湖南省衡阳市康龙中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

湖南省衡阳市康龙中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知空间中的直线m、n和平面α，且m⊥α．则“m⊥n”是“n?α”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m⊥α，n?α?m⊥n，反之不成立，可能n∥α．即可判断出结论．【解答】解：∵m⊥α，n?α?m⊥n，反之不成立，可能n∥α．∴“m⊥n”是“n?α”成立的必要不充分条件．故选：B．2.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．分析： ∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答： 解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评： 对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．3.“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的

(

)A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.设，则的虚部是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得，进而可得的虚部.【详解】∵，∴，∴的虚部是，故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．5.四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是

（

）A．81

B．64

C．24

D．4参考答案：A略6.定义：，已知数列满足，若对任意正整数，都有成立，则的值为

(

)

A．2

B.1

C．

D．

参考答案：D略7.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m参考答案：B【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．8.圆关于原点对称的圆的方程为(

)A． B．C．

D．参考答案：D9.若双曲线的中心在原点，离心率，左焦点是，则的渐近线的距离是（

）A．2

B．3

C.4

D．5参考答案：C10.设首项为l，公比为的等比数列的前n项和为，则

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“?x∈R，x2≤0”的否定为

．参考答案：?x∈R，x2＞0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x∈R，x2≤0”的否定为：?x∈R，x2＞0．故答案为：?x∈R，x2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．12.抛物线的准线方程是_______参考答案：【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.13.已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF2|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|==b，cos∠POF2==，在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2﹣2|PO|?|OF1|?cos∠POF1=a2+c2﹣2ac?（﹣）=3a2+c2，则|PF1|2﹣|PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵|PF1|2﹣|PF2|2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．14.已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为______

.参考答案：.解析：

15.在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=点A与抛物线焦点的距离为3，∴纵坐标为1，点A到准线的距离为+1=3，解得p=4．抛物线焦点（0，2），准线方程为y=﹣2，∴焦点到准线的距离为：4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．16.如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3.过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC=

，线段AE的长为

.参考答案：

30°

317.设，，若是的充分条件，则的取值范围是

。参考答案：.因为是的充分条件，所以，则，解得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设在处的切线方程是，其中为自然对数的底数.（1）求a，b的值（2）证明：参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）先对函数求导，根据题意列出方程组，求解即可得出结果；（2）先由（1）得，令，用导数方法判断函数的单调性，只需其最大值小于等于0即可.【详解】（1）由题意，可得解得（2）由（1）知令，则,，当，又，所以，使得即所以在上单调递增，在上单调递减所以，令，又所以，使得此时，，，；故【点睛】本题主要考查根据切线方程求参数的问题、以及导数方法证明不等式，熟记导数的几何意义、以及导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.19.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？参考答案：【考点】简单线性规划的应用．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】利用线性规划知识求解，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=600x+900y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．【解答】解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则目标函数为z=600x+900y．作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组，解得M的坐标为（）因此，当x=，y=时，z取得最大值．此时zmax=600×+900×=130000．答：应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元．【点评】本题考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，解题的关键是确定约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解，属中档题．20.已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值.参考答案：(1)由题意得

得a=2,所以=4，结合，解得=3，

所以，椭圆的方程为---------------------4分

(2)

由

消去得：（3+4k2）x2+8kx-8=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以---------6分依题意知，OM⊥ON，且,

----------------9分即(x1+1)(x2+1)+(kx1+1)(kx2+1)=0整理得：所以整理得：4k2+4k+1=0

所以

--------------------------12分21.（本小题满分12分）已知数列中，.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一