浙江省宁波市鄞县正始中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

浙江省宁波市鄞县正始中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有六名同学数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1～6号，得第一名者将参加全国数学竞赛。今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：不是1号就是2号；乙猜：3号不可能；丙猜：4号、5号、6号都不可能；丁猜：是4号、5号、6号中的某一个。以上只有一个人猜测对，则他应该是（A）甲

（B）乙

（C）丙

（D）丁

参考答案：C2.空间中，、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列结论错误的是A.若则

B.若则C.若，则

D.若则参考答案：D略3.已知向量=（1－，1），=（，1＋），且∥，则锐角等于

（

）

A．300

B．450

C．600

D．750

参考答案：答案：B4.一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是，则正方体的表面积是（）A．8B．6C．4D．3参考答案：A略5.将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．（0，0） B．（） C．（） D．（π，0）参考答案：A【考点】余弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换求出函数的解析式即可得到结论．【解答】解：将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos（x+），再向左平移个单位，得到y=cos[（x+）+]=cos（x+）=﹣sinx，由x=kπ，解得x=2kπ，即函数对称中心为（2kπ，0），当k=0时，函数的对称中心为（0，0），故选：A【点评】本题主要考查三角函数对称中心的求解，根据函数图象变换关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）

（13，49）

（9，25）

（3，7）参考答案：A7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.设是的重心，且，则的大小为A．45°

B．60°

C．30°

D．15°参考答案：B解析：由重心满足知，同时由正弦定理，，故可令三边长取，则，借助余弦定理求得．9.已知中，三个内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D略10.给出下列命题：①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；②函数y=sin（x+）在闭区间上是增函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin（x+）的增区间，判断②的正误；直线x=代入函数y=sin（2x+）是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．【解答】解：①函数y=sin（﹣2x）=sin2x，它是奇函数，不正确；②函数y=sin（x+）的单调增区间是，k∈Z，在闭区间上是增函数，正确；③直线x=代入函数y=sin（2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为

．参考答案：

【考点】几何概型．【分析】测度为面积，找出点离岸边不超过4m的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为22×12，阴影部分的面积为20×30﹣22×12，∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1﹣=．故答案为．12.已知函数，若恒成立，则的最大值为

04f(x)1－11参考答案：略13.若实数x，y满足，则z＝的最小值为______________.参考答案：略14.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

．参考答案：15.已知正数，，满足，则的最小值为

.参考答案：2416.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Q在线段CC1上，则线段PQ长的最小值为

▲

．参考答案：线段PQ长的最小值为异面直线D1E，CC1之间距离，取B1C1中点M，则CC1//平面EMD1,所以异面直线D1E，CC1之间距离为点C1到平面EMD1距离，由得即线段PQ长的最小值为.

17.若向量满足∥，且⊥，则＝

．参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分。几何证明选讲）

D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合。已知AE的长为，AC的长为,AD、AB的长是关于的方程的两个根。（1）证明：C、B、D、E四点共圆；（2）若∠A=90°，且，求C、B、D、E所在圆的半径。参考答案：解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故

AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=（12-2）=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5

19.已知函数f（x）=ln（x+a）+，g（x）=lnx．（1）已知f（x）在[e，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（2）已知m，n，ξ满足n＞ξ＞m＞0，且g'（ξ）=，试比较ξ与的大小；（3）已知a=2，是否存在正数k，使得关于x的方程f（x）=kg（x）在[e，+∞）上有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求导，再根据f（x）在[e，+∞）上是单调函数，得到f′（x）≥0或f′（x）≤0，即可求出a的范围；（2）由题意得到，构造函数h（x）=2lnx﹣x+，（x＞1），利用导数求得h（x）的最大值，继而得到2lnx＜x﹣，令，化简整理即可得到ξ与的大小关系；（3）假设方程f（x）=kg（x）存在两个不相等的实数根x1，x2，且x2＞x1≥e，利用做商法得到，根据条件左边大于1，右边小于1，得到上式矛盾，问题得以证明．【解答】解：（1）∵，∴，∵f（x）在[e，+∞）上单调，∴或，∴或，∵当x≥e时，，∴…（2）∵，∴设，则，∴h（x）＜h（1）=0，∴当x＞1时，令，得，∴?，∴，即…（3）假设方程f（x）=kg（x）存在两个不相等的实数根x1，x2，且x2＞x1≥e，则，即???，∵x2＞x1≥e，∴，而，∴，∴方程不存在两个不相等的实数根．…【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及反证法，培养了学生的分类讨论的能力，转化能力和运算能力，属于难题．20.某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，由已知求出，由此能求出n．（Ⅱ）一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=，由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），能求出EX和DX．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，则，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=，由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），…∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴EX==，DX==．…【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件甲81240328元件乙71840296（1）试分别估计元件甲、乙为正品的概率；（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元。在（1）的前提下；①记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；②求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率.参考答案：（1）；（2）（i）66；（ii）试题解析：（1）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：.（2）①随机变量的所有取值为90，45，30，，而且；；；；所以随机变量的分布列为：904530

所以：.②设生产的5件元件乙中正品有件，则次品有件，依题意，，解得：，所以或，设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件，则：.考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【方法点睛】1．求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率．2．在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解．22.(本小题满分12分)已知点，圆：，过的动直线与⊙交两点，线段中点为，为坐标原点。（1）求点的轨迹方