【中考数学】2023届江苏省区域高频考点一模复习分层-全等三角形（含解析）

【中考数学】2023届江苏省区域高频考点一模复习专题分层

一全等三角形

一、综合题

1.如图，在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，过点M作直线a分别交AD,

BC于点E,F.若直线a绕点M从与BD重合的位置开始逆时针旋转，设旋转角为

0(0°<6<120°).

(1)求证：DE=BF；

(2)已知/ABD=60°,AB=m.

①若△BMF为等腰三角形，求0；

②连结BE,若△DEM是直角三角形，用含m的代数式表示BE.

2.如图，A,B,C,D四点都在OO上，弧AC=MBC,连接AB,CD、AD,

NADC=45°.

(1)如图1,AB是。O的直径；

(2)如图2,过点B作BE，CD于点E,点F在弧AC上，连接BF交CD于点

G,ZFGC=2ZBAD,求证：BA平分/FBE；

(3)如图3,在(2)的条件下，MN与。O相切于点M,交EB的延长线于点

N,连接AM,若2/MAD+NFBA=135。，MN=||AB,EN=26,求线段CD的长.

3.如图，已知锐角△ABC内接于。O,连接AO并延长交BC于点D.

A

(1)求证:NACB+NBAD=90。；

(2)过点D作DELAB于E,若NADC=2NACB.求证：AC=2DE.

4.如图，在正方形A8C。中，点E是8c边所在直线上一动点(不与点8、C重合),

过点8作8F1.OE,交射线QE于点F,连接C尸.

备用图

(1)如图，当点E在线段BC上时，ZBDF=a.

①按要求补全图形；

②NEBF=_______________________________________________________________

(用含a的式子表示)；

③判断线段BF,CF,。尸之间的数量关系，并证明.

(2)当点E在直线BC上时，直接写出线段8F,CF,。尸之间的数量关系，不需

证明.

5.如图，矩形OABC放置在平面直角坐标系上，点AC分别在x轴，y轴的正半轴

上，点B的坐标是(4,m),其中m>4,反比例函数y=^(x>0)的图象交AB交于点

D.

（1）BD=（用m的代数式表示）

（2）设点P为该反比例函数图象上的动点，且它的横坐标恰好等于m,连结PB,

PD.

①若APBD的面积比矩形OABC面积多8,求m的值。

②现将点D绕点P逆时针旋转90得到点E,若点E恰好落在x轴上，直接写出m

的值.

6.综合与实践

问题情境

在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图

操作发现

（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度a,得到

△DBE,再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度a,得到△AFG,连接

DF,得到图（2）,则四边形AFDE的形状是.

（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90。，得到

ADBE,再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90。，得到△AFG,连接DF、

DG、AE,得到图（3）,发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论.

拓展探索

（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明

你的结论.

7.如图，在长方形ABCD中，AD=2AB,NDCB的平分线交AD于点M,在线段

AM上任取一点E,连接EB,并作EHJ_EB交MC于点H.

(1)求证：AM=AB；

(2)判断EB与EH的数量关系并加以证明；

(3)如图2,过点H作HGLAD于点G,连接BH.若AB=4,当点E在何位置

时，梯形ABHG的面积等于学?

8.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱

形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不

与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60。得到线段AM,连接FM.

(1)求AO的长;

(2)如图2,当点F在线段BO上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求

证：AC=V3AM；

(3)连接EM,若AAEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.

9.已知在AABC中，乙4cB=90。，CA=CB,点D是AB的中点.直线M经过点

图1图2图3

(1)如图1,过点B作直线m的垂线，垂足为点G,交CD于点尸，求证:

^AEC=4DFG；

(2)如图2,过点A作直线m的垂线，垂足为点H，交CD的延长线于点

K,求证：CK=BE；

(3)如图3,点P在直线m上，Z.PAB=30°,Z.PBA=15°,当CA=6

时，求4BCP的面积.

10.

(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在AABC

的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形A8D,ACE,分别取BD,CE,

8C的中点/，N,G,连接GM,GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系

是;位置关系是.

(2)类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形43c换为一般的锐角三

角形，其中A8>AC,其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.

(3)深入研究：

如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究.向aABC的内侧分别作等

腰直角三角形AB。，ACE,其它条件不变，试判断AGMN的形状，并给与证明.

