中国的数千年历史告诉我们封闭是落后的根源

中国的数千年历史告诉我们：封闭是落后的根源，改革开放是强国之路。

开放，即交流，是治国良策，也是教育良方。

第三次全国教育工作会议确立了“提高民族素质和创新能力”是教育的

重点。青少年学生的思维最活跃，敢想、敢说、敢做，是最少保守、勇于

创新的一代。可是中学生在学习上又受到条条框框的限制，使他们的思维

处于保守、封闭的状态。我们必须在教育观念上，从以教师为中心变以学

生为主体；在教学方法上，由直接灌输式变为启发式、发现式、讲授式的

有机结合；在课堂活动中，形成开放型，使学生与教师之间、学生与学生

之间获得充分的交流，以提高课堂效益。从1995年开始，作者在整个高中

和初一年级的教学中，对新时期人才培养的模式进行探索和实践，初步形

成了培养良好学习素质为核心的一种复习课模式一一开放式复习课。

一、本模式的操作程序和教学效能

简言之，本模式的操作程序是：驱动一放飞一导航。各程序的教学效

能具体如下：

㈠、以题驱动，还以自主

学习积极性是学生在活动中的一种自觉能动的心理状态，它是由多种心

理因素构成的，其中包括学习动机、学习兴趣和学习时的注意状态。三者

相辅相成，通常学习动机愈明确，参与学习的欲望就愈强，对学习内容就

愈容易产生兴趣，注意力就愈容易集中，学习质量也就愈好。基于这些原

理，作者以课本题为蓝本精心编制开放式题组，在复习课中以问题作为出

发点，创设问题情境，培养和激发学生的学习动机与兴趣。

例1:在高中《平面解析几何》第一章直线中，概念、公式多。复习课

中我设计了一道开放式解答题：已知点A(8,2)、B(3,6)、C(3,2)三点,能

求出什么？怎样求？有几种求法？哪种方法最优？

复习课开始，我并没有马上摆出此题，而是告诉学生：“我用一道题就

能概括整章内容。”“真的吗？”制造悬念，从而吸引学生。

当题目抛出，课堂沸腾起来。我有意地提问一个基础较差的学生，"线

段AB的中点坐标；AABC的重心坐标；直线BC的方程……”回答充满成功

的喜悦。

整节课我不时发问：“怎样才能想得又快又多？”“分类想。”

“还有别的方法吗？”“哪种方法最好？”“还可以求出什么？”……

学生们争先恐后地举手发言、讨论、订正、评价。下课后，还有学生拿着

练习本问“这样行吗？”

