2023年全国各类成人高考（专科起点升本科）《高等数学（一）》考点精讲及典型题（含历年真题）详解

第1章极限与连续1.1考点精讲一、极限1．数列的极限（1）数列的定义按一定顺序排列的一列数称为无穷数列，简称数列，记作{xn}。数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数：xn＝f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1，2，3等一切正整数时，对应的函数值就排成数列{xn}。（2）数列的极限①定义设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为或。如果不存在这样的常数a，就说数列{}没有极限，或者说数列{}是发散的，习惯上也说lim不存在。②几何意义将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间（a－ε，a＋ε）（图1-1）。图1-1所以当n＞N时，所有的点都落在开区间（a－ε，a＋ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外。注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{}的极限时，重要的是对于任意给定的正数ε，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。③数列极限的性质a．唯一性如果数列{}收敛，那么它的极限唯一。b．有界性对于数列{}，如果存在着正数M，使得对于一切x都满足不等式，则称数列{}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{}是无界的。如果数列{}收敛，那么数列{}一定有界。（3）四则运算法则①设有数列{}和{}．如果，，那么a．；b．；c．当(n＝1，2，…)且时，。②如果，而，，那么。③设函数y＝f[g(x)]是由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)复合而成，f[g(x)]在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则。（4）数列极限存在准则①（夹逼准则）如果数列{}，{}及{}满足下列条件：a．；b．那么数列{xn}的极限存在，且。②单调有界数列必有极限。2．函数的极限（1）函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。（2）函数极限的性质①唯一性若存在，那么它的极限唯一。②有界性如果，那么存在常数M＞0和，使得当时，有。③局部保号性a．如果，且A＞0（或A＜0）那么存在常数，使得当时，有f(x)＞0（或f(x)＜0）。b．如果，那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有。c．如果在的某去心邻域内，而且，那么．（3）函数在一点处的极限①当时函数f（x）的极限如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当时，函数f（x）的极限（值）为A，记作或（当时）②当时函数f（x）的极限如果当x从x0的左边（或右边）无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当时，函数f（x）的左极限（或右极限）是A，记作③左、右极限与函数极限的关系当时，函数f（x）的极限等于A的充分必要条件是：④几何意义任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y＝A＋ε和y＝A－ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点的一个δ邻域（－δ，＋δ），当y＝f（x）在图形上的点的横坐标x在邻域（x0－δ，x0＋δ）内，但x≠x0时，这些点的纵坐标f（x）满足不等式，亦即这些点落在上面所作的横条区域内（图1-2）。图1-2（4）x趋于无穷大时函数的极限①当x∞时函数f（x）的极限如果当x∞时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当x∞时，函数f（x）的极限（值）是A，记作或（当时）②当x＋∞（或－∞）时，函数f（x）的极限如果当x＋∞（或－∞）时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当x＋∞（或－∞）时，函数f（x）的极限（值）是A，记作③几何意义从几何上来说，的意义是：作直线y＝A－ε和y＝A＋ε，则总有一个正数X存在，使得当x＜－X或x＞X时，函数y＝f（x）的图形位于这两直线之间（图1-3）．这时，直线y＝A是函数y＝f（x）的图形的水平渐近线。图1-3（5）函数极限的性质①（唯一性）如果存在，则极限值必唯一。②（夹逼定理）设函数f（x），g（x），在点x0的某个邻域内（x0可除外）满足条件：（6）四则运算法则如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，则：上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情况，因而有以下的推论。推论：设都存在，k为常数，n为正整数，则有3．无穷小量与无穷大量（1）无穷小量与无穷大量的定义①无穷小量如果自变量x在某个变化过程中（xx0或x∞），函数的极限值为零，则称在该变化过程中，f（x）为无穷小量，记作。②无穷大量如果当自变量xx0（或x∞）的过程中，经过某一时刻后f（x）的绝对值可以大于事先任意给定的充分大的正数M，则称在该变化过程中，f（x）为无穷大量，记作。（2）无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果f（x）为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果f（x）为无穷小量，且f（x）≠0，则为无穷大量。（3）无穷小量的性质①有限个无穷小量之和仍为无穷小量；②有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量；③有限个无穷小量之积仍为无穷小量。（4）无穷小量的比较设α和β是同一过程中的无穷小量，即①高阶无穷小如果，则称α是较β高阶的无穷小量，记为；②同阶无穷小如果，则称α是与β同阶的无穷小量；③等价无穷小如果，则称α与β是等价无穷小量，记为；④低阶无穷小如果，则称α是比β低阶的无穷小量。（5）常用等价无穷小（）①②③④⑤⑥⑦4．两个重要极限（1）它可以用下面更直观的结构式表示式中的方块既可以表示自变量x又可以是x的函数，而表示当时必有即当为无穷小量时，上式的极限值才是1。（2）或对数列有其结构式可表示为其中方块的含义同前。二、连续1．定义（1）函数在一点处连续的定义设函数y＝f(x)在点的某一邻域内有定义，如果或那么就称函数y＝f(x)在点连续。（2）左连续和右连续如果limf（x）＝f（－）存在且等于f（），即，f（－）＝f（），就说函数f（x）在点左连续；如果limf（x）＝f（＋）存在且等于f（），即，f（＋）＝f（），就说函数f（x）在点右连续。（3）函数在一点处连续的充分必要条件函数在点处连续函数在点处左连续且右连续，且。（4）函数的间断点①间断点的定义设函数f（x）在点的某去心邻域内有定义，如果函数f（x）：a．在x＝没有定义；b．虽在x＝有定义，但limf（x）不存在；c．虽在x＝有定义，且limf（x）存在，但limf（x）≠f（x0），则函数f（x）在点为不连续，而点称为函数f（x）的不连续点或间断点。②间断点的分类a．第一类间断点设是函数f(x)的间断点，若左极限和右极限都存在，则是函数f(x)的第一类间断点．如果左极限等于右极限，则是可去间断点；如果左极限不等于右极限，则是跳跃间断点。b．第二类间断点不属于第一类间断点的间断点称为第二类间断点．无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点。2．函数在一点处连续的性质（1）连续函数的算术运算若函数，在点处连续，则，，在点处也连续。（2）复合函数的连续性①若，函数在点a处连续，则有。②设函数在点处连续，且，而函数在点处连续，则复合函数在点处也连续。3．闭区间上函数连续的性质（1）有界性定理在闭区间上的连续函数一定在该区间上有界。（2）最值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。（3）零点定理设函数在闭区间上连续，且(与异号)，那么在开区间内至少有一点，使。（4）介值定理设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么对于A