D、ED、A

B-G'

图③

11.如图，在△ABC中，ZC=90°,NABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的

垂线交AB于点F,0O是ABEF的外接圆.

OH

(1)求证：AC是。O的切线;

(2)过点E作EHLAB,垂足为H,求证：CD=HF；

(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF长.

12.如图

BD_L直线m,CE,直线m,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在

直线m上，并且NBDA=/AEC=/BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论

DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、

A、E三点互不重合)，点F为NBAC平分线上的一点，且4ABF和4ACF均为等边

三角形，连接BD、CE,若NBDA=NAEC=/BAC,试判断△DEF的形状.

图3

13.如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6,0)、(0,6),P为线段AB

上的一点.

(1)如图1,若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动

点，且保持AM=ON，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间

的位置关系与数量关系，并说明理由.

(2)如图2,若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD1

0P,交OP、0A分别于F、D两点，E为0A上一点，且Z.PEA=

乙BDO,试判断线段0D与AE的数量关系，并说明理由.

14.如图，在RQABC中，ZACB=90°,CD为AB上的高，AF为/BAC的角平分

线，AF交CD于点E,交BC于点F.

(1)如图1,①NACD▲NB(选填=,/中的一个)

②如图1,求证：CE=CF；

(2)如图1,作EG〃AB交BC于点G,若AD=a,4EFG为等腰三角形，求AC

(含a的代数式表示)；

(3)如图2,过BC上一点M,作MNJ_AB于点N,使得MN=ED,探索BM与

CF的数量关系.

15.如图1,在正方形ABCD中，边长为2a,点E是AB边上的一个动点(点E与点

A,B不重合)，连接CE,过点B作BFLCE于点G,交AD于点F.

(1)求证：AF=BE；

(2)如图2,当点E运动到AB中点时，连接DG,求证：DG=2a；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作CMJ_DG于点H,分别交AD,BF于

点M,N,求提的值.

16.如图

（1）问题解决：①如图1,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=,x+l与x

轴交于点A,与y轴交于点B,以AB为腰在第二象限作等腰直角&ABC,

ZBAC=90°,点A、B的坐标分别为A、B.

②求①中点C的坐标.小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x

轴作垂线交x轴于点D.请你借助小明的思路，求出点C的坐标；

（2）类比探究：数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如

图2,在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0,-6），点B坐标（8,0）,过点B作x

轴垂线1，点P是1上一动点，点D是在一次函数y=-2x+2图象上一动点，若△

APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标.

答案解析部分

1.【答案】（1）证明：•••M为矩形ABCD对角线BD的中点，

BM=DM,AD//BC,.-.Z.ADM=乙CBM.

又•:Z.DME=乙BMF,：.ADME=△BMF{ASA）,

：.DE=BF

（2）解：/.ABD=60°,Z.ABC=90o,z.FfiM=30°.

①当FB=FM时,。=乙FBM=30";

180°-4FBM180°-30°

当时母=

BF=BM2-2—二75。

当MB=MF时，6=180°-2/.FBM=120°；（不符合0°<0<120°,舍去）,

•••9=30°或。=75"

②在Rt△ABD中,AD=AB-tan乙ABD=mtan60°=V3m.

当/.DEM=90°时（如图），/.DEM=Z.A=90°,EF//AB.

vBM=MD,，AE=DE=乎?n，vBE=y/AB2-VAE2=Jm2+(^m)2=^-m

当乙DME=90。时（如图），EF是BD的垂直平分线,

・・・BE=DE,・・.乙EBD=乙EDB=30°,

ZBm2/3

：•Z.AEB=乙EBD+乙EDB=60°,：•BE=―7=：-m

smz.AEBsin60°

2.【答案】（1）解：如图1,连接BD.

VAC=,

.\ZBDC=ZADC=45°,

・・・NADB=90。，

JAB是圆O的直径.

(2)解：如图2,连接OG、OD、BD.

图2

则OA=OD=OB,

AZOAD=ZODA,ZOBD=ZODB,

AZDOB=ZOAD+ZODA=2ZBAD,

VZFGC=2ZBAD,

AZDOB=ZFGC=ZBGD,

・・・B、G、O、D四点共圆，

.\ZODE=ZOBG,

VBE±CD,ZBDC=45°,

.\ZEBD=45°=ZEDB,

，NOBE=NODE=ZOBG,

ABA平分NFBE.

(3)解：如图3,连接AC、BC、CO、DO、EO、BD.

