中考数学三角形专题复习

中考数学三角形专题复习授课教案（12月第4次课）学员姓名：王尊授课教师：杨江超所授科目：数学学员年级：九年级上课时间：2013年12月30日15:00至21:00共4小时教学标题：三角形教学目标：学习三角形的基本概念、特性和分类，掌握三角形的稳定性和角边关系。上次作业完成情况：未提及。授课内容：一、三角形的基本概念三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。二、三角形的主要线段1.角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点。需要注意的是，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。2.中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点。需要注意的是，三角形的中线是一条线段。3.高线：从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。需要注意的是，三角形的高是线段，而垂线是直线。三、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中需要稳定的东西都制成三角形的形状。四、三角形的特性与表示三角形有以下三个特性：①三角形有三条线段；②三条线段不在同一条直线上；③首尾顺次连接。以上三点表明三角形是封闭图形，不满足这三个特性的图形不是三角形。用符号“△”表示“三角形”，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。五、三角形的分类及角边关系1.三角形的分类：三角形按边的关系可以分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；按角的关系可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。2.等腰直角三角形：是两条直角边相等的直角三角形。需要注意的是，一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。10.3.2三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理指出，三角形的两边之和大于第三边，推论则是三角形两边之差小于第三边。这个定理和推论的作用有三个方面：一是判断三条已知线段能否组成三角形；二是当已知两边时，可确定第三边的范围；三是证明线段不等关系。10.3.3三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理指出，三角形三个内角和等于180度。推论有三个：一是直角三角形的两个锐角互余；二是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三是三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。需要注意的是，在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。10.3.4三角形的面积三角形的面积可以用1/2×底×高来计算。10.4全等三角形10.4.1全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形，而能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边是三角形中相邻两角的公共边，而夹角则是三角形中有公共端点的两边所成的角。10.4.2全等三角形的表示和性质两个三角形全等时，可以用符号“≌”来表示，读作“全等于”。记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是全等三角形的性质。10.4.3三角形全等的判定三角形全等的判定公理有三个：边角边公理，角边角公理和边边边公理。选择哪种判定公理必须根据已知条件而定。比如，当已知一边和两个角时，可以选择边角边公理；当已知两边和一个夹角时，可以选择角边角公理；当已知三边时，可以选择边边边公理。从心而悟，由学而通，学习几何知识需要理解直角三角形全等的判定。对于直角三角形，HL公理即斜边、直角边公理成立，即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。需要注意的是，HL公理只适用于直角三角形，而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形。全等变换是一种不改变图形形状大小，只改变位置的图形变换。全等变换包括平移变换、对称变换和旋转变换。无论是哪种变换，变换前后的两个图形都具有全等的所有性质。等腰三角形的性质定理及推论：等腰三角形的两个底角相等，即在三角形ABC中，若AB等于AC，则B等于C。等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边，且底边上的中线和高互相重合。等边三角形的各个角都相等，且每个角都等于60度。等腰三角形还有其他性质，如三线合一性、底角只能为锐角等。最后，需要注意的是，等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可以为钝角或直角。另外，等腰直角三角形的两个底角相等且等于45度，而等腰三角形的三角关系和三边关系也需要掌握。1、已知斜边和一个锐角（如c，∠A），可以用以下公式求解：b=a⋅cotA（或b=√(c^2-a^2)）；a=c⋅sinA；b=c⋅cosA（或b=√(c^2-a^2)）；2、已知斜边和一个锐角（如c，∠A），可以用以下公式求解：∠B=90°-∠A；a=c⋅sinA；b=c⋅cosA（或b=√(c^2-a^2)）；3、已知两直角边（如a，b），可以用以下公式求解：c=√(a^2+b^2)；由tanA=a/b，可得∠A；∠B=90°-∠A；4、已知斜边和一直角边（如c，a），可以用以下公式求解：b=√(c^2-a^2)；由sinA=a/c，可得∠A；∠B=90°-∠A．在测量中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角。坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i=h/l。坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡度与坡角的关系为i=tanα。方向角是指从观测点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角。例如，从O点出发的视线与正西方向与正北方向所夹的角叫做方向角。在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从O点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角。如果一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，那么它一定是圆。在钝角△ABC中，如果点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，则∠1=∠2，∠1=∠3，∠B=∠C，但是∠B≠∠1。如果AB//DE且AB=DE，那么添加条件“∠A=∠D”可以使△ABC≌△DEF，证明略。在图中，如果∠BAC=40°，∠BAD=30°，则∠ABC的度数为70°。如果将一个等腰直角三角形纸片沿对称轴折叠一次，得到的图形也是等腰直角三角形，再将这个图形沿对称轴折叠一次，得到的图形是正方形。2007.18.已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．解析：首先，我们可以通过观察得知，△ADE与△CBF全等，因为它们有共边DE=BF，且∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，所以AE=BC，DE=BF，因此，四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，所以DF与AB平行，且DF=AB/2。证明：由于AE=AD，所以△ADE是等腰三角形，因此，∠DAE=∠DEA，又由于DF⊥AE，所以∠ADF=90°-∠DAE=90°-∠DEA，因此，△ADF与△AED相似，所以AD/DE=DF/AE，即AD/DE=DF/AD，所以DF=AD^2/DE=AB/2。因此，DF与AB平行，且DF=AB/2。BCN中，点A、D分别在BC、CN上，且BD=CD，角BAD=角ACD，求证：线段BN与线段CN相等。证明：连接AD，根据题意可知，△ABD≌△ACD，因此∠ABD=∠ACD，又因为BD=CD，所以△BCD为等腰三角形，即∠BCD=∠CBD。又因为∠ABD=∠ACD，所以∠BAD=∠CAD，又因为△BCD为等腰三角形，所以∠BCD=∠CBD=∠BAD，因此△ABN与△ACN为全等三角形，即AN=AN，BN=CN。因此，线段BN与线段CN相等。改写：在△BCN中，BD=CD，且角BAD=角ACD，要证明线段BN与线段CN相等。连接AD，根据题意可知，△ABD与△ACD全等，因此有∠ABD=∠ACD。又因为BD=CD，所以△BCD为等腰三角形，即∠BCD=∠CBD。同时，由∠ABD=∠ACD和△BCD为等腰三角形可得∠BAD=∠CAD=∠BCD=∠CBD。因此，△ABN与△ACN为全等三角形，即AN=AN，BN=CN。因此，线段BN与线段CN相等。ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，且∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C的度数。根据三角形中位线定理，DE∥BC且DE=1/2BC。又因为∠ADE=60°，所以∠BDC=120°。由三角形内角和定理可得∠AED=∠BED=60°，因此∠AEB=120°。又因为∠A=50°，所以∠B=130°，∠C=100°。故选C。2013.8如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N。下列结论：①∆APE≌∆AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④∆POF∽∆BNF；⑤当∆PMN∽∆AMP时，点P是AB的中点。正确的结论有4个，即①②③④。其中⑤是错误的。2013.14.在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得∆AOP是等腰三角形，则这样的点P共有2个。设点P的坐标为（x，0），则根据等腰三角形的性质有OP=O