元二次方程是（）C不是整式方程含两个未知数化简整顿成x2-3x+2=0少了限制条件a≠0提醒

判断一种方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再深入化简整顿后再作判断.9/90

例2

将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们二次项、一次项和常数项及它们系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包括前面符号.注意10/90一元二次方程根二一元二次方程根

使一元二次方程等号两边相等未知数值叫作一元二次方程解（又叫做根）.例3

下面哪些数是方程x2–x–6=0解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程也许不止一种根.11/90当堂练习1.下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-112/902.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-213/903.若有关x一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一种根为0，求m值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，综上所述：m=2.14/90课堂小结一元二次方程概念是整式方程；含一种未知数；最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程必要条件；确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式.根使方程左右两边相等未知数值.15/90见《学练优》本学时练习课后作业16/9021.2.1配办法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件第1学时直接开平办法17/90学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.利用开平办法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)方程.(重点）18/90导入新课复习引入平方根1.假如

x2=a,则x叫做a

.2.假如

x2=a(a≥0),则x=

.3.假如

x2=64,则x=

.±84.任何数都能够作为被开方数吗？负数不能够作为被开方数.19/90讲授新课直接开平办法概念一

问题1

一桶油漆可刷面积为1500dm2，李林用这桶油漆正好刷完10个同样正方体形状盒子所有外表面，你能算出盒子棱长吗？

解：设正方体棱长为xdm，则一种正方体表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷面积，列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25根据平方根意义，得即x1=5，x2=－5.能够验证，5和－5是方程①两根，不过棱长不能是负值，因此正方体棱长为5dm．①x=±5，20/90试一试

解下列方程，并说明你所用办法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根意义，得x1=x2=0.解:根据平方根意义，得

x2=-1,由于负数没有平方根，因此原方程无解.21/90（2）当p=0时，方程(I)有两个相等实数根=0；（3）当p<0时,由于任何实数x，都有x2≥0，因此方程(I)无实数根.探究归纳假如我们把x2=4，

x2=0，

x2+1=0变形为x2=p

呢？一般，对于方程x2=p,(I)

（1）当p>0时，根据平方根意义，方程(I)有两个不等实数根，；利用平方根定义直接开平方求一元二次方程根办法叫直接开平办法.归纳22/90

例1

利用直接开平办法解下列方程:(1)x2=25；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=25，直接开平方，得x=±5，∴x1=5，x2=－5.（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析练一练完成课本P6练习（1）、（2）、（6）23/90在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+3)2=5，②得用直接开平办法解方程二对照上面解方程(I)办法，你以为如何解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5两个根为24/90上面解法中，由方程②得到③，实质上是把一种一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解方程了.解题归纳25/90例2

解下列方程：⑴（x＋1）2=2；

典例精析解析：第1小题中只要将（x＋1）当作是一种整体，就能够利用直接开平办法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2平方根，∴x+1=26/90解析：第2小题先将－4移到方程右边，再同第1小题同样地解.例2

解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.∵x-1是4平方根，∴x-1=±2.典例精析27/90∴x1=，

x2=例2

解下列方程：(3)12（3－2x）2－3=0.典例精析解析：第3小题先将－3移到方程右边，再两边都除以12，再同第1小题同样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.528/90

首先将一元二次方程化为左边是具有未知数一种完全平方式，右边是非负数形式，然后用平方根概念求解.1.能用直接开平办法解一元二次方程有什么特点？

假如一种一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）形式，那么就能够用直接开平办法求解.2.用直接开平办法解一元二次方程一般步骤是什么？3.任意一种一元二次方程都能用直接开平办法求解吗？请举例说明.探讨交流29/90当堂练习

(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1、下列解方程过程中，正确是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4D30/90(1)方程x2=0.25根是

.(2)方程2x2=18根是

.(3)方程(2x-1)2=9根是

.3.解下列方程：

(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4.

x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9；解：x1＝5,x2＝－5；解：x1＝1,x2＝－3.31/90