图3

VAC=BC,

・・・AC=BC,

VAB为直径，

AZACB=90o,ZCAB=ZCBA=45°,CO1AB,

延长CO交圆O于点K,KiJZDOK=ZOCD+ZODC=2ZODC=2ZOBE=2ZFBA,

连接DM、OM,则NMOD=2NMAD,

V2ZMAD+ZFBA=135°,

.•.ZMOD+ZFBA=135°,

・•・2ZMOD+2ZFBA=270°,

，2ZMOD+NDOK=270°,

ZAOM+ZDOM+ZKOK=270°,

.\ZAOM=ZDOM,

・・・AM=DM,

连接MO并延长交AD于H,则NMHA=NMHD=90。，AH=DH,

设MH与BC交于点R,连接AR,贝ijAR=DR,

VZADC=45°,

AZARD=ZARC=90°,△ADR是等腰直角三角形，

・・・NBRH=NARH=45°

■:ZACR+ZBCE=ZBCE+ZCBE=90°,

AZACR=ZCBE,

・•・△ACR^ACBE(AAS),

・,.CR=BE=ED,

作EQJLMN于Q,则/EQN=/EQM=90。，

连接0E,则OE垂直平分BD,

.•.OE〃AD〃MN,

四边形OEQM是矩形，

/.OM=EQ,OE=MQ,

延长DB交MN于点P,

VZPBN=ZEBD=45°,

ZBNP=45°,

.•.△EQN是等腰直角三角形，

.\EQ=QN=¥EN=13V2，

.*.OA=OB=OC=OD=OM=13V2,AB=2OA=26V2,

；.BC=V2OC=26,

•.•MN=AB=20V2,

.*.OE=MQ=MN-QN=20V2-13鱼=7在，

VZORE=45°,ZEOR=90°,

AAOER是等腰直角三角形，

.•.RE=V2OE=14,

设BE=CR=x,贝|CE=14+x,

在RtACBE中:BC2=CE2+BE2,

/.262=(x+14)2+x2,解得x=10,

/.CD=CR+RE+DE=10+14+10=34.

3.【答案】(1)证明：延长AD交。O于点E连接BF.

F

•・,AF为。O的直径,

ZABF=90°,

AZAFB+ZBAD=90°,

VZAFB=ZACB,

AZACB+ZBAD=90°

(2)证明：如图2中，过点O作OHLAC于H,连接BO.

VZAOB=2ZACB,

ZADC=2ZACB,

AZAOB=ZADC,

.\ZBOD=ZBDO,

ABD=BO,

・・・BD=OA,

VZBED=ZAHO,ZABD=ZAOH,

・•・△BDE^AAOH,

ADE=AH,

VOH±AC,

JAH=CH二AC,AAC=2DE.

4.【答案】(1)解：①如图,四边形ABCD是正

方形,AZABC=90°,z_DBE=^ABC=45°，:•乙BEF=LDBE+乙BDF=

45°+a,VBF1DE,AZBFE=90°,・"EBF=90°一乙BEF=45°-a,故答案

为：45<a；③线段BF,CF,DF之间的数量关系是DF=BF+五CF.证明如

下：在DF上截取DM=BF,连接CM.如图2所示,

图2

正方形ABCD,/.BC=CD,NBDC=NDBC=45°,ZBCD=90°

/.ZCDM=ZCBF=45°-a,.*.△CDM^ACBF(SAS).DM=BF,CM=CF,

ZDCM=ZBCF.ZMCF=ZBCF+ZMCE=ZDCM+ZMCE=ZBCD=90°,

MF=V2CF.:・DF=DM+MF=BF+V2CF.

（2）解：分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+y[2CF,理由同⑴③;

②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+V2CF，理由如下：

在BF上截取BM=DF,连接CM,如图3所示，

同(1)③，得：△CBM四△CDF(SAS),

；.CM=CF,ZBCM=ZDCF.

AZMCF=ZDCF+ZMCD=ZBCM+ZMCD=ZBCD=90°,

/.△CMF是等腰直角三角形，

AMF=>/2CF,

.♦.BF=BM+MF=DF+&CF;

③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=V2CF;理由如下:

在DF上截取DM=BF,连接CM,如图4所示，

M

同(1)③得：△CDM/Z^CBF,

；.CM=CF,ZDCM=ZBCF,

.\ZMCF=ZDCF+ZMCD=ZDCF+ZBCF=ZBCD=90°,

.•.△CMF是等腰直角三角形，

•，.MF=yf2CF,

即DM+DF=V2CF,

/.BF+DF=y/2CF；

综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF,CF,DF之间的数导关系为：DF=

BF+V2CF,或BF=OF+V2CF,或BF+OF=^2CF.