Youhear,youforget.Yousee,youremember.Youdo,youlearn.学生角色

心理的作用内化为学生主体自身的动机需要，有利于学生主动去获得知识。

㈡、给予时空，充分放飞

“学之者不如知之者，知之者不如乐之者。”这耳熟能详的古训道出了

一个学习的真理：在快乐中学习，是学习的最高境界。快乐使人意气风发,

使人神清气爽，使人机智幽默……总之，它令人的身心调节到最佳状态，

充满进取心，迸发智慧和力量。但读书又是天生的苦事，何来快乐呢？快

乐来自思维的自由，来自学习过程的亲身体验，也来自经历艰辛之后的“豁

然开朗”。

通过教学，应引导学生的思维由封闭状态逐步转化到开放状态。开放思

维的广阔性主要表现在能够较多方面地而又仔细地研究问题，不但研究问

题的本身，而且研究有关的其他问题。任何一个事物总不会都像一个球，

从每一个角度看都是一种形状而无变化；任何一个事物也总不会都像一张

白纸，看上去永远是一个平面而无层次。应提倡立体思维，也就是多角度、

多层次地思维，引导学生思考问题应当多方面进行。

在教学实践中，我曾试用下面三条途径。

1.广泛联想

联想是由一事物想到另一事物的心理活动。它是连接各个思维环节的桥

梁，是使思维活动得以顺利进行的重要保证。联想可分为定向联想、关系

联想、形似联想。横向联想使思维开阔，纵向联想使思维深化。因此，在

教学中，要加强训练，有意架设联想之桥，这是发展学生思维能力的根本

措施。

例2：初一《代数》（上）第一章有理数概念多。复习课中我又设计了

一道开放式问答题作为启动：“零有哪几种身份？”学生们抢着回答：“零

的绝对值最小”、“零是没有倒数的有理数”、“零的相反数等于它本身”、“零

与数轴上的原点对应”、“零是正数和负数的分界点”、“零既不是正数也不

是负数”、“零与任何数的和等于这个数本身”、“零除以任何不为零的数等

于零”……不到五分钟，课本出现的、老师讲过的全部复现了，课室恢复

了平静。

“零的绝对值最小，零会最大吗？”不久，又跳出来了：“零是最大的

非正数”、“零是最小的非负数”这两个结论跳出了学生对概念的理解、重

组，实现了再创造。

课室里又恢复了平静，再问：“还有吗？”没想到真的还有几个答案勇

敢地冒了出来：“一个数与它的相反数的和为零”、“负数与它的绝对值的和

为零''、"两个互为倒数的积与1的差是零”、“一个非零的数的零次方与1

的差为零”、“零不能做分母”、“零为什么不能做分母？”……

这样做不仅给予学生充分的思考机会，使学生明晰概念的来龙去脉，在

系统中掌握概念，更便于理解。更重要的是他们参与了教学过程，自己获

得思维结果，强化创新意识，激起超前欲望。在这个过程中，他们插上丰

富联想的翅膀，在数学的星空中翱翔。

2.一题多解

发散思维是创造思维的中心，是测定创造力的主要标志之一。培养发散

思维能力，应着眼于研究未知的事物，促使学生不断认识所学知识的内在

联系、打破思维“定势”，从而达到拓宽视野，开发智力、启迪创造思维的

目的。“一题多解”就是培养学生的发散思维能力的途径之一。

例3:如图，已知直线AB：4x+5y-42=0y

与直线L关于点C(3,2)对称，求直线1

启发学生观察图形，发现:

⑴直线L平行于直线AB;

⑵点C到直线L、AB的距离相等；

⑶直线L上任意一点关于点C的对称点都在直线AB上；直线AB上任意

一点关于点C的对称点都在直线L上。

方法一：

1.根据发现⑴，设所求直线L的方程为4x+5y+m=0;

2.根据发现⑵，利用点到直线的距离公式，列方程组求m(有增根)。

“所求直线平行于已知直线，就是给出了哪个量？”“斜率。”

“要写出直线的方程，还欠什么条件？”“直线上的点的坐标。”

“怎样求直线L上的点的坐标？哪个‘发现'适用于求点的坐标？”

“哦，在直线AB上任取一点D,它关于点C的对称点E必在直线L上。”

“取怎样的点最好？”“坐标越简单越好。”

“直线上哪些点的坐标最简单？”“直线与坐标轴的交点。”

方法二:

1.设所求直线L的方程为4x+5y+m=0;

2.写出直线AB与x轴的交点D的坐标；再用中点坐标公式，写出点D

关于点C的对称点E的坐标；最后，代入直线L的方程求m。

对照两种方法，方法二明显更优，体现简练美。

“还有其他方法吗？”“写出直线的方程有几种方法？”……

“还可以用两点式、截距式。”

方法三：

L取直线AB与两轴的交点D、F,求点D关于点C的对称点E的坐标与

点F关于点C的对称点G的坐标；

2.用两点式写出直线EG(即L)的方程。

方法四：

1.设所求直线1」两点P(xgO)、Q(O,yJ,点P关于点C的对称点为

M(xm,yj,点Q关于点C的对称点为N(xn,yn);

2.先求y”，再代入直线AB的方程求x„,,然后求x0;

3.同理，求外,写出直线L的截距式方程。

“还可以用轨迹的观点解这道题。”

“直线L上的任意一点具有怎样的特性？”

“关于点C的对称点都在直线AB上。”

方法五:

1.设所求直线L上的任意一点M(x,y)关于点C的对称点M，(x°,y°);

2.利用中点坐标公式列方程组，解方程组，用x、y表示x。、y0;

3.把x。、y0代入直线AB的方程，得直线li的方程。

“这就是坐标转移法，它在对称问题上应用广泛，更具一般性。

“三条直线哪条比较特殊？”