4.（请你当小老师）下面是李昆同窗解答一道一元二次方程详细过程，你以为他解对吗?假如有错，指出详细位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从开始错，应改为32/90能力拓展：

方程x2+6x+4=0能够用直接开平办法解吗？假如不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？33/90课堂小结直接开平办法概念步骤基本思绪利用平方根定义求方程根办法关键要把方程化成x2=p(p≥0)或（x+n)2=p（p≥0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平办法34/90见《学练优》本学时练习课后作业35/9021.2.1配办法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件第2学时配办法36/90学习目标1.理解配方概念.2.掌握用配办法解一元二次方程及处理有关问题.(重点）3.摸索直接开平办法和配办法之间区分和联系.（难点）37/90导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：2.下列方程能用直接开平办法来解吗?练一练:1.用直接开平办法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)形式，再利用开平方38/90讲授新课配方办法一1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b39/902.填上合适数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2-x+

=(x-

)2你发觉了什么规律？探究交流22232342440/90二次项系数为1完全平方式：

常数项等于一次项系数二分之一平方.归纳总结想一想：x2+px+(

)2=(x+

)2配方办法41/90用配办法解方程二探究交流如何解方程(2)x2+6x+4=0问题1

方程(2)如何变成（x+n)2=p形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移项

x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1完全平方式：

常数项等于一次项系数二分之一平方.42/90办法归纳在方程两边都加上一次项系数二分之一平方.注意是在二次项系数为1前提下进行.问题2

为何在方程x2+6x=-4两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数二分之一平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2形式.方程配方办法：43/90重点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配办法.配办法定义配办法解方程基本思绪把方程化为（x+n)2=p形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．配办法解方程基本步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);四直接开平办法解方程.44/90典例精析例1

解下列方程：解：（1）移项，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即45/90配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1,

方程二次项系数不是1时，为便于配方，能够将方程各项系数除以二次项系数．即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?46/90配方，得

由于实数平方不会是负数，因此x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，因此原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为何方程两边都加12？即47/90当堂练习1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.48/902.如图，在一块长35m、宽26m矩形地面上，修建同样宽两条互相垂直道路，剩下部分栽种花草，要使剩下部分面积为850m2，道路宽应为多少？

解：设道路宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整顿得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路宽为1m.49/90能力提升配办法说明：无论k取何实数，多项式k2－4k＋5值肯定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1由于（k－2）2≥0，因此（k－2）2＋1≥1.因此k2－4k＋5值肯定大于零.50/90课堂小结配办法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程办法.办法在方程两边都配上步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);

四直接开平办法解方程.尤其提醒：在使用配办法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0形式.51/90见《学练优》本学时练习课后作业52/9021.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件21.2.2公式法53/90学习目标1.经历求根公式推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根鉴别式.4.会用鉴别式判断一元二次方程根情况.54/90导入新课复习引入1.用配办法解一元二次方程步骤有哪几步？2.如何用配办法解方程2x2+4x+1=0?55/90讲授新课求根公式推导一任何一种一元二次方程都能够写成一般形式

ax2+bx+c=0(Ⅲ)能否也用配办法得出(Ⅲ)解呢？56/90用配办法解一般形式一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).方程两边都除以a

解:移项，得配方，得即57/90用配办法解一般形式一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).即一元二次方程求根公式尤其提醒∵a≠0,4a2>0，当b2-4ac≥0时，58/90由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根由方程系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，能够先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子就得到方程根，这个式子叫做一元二次方程求根公式，利用它解一元二次方程办法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程前提是:

1.必需是一般形式一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0);2.b2-4ac≥0.注意59/90公式法解方程二例1

用公式法解方程5x2-4x-12=0解：∵a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.典例精析60/90例2

解方程：化简为一般式：解：即：这里a、b、c值是什么？61/90例3

解方程：4x2-3x+2=0由于在实数范围内负数不能开平方，因此方程无实数根.解：62/90重点归纳公式法解方程步骤

1.变形:化已知方程为一般形式;

2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;

3.计算:

b2-4ac值;

