概率与数理统计

概率与数理统计第1页，课件共20页，创作于2023年2月(1)随机变量的分布虽然全面完整地反映了随机变量的概率性质，但有时却不够集中突出地反映随机变量的某些特征。需要引进一些数量来表示平均值和衡量偏离程度。研究随机变量的数字特征的必要性随机变量的数字特征(2)在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求出。(3)在许多实际问题中，完全、确切地掌握随机变量的分布并不必要，而只需知道它的某些特征就够了。例：在测量某零件的长度时，由于种种偶然因素的影响，测量到的零件的长度是一个随机变量，一般我们关心的是测量的平均长度以及测量结果的精确程度—测量的长度与平均值的偏离程度。表示平均值和衡量偏离程度的量虽然不能完整地描述随机变量，但它能够描述随机变量的某些重要特征，我们把其称为随机变量的数字特征。第2页，课件共20页，创作于2023年2月解：直接比较，难知两射手技术的优劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述两射手技术水平的数字特征。让我们先来研究概率论中刻划平均值的数字特征。例：甲乙两人各射击1000次，其命中环数的次数为随机变量，记为X1,

X2。射击情况如表1所示。试问甲乙二人谁的水平较高？表1

X1525200501007550

X240020024515500环数x

i1098765不难计算出两射手命中目标的“平均环数”分别为从平均环数看，甲比乙水平高一点。频率以频率为权数的加权平均值第3页，课件共20页，创作于2023年2月不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击1000次

同样计算，结果一般不会相同。若令fi

表示频率，则上述二式可表示为由概率的统计定义知道，在大量试验下频率fi概率pi

稳定于从而稳定于表2P(X1=x

i)0.5260.20.050.10.0740.05环数x

i1098765P(X2=x

i)0.3980.20.2450.15700

若甲、乙的命中环数X1,

X2的分布列如表2所示，概率以概率为权数的加权平均值数学期望则

第4页，课件共20页，创作于2023年2月第一节数学期望（均值）离散型随机变量的数学期望就是其取值的加权平均值，权为概率。一离散型随机变量的数学期望

定义：设离散型随机变量X的概率函数为

P

(X=x

i

)=pii=1,2,…若级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望简称期望或均值。记作EX

，即EX=如果级数不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在

对要求绝对收敛的说明：离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的，对同一个随机变量，它的取值的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望是不应该改变的，这就意味着级数的求和次序可以改变而其和要保持不变，要达到这一点，必须有绝对收敛。注意

数学期望的直观含义：平均值

第5页，课件共20页，创作于2023年2月例：一批产品中有一、二、三等、四等品、废品5种,相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元、0元。产值X是一个随机变量，其分布如表3求：产品的平均产值。例：设离散型随机变量X的概率函数为解：EX=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04=5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表3求：EX

第6页，课件共20页，创作于2023年2月记为设连续型随机变量X

的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分为X的数学期望。例：计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X的数学期望解：依题意二连续型随机变量的数学期望结论：在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X的数学期望

是区间中点第7页，课件共20页，创作于2023年2月例：设随机变量X

服从参数为

的指数分布，求X的数学期望则解：指数分布的密度函数为这表明指数分布的数学期望为。例：设

X的密度函数为求

X

的数学期望。解：第8页，课件共20页，创作于2023年2月设随机变量

X服从柯西(Cauchy)分布，其密度函数为例：第9页，课件共20页，创作于2023年2月定理3.1：设Y

=g(X)，g(x)

是连续函数，那么(2)若X为连续型随机变量，其密度函数为

f(x)，(1)若X为离散型随机变量，其概率函数为求EY

时，可以不求Y=g(X)

的分布，而直接利用X

的分布。三随机变量函数的数学期望第10页，课件共20页，创作于2023年2月

解：例：设随机变量X的分布列为求：EX2，E(2X-1)。P

1/81/43/81/4X

-1023例：求：EY

解：第11页，课件共20页，创作于2023年2月定理3.2若(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X

,Y

)(1)若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为(2)若(X,Y)为二维连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y)且第12页，课件共20页，创作于2023年2月解：设(X,Y)的联合密度为例：求：

EXY设(X,Y)的联合概率分布为例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：(1+1)x0.1+(1+2)x0.2+(1+3)x0+(2+1)x0.3+(2+2)x0.15+(2+3)x0.25=3.55第13页，课件共20页，创作于2023年2月性质1：常量的期望就是这个常量本身,即E(c)=c.证：常量c可看作仅取一个值c的随机变量，且取值c的概率为1，即X

的分布为P(X=c)=1，这种分布称为退化分布，其数学期望为E(c)=c

1=c推论：E(EX)=EX性质2：随机变量X与常量c之和的数学期望等于X的期望与这个常量c的和E(X+c)=EX+c证：设X的分布为pk（离散型）；密度函数为f(x)（连续型），则

四数学期望的性质第14页，课件共20页，创作于2023年2月性质3：常量c与随机变量X的乘积的期望等于c与X的期望的乘积，E(cX

)=cEX

证：设X的分布为pk（离散型）；密度函数为f(x)（连续型）则性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望

的同一线性函数，即E(kX

+c)=kEX+c证：

E(kX

+c)=E(kX)+c=kEX

+c第15页，课件共20页，创作于2023年2月性质5：两个随机变量之和（差）的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和（差）

E(X

Y)=EX

EY推论：对任意常数ci(i=1,2,…,n)、常数b及随机变量X

i(i=1,2,…,n)特别地，n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这n个随机变量期望的算术平均数。第16页，课件共20页，创作于2023年2月性质6：两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即E(XY)=EX•EY证：离散型：设(X

,Y)的联合分布为pij

，边缘分布为pi(1)

和pj(2)

连续型：设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y)，则第17页，课件共20页，创作于2023年2月解：

EX=90.3+100.5+110.2=9.9EY

2

=620.4+720.6=43.8

例：两相互独立的随机变量X,Y

的分布如下面两表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：E(X+Y

)、E(XY

)和EY2且因X与Y

相互独立，所以E(XY)=EXE

Y=9.96.6=65.34则E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5EY

=60.4+70.6=6.6设(X,Y)的联合概率分布为例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：

0.250.350.4P321Y

0.70.3P21X

EX

=10.3+20.7=1.7

EY

=10.4+20.35+30.25=1.85

E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55第18页，课件共20页，创作于2023年2月五条件数学期望

定义：设离散型随机变量X,Y的联合概率函数为

P

(X=x

i,

Y=yj)=piji,j=1,2,…,在Y=yj条件下X的条件概率函数为P

(X=x

i|

Y=yj)i=1,2,…若级数绝对收敛，则称为随机变量X的条件数学期望定义：设二维连续型随机变量X,Y，在Y=y条件下X的条件密度函数为f

(x