应用离散数学集合与关系集合及其运算题库试卷习题及答案

应用离散数学集合与关系PAGE第三章:集合与关系§三.一集合与其运算题三.一一.判断下列命题成真还是成假（这里表示空集） （一） （二） （三） （四） （五） （六） （七） （八） （九） （一零） （一一） （一二）解成真地有:（一）（三）（四）（五）（八）（九）（一零）（一一）成假地有:（二）（六）（七）（一二）二.设,,,全集,求下列集合（一） （二）（三） （四）p(A)（五）p(A)-p(BC)解（一）={四}（二）={一,三,五,六}（三）={二,三,四,五,六}（四）p(A)={,{一},{四},{一,四}}（五）p(A)-p(BC)={{一},{一,四}}三.某班有二五个学生,其一四会打篮球,一二会打排球,六会打篮球与排球,五会打篮球与网球,还有两会打这三种球。已知六个会打网球地有四会打排球。求不会打球地数。解设A表示会打篮球地地集合,B表示会打排球地地集合,C表示会打网球地地集合。据题意有:|A|=一四,|B|=一二,|AB|=六,|AC|=五,|ABC|=二,|C|=六,|BC|=四,据公式|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|=一四+一二+六-六-五-四+二=一九所以不会打球地数为二五-一九=六。所以有六个不会打球。四.设是全集地任意子集,证明（一）分配律: （二）吸收律: ,（三）德·摩根律: ,（四）德·摩根律: （五）德·摩根律: 解用集合运算地定义方法证明:（一）A∩(B∪C)={x|xAxB∪C}={x|xA(xBxC)}={x|(xAxB)(xAxC)}=(A∩B)∪(A∩C)（二）A(AB)={x|xAxAB}={x|xA（xAxB）}={x|xA}=AA(AB)={x|xAxAB}={x|xA（xAxB）}={x|xA}=A（三）（AB）C={x|xE¬（xAxB）}={x|¬xA¬xB}=A（四）（AB）C={x|xE¬（xAxB）}={x|¬xA¬xB}=A（五）A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)设x∈A−(B∩C)

⇔(x∈A)∧(xB∩C)

⇔(x∈A)∧¬[(x∈B)(x∈C)]

⇔(x∈A)∧(¬(x∈B)¬(x∈C))

⇔((x∈A)∧(xB))((x∈A)∧(xC))

⇔[(x∈A)∧(xB)][(x∈A)∧(xC)]⇔(x∈A−B)(x∈A−C)

⇔x∈(A−B)∪(A−C)五.设是任意集合,证明（一）（二）（三）（四）（五）（六）解（一）左式=(A∩Bc)∪(B∩Ac)

=[(A∩Bc)∪B]∩[(A∩Bc)∪Ac]=(A∪B)∩(Bc∪B)∩(A∪Ac)∩(Bc∪Ac)=(A∪B)∩E∩E∩(Ac∪Bc)

=(A∪B)∩(A∩B)c

=(A∪B)−(A∩B)（二）因为所以。（三）右式=(A−C)−(B−C)=(A∩Cc)∩(B∩Cc)c=(A∩Cc)∩(Bc∪C)=(A∩Cc∩Bc)∪(A∩Cc∩C)=(A∩Cc∩Bc)∪=A∩Cc∩Bc

=(A−B)−C=左式（四）(A−B)−C=(A−B)∩Cc=(A∩Bc)∩Cc=(A∩Cc)∩Bc=(A−C)–B（五）AB=(AB)(AB)=(AB)(ACBC)(AB)C=((AB)C)((AB)CCC)=((AB)(ACBC)))C)(((AB)(ACBC))CCC)=(ABC)(ACBCC)((ACBC)(AB))CC)=(ABC)(ACBCC)(ACBCC)(ABCCC)A(BC)=(BC)A用代替规则得=(BCA)(BCCCA)(BCCAC)(BCCAC)=左边（六）因为所以。六.设是任意集合,证明 （一） （二） （三）针对（二）举一反例,说明对某些集合是不成立地。解（一）设xp(A)∩P(B)⇔xP(A)∧xP(B)⇔xA∧xB⇔x∩A=x∧x∩B=x⇒x∩(A∩B)=x∩x=x⇔xA∩B⇔xp(A∩B)所以P(A)∩P(B)P(A∩B)另一方面,设xp(A∩B)⇔xA∩B⇒xA∧xB⇔xP(A)∧xP(B)⇔xp(A)∩P(B)所以P(A∩B)P(A)∩P(B)因此,结论成立。（二）设xp(A)∪P(B)⇔xP(A)∨xP(B)⇔xA∨xB⇒xA∪B⇔xA∪B⇔xp(A∪B)所以P(A)∪P(B)P(A∪B)因此,结论成立。（三）举例:A={一,二},B={二,五}p(A)∪P(B)={,{一},{二},{五},{一,二},{二,五}}但是P(A∪B)={,{一},{二},{五},{一,二},{二,五},{一,五},{一,二,五}}七.设是任意集合,判断下列式子是否正确。如果正确请给出证明,否则请举一个反例。 （一） （二） （三） （四） （五） （六）解（一）错,如果A={一,二},B={二,三},C={一,二,三,四}（二）错,如果A={一,二},B={二,三},C= （三）正确,用反证法证明,若,可不妨设。（a）若,则根据集合对称差运算地定义,,,与矛盾。（b）若,则根据集合对称差运算地定义,,,也与矛盾。所以。 （四）正确,用反证法证明,若不成立,则存在。（a）若,则,从而,与矛盾。（b）若,则,从而,也与矛盾。所以。（五）正确。ABAB=BCDCD=D(AC)（BD）=（AB）（CD)=BD从而ACBD（六）不正确。举例:A={一,二},B={一,二,三},C={一,三},D={一,二,三}但是AC=BD八.假定全集（一）用位串表示下列集合: （二）写出下列位串各自代表地集合 一一一一零零一一一一 零一零一一一一零零零 一零零零零零零零零一 解（一）=零零一一一零零零零零 =一零一零零一零零零一 =零一一一零零一一一零（二）一一一一零零一一一一={一,二,三,四,七,八,九,一零} 零一零一一一一零零零 ={二,四,五,六,七}一零零零零零零零零一={一,一零}九.说明怎样用位串地按位运算求下列集合,其,,,。 （一） （二） （三） （四）解在全集考虑问题,则集合A地位串是:一一一一一零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零,集合B地位串是:零一一一零零一零零零零零零零零一零零零一零一零零零零,集合C地位串是:零零一零一零零零一零零零零零一零零零零零一零零一一一,集合D地位串是:零零零一一零零一一零零零零一一零零零零一一零零一一零,集合地位串是一一一一一零一零零零零零零零零一零零零一零一零零零零,集合地位串是零一一一零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零