4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.63/90根鉴别式三问题1

在例1~例3解题中，你们发觉了什么决定了方程根情况？又是如何决定呢？两个不相等实数根

两个相等实数根没有实数根两个实数根鉴别式情况

根情况

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根鉴别式，一般用希腊字母“”表达它，即=

b2-4ac.>0=0<0≥064/90例4

按要求完成下列表格：典例精析值04根情况有两个相等实数根没有实数根有两个不相等实数根65/903、鉴别根情况，得出结论.1、化为一般式，确定a,b,c值.重点归纳根鉴别式使用办法2、计算值，确定符号.66/90（3）方程4x2－4x+1=0中，a=

，b=

，c=

；b2－4ac=

.当堂练习1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式a、b、c：（1）方程2x2+x-6=0中，a=

，b=

，c=

；b2－4ac=

.（2）方程5x2－4x=12中，a=

，b=

，c=

；b2－4ac=

.21-6495-4-122564-40167/90参照答案:2.解下列方程:(1)x2-2x－8＝0；(2)9x2＋6x＝8；(3)(2x-1)(x-2)=-1;68/903.不解方程，鉴别方程5y2+1=8y根情况.解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.因此Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.因此方程5y2+1=8y有两个不相等实数根.这里a=5,b=-8,c=1，69/90能力提升：

在等腰△ABC

中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若有关x方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等实数根，求△ABC

周长.解：有关x方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等实数根，因此Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.因此b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；因此△ABC三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.70/90课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；

四判（方程根情况）；五代（求根公式计算）.根鉴别式b2-4ac务必将方程化为一般形式71/90见《学练优》本学时练习课后作业72/9021.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件21.2.3因式分解法73/90学习目标1.理解用因式分解法解方程根据.2.会用因式分解法解某些特殊一元二次方程.（重点）3.会根据方程特点选用恰当办法解一元二次方程.（难点）74/90导入新课情境引入我们懂得ab=0，那么a=0或b=0，类似解方程（x+1）（x－1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0解吗？75/90讲授新课因式分解法解一元二次方程一问题1

根据物理学规律，假如把一种物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么通过xs物体离地面高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体通过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?

提醒：设物体通过xs落回地面，这时它离地面高度为0，即10-4.9x2=0①

76/90解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.∴b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配办法解方程10x-4.9x2=0.10x-4.9x2=0.77/90因式分解假如a·b=0，那么a=0或b=0.两个因式乘积为0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程根这种解法是不是很简单？10x-4.9x2=0①

x(10-4.9x)=0②

x=0①

10-4.9x=078/90

上述解法中,由①到②过程，先因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.重点归纳因式分解法概念因式分解法基本步骤一移-----方程右边=0;二分-----方程左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;简记歌诀：右化零左分解两因式各求解79/90试一试：下列各方程根分别是多少？(1)x(x-2)=0；

(1)x1=0,x2=2；

(2)(y+2)(y-3)=0；

(2)y1=-2,y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；

(3)x1=-2,x2=2；

(4)x2=x.(4)x1=0,x2=1.80/90例1

解下列方程：解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得

(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.

能够试用多种办法解本例中两个方程.典例精析81/90灵活选用办法解方程二典例精析例2

用合适办法解方程：（1）3x（x+5）=5（x+5）；（2）（5x+1）2=1；分析：该式左右两边能够提取公因式，因此用因式分解法解答较快.解：化简

(3x-5)(x+5)=0.

即

3x-5=0或

x+5

=0.分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平办法.解：开平方,得5x+1=±1.

解得,x1=0,x2=

82/90（3）x2

-12x=4;（4）3x2=4x+1；分析：二次项系数为1，可用配办法来解题较快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.开平方,得

解得x1=,x2=分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，因此适合公式法.解：化为一般形式

3x2-4x+1=0.

∵Δ=b2-4ac=28>0,

83/90填一填：多种一元二次方程解法及适用类型.拓展提升一元二次方程解法适用方程类型直接开平措施配措施公式法因式分解x2+px+q=0（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2

+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝084/90一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+