5.【答案】(1)m-4

(2)解:①如图，

S®KOABC=4m,SAPBD=i(m-4)x(m-4),

.*.SAPBD-S®«0ABC=i(m-4)x(m-4)-4=8,

整理得：(m-4)2=24.

解得：m=±2V6+4,

・1m>4,

•二m=2V6+4,

②如图，过点P作PF±x轴于F,过点D作DG±FP交FP的延长线于G,

.\ZDGP=ZPFE=90°,

・•・NDPG+NPDG=90。，

由旋转特点知,PD=PE,NDPE=90。，

.,.ZDPG+ZEPF=90°,

JZPDG=ZEPF,

・•・△PDG^AEPF(AAS),

・・・DG=PF,

DG=AF=m-4,

/.P(m,m-4),

♦.•点P在反比例函数y=些，

X

・\m(m-4)=16,

，m=2+2%或m=2-2佩舍).

6.【答案】(1)平行四边形

(2)证明：•.•△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90。得到的，AAFG是由AABC

绕点A顺时针旋转90。得到的，

.*.ZDBA=ZFAB=90°,DB=AB=AF,

.•./DBA+NFAB=180。，

；.DB〃AF,

VDB=AF,

•••四边形DBAF是平行四边形，

；/DBA=90°

工平行四边形DBAF是正方形

(3)解：四边形AEDG是平行四边形.

证明：♦.•四边形ABDF是正方形，

.\ZDFA=ZDBA=90°,AB=DF,

又・・・/DBE=NAFG=a,

AZEBA=ZGFD.

AB=DF

在^ABE和^DFG中，\z.EBA=Z.GFD，

BE=GF

・•・△ABE^ADFG,

・・・AE=DG,

又・.,DE=AG=AB,

・・・四边形DEAG是平行四边形

7.【答案】(1)解：・・•四边形ABCD是长方形，

ACD=AB,ZBCD=90°.

VZDCB的平分线交AD于点M,

AZDCM=45°,

•••△CDM是等腰直角三角形，

ACD=DM,ZDMC=45°.

VAD=2AB,

・・・AD=2CD=2DM,

JAM=DM,

・・・AM=AB；

(2)解：EB=EH.

在AB上截取AF=AE,如图1,贝i」NAFE=NAEF=45。,

AZBFE=135°.

VZDMC=45°,

.\ZEMH=135O,

・•・ZBFE=ZEMH.

「ZMEH+ZAEB=90°,ZABE+ZAEB=90°,

AZABE=ZMEH,

・・・△FBE丝△MEH(ASA),

，EB=EH

(3)解：VZABE=ZMEH,

ZA=ZEGH=90°,

EB=EH,

・•・△ABE^AGEH,

JAE=GH.

ZDMC=45°,

AGM=GH.

设GM=GH=AE二x,则AG=4+x,

・•・梯形ABHG的面积等于竽,

1

・整(％+4)(%+4)=等，

解之得

x=l,或x=-9(舍去)，

/.AE=1时,梯形ABHG的面积等于冬.

8.【答案】(1)•.•四边形ABCD是菱形,

；.AC_LBD,OB=OD=1BD,

；BD=24,

.*.OB=12,

在RtAOAB中，

VAB=13,

•••OA=>]AB2-OB2=5.

(2)如图2,

•••四边形ABCD是菱形，

，BD垂直平分AC,

/.FA=FC,ZFAC=ZFCA,

由已知AF=AM,ZMAF=60°,

...△AFM为等边三角形，

ZM=ZAFM=60°,

•.•点M,F,C三点在同一条直线上，

NFAC+NFCA=NAFM=60。，

.,.ZFAC=ZFCA=30°,

ZMAC=ZMAF+ZFAC=60°+30°=90°,

在RtAACM中VtanZM=把，

AM

.,.tan60°=箱，

；.AC=V3AM.

