湖北省咸宁市蔡墩乡中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省咸宁市蔡墩乡中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（

）A．24种

B．18种

C．48种

D．36种参考答案：A2.设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：A3.若α∈（，π），则3cos2α=cos（+α），则sin2α的值为（）A． B．﹣ C．D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简可得3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），由范围α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，从而可求cosα+sinα=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2α=cos（+α），∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，∴cosα+sinα=，∴两边平方可得：1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故选：D．4.已知x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，若2x+3y＞t2+5t+1恒成立，则实数t的取值范围（）A．（﹣∞，﹣8）∪（3，+∞） B．（﹣8，3） C．（﹣∞，﹣8） D．（3，+∞）参考答案：B【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用“1”的代换化简2x+3y转化为（2x+3y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+3y＞t2+5t+1求得2x+3y的最小值，进而求得t的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得：=1，∴2x+3y=（2x+3y）（）=13+≥13+2=25．当且仅当x=y=5时取等号．∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，求得﹣8＜t＜3．故选：B．5.关于的方程有实根的充要条件是

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略6.设为实数区间，，若“”是“函数在上单调递减”的一个充分不必要条件，则区间可以是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知，则（A） （B） （C） （D）参考答案：D略8.没函数，则下列结论错误的是

A．的值域为{0，1}

B．是偶函数 C．不是周期函数

D．不是单调函数参考答案：9.点（tan2009°，cos2009°）位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D10.在数列{an}中，a1=3，an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）A．7049 B．7052 C．14098 D．14101参考答案：B【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），变形（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，两式相除可得an+1=an﹣1，可得数列{an}是周期为2的周期数列．即可得出．【解答】解：∵an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），∴（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，∴，可得an+1=an﹣1，因此数列{an}是周期为2的周期数列．a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，∴S2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）（2015?上海模拟）（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有个．参考答案：3【考点】：平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由=0可得，分类作图可得结论．解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．12.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）?（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．13.已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是

．参考答案：（2，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】易知函数f（x），g（x）都是偶函数，所以只需判断F（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点即可，也就是函数y=f（x）与y=g（x）的图象在y轴右侧有两个不同交点即可．画出它们的函数图象，问题容易解决．【解答】解：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g（x）也是偶函数，因此只需做出x＞0时f（x），g（x）的图象，然后此时产生两个不同交点即可．作出函数f（x）、g（x）的图象如下：可知，若F（x）恰有4个零点，只需，即．解得．故答案为．【点评】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题14.

参考答案：18【知识点】定积分与微积分基本定理=9+2cos3+9-2cos3=18【思路点拨】根据定积分与微积分基本定理求得。15.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中x的值是

;参考答案：略16.将全体正整数排成一个三角形数阵12

34

5

67

8

9

1011

12

13

14

15………根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行的从左至右的第3个数是_______．参考答案：

17.已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是

．参考答案：4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数t的取值范围；（2）如果时，不等式恒成立，求实数的取值范围，并判断代数式与（）的大小。参考答案：（Ⅰ）因为，，则，当时，；当时，.所以在上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间上存在极值，所以解得 （Ⅱ）不等式即为记，所以. 令，则，，，在上单调递增，，从而，ks5u故在上也单调递增，所以所以. 由上述知恒成立，即，

令，则，∴，，，…，， 叠加得.Ks5u则，所以．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面

ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．???（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；???（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．参考答案：解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，P，E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，，1）从而（4分）设的夹角为θ，则∴AC与PB所成角的余弦值为．（8分）（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为，则，由NE⊥面PAC可得，

∴即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB和AP的距离分别为1，。

（12分）20.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A、B两点，求的值.参考答案：（1）曲线的直角坐标方程为,的直角坐标方程为（2）【分析】（1）利用消参求出曲线C的直角坐标方程，利用极直互化的公式求出直线的直角坐标方程；（2）先求出直线的参数方程，再利用参数的几何意义求解.【详解】解:(1)由(为参数)，得曲线的直角坐标方程为.由，得，则的直角坐标方程为.(2)易知点在直线上，直线的参数方程可写为(为参数)，代入.得.设对应的参数分别为，则故【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线的斜率为时，求的面积．（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得经，为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：见解析（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为，∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为，∴，，故所求椭圆方程为．（Ⅱ）右焦点，直线的方程为，设，，由得，，解得，，∴．（Ⅲ）假设在线段上存在点，使得以，为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，由可得：，∴，，，，，其中，以、为邻边的平行四边形是菱形，∴，即，∴，∴，化简得，∴，∴．22.（本小题满分14分）已知函数（1）试讨论函数的单调性；（2）若函数在是单调减函数，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，当时，证明：（其中（e≈2.718……即自然对数的底数）参考答案：（1）定义域为...........................................1分..................................................2分当时,递增,当时,递减,......................................................3分的单调增区间为的单调减区间为................4分的极大值为无极小值.......