“直线AC是水平的。”

“直线AB、AF分别与直线AC所成的角之间有什么关系？""2/CAB=

ZCAF”

“还有求斜率的方法吗？”“角的方向一致，对，用正切的倍角公式。”

方法二：1.用正切的倍角公式求斜率K=岸；

2.求点A的坐标，再用点斜式写出直线的方程。

“除了点斜式，还有别的方法吗？"“两点式，截距式，……截距式繁。”

方法三：L写出直线AC上任意一点M关于直线AB的对称点N的坐标;

2.求点A的坐标，再用两点式写出直线的方程。

“不求交点，能写出直线的方程吗？”

“可用直线系方程设出所求直线的方程。”

方法四：1.设所求直线AF的方程为4x+5y-42+X(y-2)=0;

4

2.用正切的倍角公式求斜率K,解方程K=-b，求人。

“不求交点，也不求斜率，还能写出直线的方程吗？”“用坐标转移法」

“在直线AC、AF上分别画出点M、,使它们关于直线AB对称。”……

“点M、M，关于直线AB对称，隐含着什么条件？”

“⑴直线MM，垂直于直线AB;⑵点M、到直线AB的距离相等；⑶线

段MM，的中点在直线AB上。”

“用哪两个条件最好？”“⑴和⑶。”“为什么？”“更容易列出方程。”

方法五：(解略)坐标转移法渗透了轨迹的观点，展现数学世界中的动

态之美，掌握辩证的思想方法。

一题多解，沟通了各知识点及数学各分支之间的联系，有助于学生完善

和扩充自己的知识网络，学会从不同角度去观察、思考和分析问题，灵活

运用所学知识去处理各类问题，使思维敏捷而流畅。这样做，不仅增强了

学生的发散思维能力，而且掀起了学生学习的主动性，培养了学生积极的

探索精神和态度。

3.一题多变

例5：用轨迹的观点求aABC中/A的内角平分线，可移植到“求线段

的垂直平分线方程”、“已知圆心、半径求圆的方程”……

例6:写出过点A平行于BC的直线的方程后，联系课本P28习题二16

的结论得出规律：

过点(X。,y。)平行于直线Ax+By+C=O的方程是A(x-x0)+B(y-yo)=O;

类比得出规律：

过点(xo,y0)垂直于直线Ax+By+C=0的方程是B(x-x0)-A(y-y0)=0o

这一切，笔者都是在课堂中引导学生自己推断出来的。笔者曾在初一乘

法公式复习课中写出下面三个等式，让学生挖洞编填空题。

例7:请你当老师，根据下列等式编题

1.(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2;

2.(3m+5n)(3m-5n)=9mJ-25n2;

3.(7p-2q)(49p2+14pq+4q2)=343p-8q3

部分学生的结果摘录如下：

1.(2x-_)2=4X2+9y2;(答案：士3y,±12xy)

2.(_+5n)(_-5n)=9m2-25n2;(答案：3m,3m或-3m,-3m)

(3m_)(3m_)=9m2-25n2;(答案：+5n,-5n或-5n,+5n)

(3m_)(_-5n)=9m2-25n2;(答案:+5n,3m)

3.(7p-2q)(49p2+14pq+4q2)=343p3;(答案:-8q3)

(343p-8q3)-(7p-2q)=.(答案：49p2+14pq+4q2)