ABE是等边三角形,

；.AE=AB,ZEAB=60°,

由（2）知^AFM为等边三角形,

：.AM=AF,NMAF=60°,

Z.ZEAM=ZBAF,

'AE=AB

在^AEM和aABF中，Z.EAM=^BAF，

,AM=AF

，△AEM^AABF(SAS),

VAAEM的面积为40,△ABF的高为AO

.*.1BF«AO=40,BF=16,

.\FO=BF-BO=16-12=4

AF=yjAO2+F02=V41，

:AFM的周长为3V41.

9.【答案】(1)证明：•.•CA=CB,D是AB的中点

二CD±AB

又：BG，CE

...NBGE=NADC=90°

在四边形GEDF中，

ZFGE+ZGED+ZADC+ZDFG=(4-2)x180°

/.ZGED+ZDFG=180°

又•.,NAEC+NGED=180°

ZAEC=ZDFG

①)

(2)证明：VZACB=90°,CA=CB,D是AB的中点

.\ZCAB=ZCBA=45°,NACD二NBCD=45。

VAH1CH

，ZAHC=90°

JZACH+ZCAH=90°

又VZACH+ZECB=ZACB=90°

JZCAK=ZECB

又•:AC=BC

ZACK=ZCBE=45°

.*.△ACK^ACBE

ACK=BE

(3)解：如图③，以AB为边向点C所在的一侧作等边三角形QAB,连接QC.

ABQ是等边三角形

AQ=BQ=AB,/AQB=NABQ=60。

在^ACQ和ABCQ中，AC=BC,CQ=CQ,AQ=BQ

:ACQ四△BCQ

.,.ZAQC=ZBQC=30°

,:ZQBC=ZQBA-ZCBA=60o-45°=15°

...NQBC=NABP=15°

在4BPA和ABCQ中，ZPAB=ZCQB=30°,AB=QB,NABP=NQBC

?.△BPA^ABCQ

二PB=CB=AC=6

过C作CNLBP于N

：NCBP=45°-15°=30°

CN=1CB=3

，SABCP=3BPCN=1x3x6=9

(tnHO))

10.【答案】(1)MG=NG；MG±NG

(2)连接CD,BE,相交于H,如图2,

D

同(1)的方法得，MG=NG,MG±NG；

(3)连接EB,DC并延长相交于点H,如图3.

图3

同（1）的方法得，MG=NG,

同（1）的方法得，△ABE之△ADC,

/.ZAEB=ZACD,

二ZCEH+ZECH=ZAEH-ZAEC+1800-ZACD-NACE=NACD-45°+180°-

ZACD-45°=90°,

ZDHE=90°,

同（1）的方法得，MG1NG.

.,.△GMN是等腰直角三角形.

「BE平分NABC,

.,.ZCBE=ZOBE,

VOB=OE,

AZOBE=ZOEB,

AZOEB=ZCBE,

AOE//BC,

.•.ZAEO=ZC=90°,

・・・AC是。O的切线；

(2)证明：如图，连结DE.

VZCBE=ZOBE,ECLBC于C,EH_LAB于H,

AEC=EH.

・・・ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,

・•・ZCDE=ZHFE.

在^CDE-^AHFE中，

乙CDE=LHFE

Z/?=4£7/F=90°，

EC=EH

?.△CDE^AHFE(AAS),

ACD=HF.

(3)解：由(2)得，CD=HF.又CD=1

・・・HF=1

在RtAHFE中,EF=J32+/=Tio

VEF1BE

・・・ZBEF=90°

JZEHF=ZBEF=90°

「NEFH=NBFE

.*.△EHF^ABEF

.EF_HF日国_1

,,而F'即n前二质

ABF=10

:・0E==5,OH=5-1=4,

・••在RtAOHE中，COS/JEOA=,

・••在RtAEOA中，cosZ-EOA=第=1,

.5_4

''OA=S

•25

••°A=彳

25_

=彳-5=

12.【答案】（1）证明：DE=BD+CE.理由如下:

图1

如图1,VBD±1,CE±1,

JZBDA=ZAEC=90°

又・・・NBAC=90。，

.,.ZBAD+ZCAE=90°,ZBAD+ZABD=90°,

.\NCAE=NABD

在^ABD^lACAE中，

ZABD=Z.CAE

(ADB=/-CEA

AB=AC

・•・△ABD^ACAE(AAS)

