新课程同步人教B版高中数学必修第二册练习：课时跟踪检测(九)-函数的应用(二)-

课时跟踪检测（九）函数的应用（二）A级——学考水平达标练1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是()解析：选D设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图像大致为D中图像．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A．14400亩 B．172800亩C．20736亩 D．17280亩解析：选D设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280.故选D.3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()A．125 B．100C．75 D．50解析：选C由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9))).设经过t1天后，一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2021年 B．2022年C．2023年 D．2024年解析：选C设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>eq\f(2,1.3)⇒x>eq\f(lg\f(2,1.3),lg1.12)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年．5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．答案：456．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v＝12000时，2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，∴lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq\f(M,m)＝e6－1.答案：e6－17．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．解析：设至少要清洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．答案：48．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg5≈0.699，lg3≈0.477)解析：当N＝40时，则t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq\f(5,9)＝－144(lg5－2lg3)≈36.72.答案：36.729．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)．结合散点图(如图)求a的值．(取lg2≈0.3进行计算)解：由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①5．2＝alg(3.2×1019)＋b，②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).10．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．(1)求a的值．(2)求k的值．(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程．解：(1)由题意，t＝0，S＝a＝7.(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解．B级——高考水平高分练1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)解析：画出散点图如图所示．由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．答案：④2．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)解析：由题意，得14(1＋1.25%)x－2008>20，即x－2008>eq\f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq\f(1－lg7,4lg3－3lg2－1)≈28.7，解得x>2036.7，又x∈N，故x＝2037.答案：20373．生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有________年．(参考数据：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，结果精确到年)解析：设生物死亡的年数为x年，由题意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(x,5730)＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\f(1,2)0.77＝eq\f(lg0.77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴该古墓距出土时约有2161年．答案：21614．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，则eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．5．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理化学、文学、经济学、生理学或医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2015年诺贝尔奖发放后基金总额为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额．(2015年记为f(1)，2016年记为f(2)，…，依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129≈1.32)解：(1)由题意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－eq\f(1,2)f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－e