综上，不难看出在教学中坚持不懈地通过一题多变不断深化，充分挖掘

例题的潜在能力，不仅有利于培养学生数学意识，训练思维能力，使他们

能举一反三、触类旁通，而且也有利于使学生领会数学的实质、掌握数学

思想方法。

㈢、适时点拨，做好导航

1.整理体系

智慧是一种组织起来的知识体系。形成系统化的知识是复习的中心任

务。如果只停留在数学知识的简单、零散的积累水平上，学生脑中的知识

还是“半成品”，思维凌乱，那么学生的能力是难以得到发展的。在教学过

程中，应重视培养学生的自我梳理、归纳的能力。

如在例1中，学生积极发言，我把握时机引导学生理清头绪：“可求出

哪些点的坐标？”、“用了哪些公式？”……让学生有目的地按点、线、角、

距离这几个板块运用知识，在实践中把长期学习的各部分知识“组装”起

来，融会贯通，透彻理解，使之形成系统化知识，思维有条理、有层次，

渗透了分类思想，充分发挥教师的主导作用。

教学中，笔者还精制了开放图表，让学生填写。

例8：初中乘法公式一章，公式多，运用灵活、多变，极易混淆，出现

错误。在复习课中，笔者要求学生观察以下题组，总结何时用完全平方公

式，何时用平方差公式；完全平方公式何时直接运用，即对号入座，何时

要变式运用；平方差公式怎样用最快捷。（提示：注意符号）

完全平方公式平方差公式

(m+n)(m+n)(-m-n)(-m-n)(m+n)(-m-n)(m+n)(-m+n)

观

(m-n)(m-n)(-m+n)(-m+n)(m-n)(-m+n)(-m-n)(-m+n)

(m+n)(-m+n)

察

(m-n)(-m-n)

适用条件

用法(_)2-(_)!

小发现

教师引导学生把知识结构化，体系简约，抗拒遗忘，便于联想，把知识

真正变成自己的思想产物。

2.暴露陷阱

判断能力是逻辑思维能力的重要组成部分。为提高学生的判断能力，避

免负迁移，优化教学效果，向学生暴露易错点是必不可少的。我把学生平

时学习中经常犯的错误记录起来。在复习课时，精选编制有关例题，突出

错点指导学生分析、解疑。

例：求过点A在两轴上的截距相等的直线方程，易漏截距为零的情况。

如例1中，学生写出直线AB的方程后，再问：“线段AB的方程呢？”

进而点出直线方程与线段方程的区别，带学生顺利地绕过陷阱，培养学生

的科学的、实事求是的作风。

3.授之以渔

数学的教学过程不单是传授知识，更重要的是培养学生独立获取和运用

知识的能力。什么才是最高最好的教育，一位哲学家曾说过：“即使是学生

把教给他的所有知识都忘记了，但还能使他获得受用终生的东西。”“受用

终生的东西”理当指“思想方法”。数学思想方法是数学的灵魂，笔者在数

学教学中，有意识地把思维过程中的方法论问题，结合数学具体内容，深

入浅出地教给学生，让学生获得科学方法的有益启示。

如：例1巩固分类的思想方法；例3、例4穿插着数形结合的思想方法、

渗透轨迹的观点；例8隐含类比的学习方法……见一次点一回，潜移默化,

授之以渔。

总而言之，开放式复习课精选每一例题，融一题多变、一题多解为一身；

注重调动学生的积极性，让题型开放、课堂开放、学生的思维开放，是创

新教育和素质教育的一种尝试。

二、本模式的评价

㈠、初次检测：

笔者采用等组对比法检测教学效果。实验班采用本模式，对照班采用知

识归类一例题选讲一巩固练习的模式，为避免人为的主观因素的影响，实

验班与对照班均由同一教师任教。安排复习课后，进行单元测验，记录各

班测验平均分，对比教学效果。

第一次运用本模式的教学对象是95年高二⑶班学生。

1.实验班与对照班的选择

根据调查，全年级六个班中，3班与4班的学习成绩基本相同，例如分

班时，数学平均分相近；开学摸底考试成绩相近；具体情况如下表：

班别34

人数5755

1995年9月摸底考试平均分50.451.2

根据这些前测数据，笔者选择了3班作为实验班，4班作为对照班。然

后按所得数据进行Z检测。

2.检测结果

差异

人平均标准

班别Z值p值显著

数分差

程度

实验班35777.613.87X?a有

Z-।-5----------丁-1.834

—S.2S；<0.05显著

Ajni4n

对照班45573.214.082差异

㈡、重复检测

这次运用本模式的教学对象是1999~2000年初一⑵班学生。

1.实验班与对照班的选择

根据调查，全年级八个班中，2班与7班的学习成绩差异最大，分班时,

数学平均分相差最远；开学摸底考试成绩相差较远；具体情况如下表：

班别27

人数5353

1999年7月入学考试平均分95.2