ABD=AE,AD=CE,

VDE=AD+AE,

・・・DE二CE+BD

(2)解：如图2,VZBDA=ZAEC=ZBAC=a,

C

B

DAEm

图2

，ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

AZCAE=ZABD,

在^ADB和^CEA中，

Z.ABD=乙CAE

乙ADB=Z.CEA,

AB=AC

・•・△ADB^ACEA(AAS),

・・・AE=BD,AD=CE,

・・・BD+CE=AE+AD=DE

(3)解：DF=EF.理由如下:

由(2)知，△ADB^ACAE,

BD=EA,ZDBA=ZCAE,

•・•△ABF和^ACF均为等边三角形,

.,.ZABF=ZCAF=60°,

JNDBA+NABF=NCAE+NCAF,

AZDBF=ZFAE,

VBF=AF

在^DBF和4EAF中，

FB=FA

乙FBD=£.FAE,

BD=AE

・•・△DBF^AEAF(SAS),

ADF=EF,ZBFD=ZAFE,

・•・ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60。,

・・.△DEF为等边三角形.

・・・DF=EF.

13.【答案】(1)结论：PM二PN,PM±PN.理由如下：

如图1中，连接0P.

■:A、B坐标为(6,0)、(0,6),

・・・OB=OA=6,ZAOB=90°,

TP为AB的中点,

：.OP=|AB=PB=PA,OP±AB,ZPON=ZPAM=45°,

・•・ZOPA=90°,

在^PON和^PAM中，

ON=AM

Z.PON=Z.PAM，

OP=AP

・•・△PON^APAM(SAS),

・・・PN二PM,ZOPN=ZAPM,

・・・NNPM=NOPA=90。，

APM1PN,PM=PN.

(2)结论：OD=AE.理由如下：

如图2中，作AGd_x轴交OP的延长线于G.

VBD±OP,

:.ZOAG=ZBOD=ZOFD=90°,

.,.ZODF+ZAOG=90°,ZODF+ZOBD=90°,

.\ZAOG=ZDBO,

VOB=OA,

・・・△DBO^AGOA,

AOD=AG,ZBDO=ZG,

VZBDO=ZPEA,

・・・NG二NAEP,

在^PAE和△PAG中，

乙AEP=Z.G

2LPAE=/.PAG,

.AP=AP

.*.△PAE^APAG(AAS),

AAE=AG,

AOD=AE.

14.【答案】(1)解：①二；(2)证明：:AF平分NCAB,

・・・NCAF=NBAF,

VZCFA=ZB+ZBAF,ZCEF=ZACD+ZCAF,

VZB=ZACD,

.•.ZCFE=ZCEF,

・・・CE=CF；

(2)解：•••△EFG是等腰三角形，

:.ZFEG=ZFGE,

VEG/7AB,

AZFEG=ZBAF,ZFGE=ZB,

VZB=ZACD,

:.ZACD=ZCAF=ZBAF,

VZCDA=90°,

A3ZACD=90°,

:.ZACD=30°,

AAC=2AD=2a.

cc

(3)解:BM=CF,

理由是：过E作EHLAC于H,

YAF平分NCAB,CD±AB,

・・・EH=ED=MN,

VEH1AC,MN1AB,

.\ZCHE=ZBNM=90o,

在^CHE和^BNM中

乙HCE=CB

乙CHE=乙BNM

EH=MN

.*.△CHE^ABNM(AAS),

・・・BM=CE,

VCE=CF,

ABM=CF.

15.【答案】(1)证明：vBF1CE,

:.Z-CGB=90°,

・・・Z.GCB+乙CBG=90°,

v四边形ABCD是正方形，

.•・=乙CBE=90°,BC=AB,

・・・Z.FBA+Z.CBG=90°,

Z.GCB=Z-FBA,

AAABF=ABCE^ASA),

AAF=BE；

(2)证明：如图2,过点。作ICE于〃

图2

由题意得：AB=CD=BC=2a,

♦・♦点E是AB的中点，

1

・•・EA=EB==a，

:.CE=V5a,

在RtACEB中，根据面积相等，得BG-CE=CB♦EB,

:.BG=~gCL9

ACG=yJCB2-BG2=警a，

•・・4DCE+乙BCE=90°,Z.CBF+乙BCE=90°,

・♦・Z-DCE=乙CBF,

•・・CD=BC,MHD=乙CGB=90°,

/.ACHD=4BGCQMS),

n1~E

/.CH=BG=誉。，

・・・GH=CG-CH=誉a=CH，

•・•DH=DH,乙CHD=乙GHD