2022-2023学年福建省莆田市仙游县枫亭中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省莆田市仙游县枫亭中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i是虚数单位，复数3+i2A.1+i B.1−i C.2.下列关于空间几何体的叙述，正确的是(

)A.直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥

B.棱柱的侧面都是平行四边形

C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D.直平行六面体是长方体3.已知向量a=(2,1),bA.−8 B.−6 C.−14.已知正三角形ABC的边长为4，那么△ABC的直观图A.3 B.6 C.25.已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且A.30° B.60° C.120°6.在△ABC中，若sinA：sinB：A.150° B.135° C.120°7.在▱ABCD中，点E为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BE并延长交AD于A.13AB−16AD 8.在△ABC中，a=5，b=A.有两解 B.有一解 C.无解 D.解的个数不确定9.空间中，直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是(

)A.若a/​/α，b//a⇒b//α

B.若a/​/α，b二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）10.下列说法中正确的是(

)A.若a/​/b，b/​/c，则a/​/c

B.若两个非零向量a，b满足|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向

11.下列命题中，正确的是(

)A.在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B

B.在锐角三角形ABC中，不等式sinA>co12.若点O在△ABC所在的平面内，则以下说法错误的是A.若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O为△ABC的内心

B.若OA+OB三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在复平面内，复数z=2i对应的点为Z，将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转π314.已知平面向量a，b的夹角为π3，a=(3,15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是______．

16.已知向量a，b满足|a|=1,|b|=3，且a⋅b四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC18.(本小题10.0分)

在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，

(1)19.(本小题10.0分)

已知：如图，AB/​/平面α，AC/​/BD，且AC，B20.(本小题10.0分)

在①ba=cosB+13sinA，②2bsinA=atanB，③(a−c)sinA+cs21.(本小题10.0分)

四边形ABCD中，已知AD=2BC．

(1)用AB,AD表示DC；22.(本小题20.0分)

已知菱形ABCD的边长为2，M为BD上靠近D的三等分点，且线段AM=273．

(1)求∠D答案和解析1.【答案】A

【解析】解：3+i2−i=(3+i2.【答案】B

【解析】解：直角三角形绕它的斜边旋转得到的几何体是两个圆锥的综合题，故A错误；

由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧面都是平行四边形，故B正确；

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台，

若截面与底面不平行，则不是棱台，故C错误；

正方体是直平行六面体，但直平行六面体不一定是长方体，故D错误．

故选：B．

由多面体与旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案．

本题考查多面体与旋转体的结构特征，是基础题．

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)，

则24.【答案】B

【解析】解：∵正三角形ABC的边长为4，∴正三角形ABC的面积为43，

∵S直S原=24，

∴直观图△5.【答案】D

【解析】解：根据题意，设a与b的夹角为θ，

向量a，b满足|a|=3，|b|=2，若(a+b)⊥a，则(a+b)⋅a=a2+a⋅b=36.【答案】C

【解析】解：∵sinA：sinB：sinC=1：4：13，

∴a：b：c=1：4：13，

设a=k，b=4k，c=13k，

7.【答案】B

【解析】解：由题意作图如下，

∵△AEF∽△CEB，

∴AFBC=AEEC=12，

∴A8.【答案】A

【解析】解：因为a=5，b=8，A=π6，

所以由正弦定理可得5sinπ6=8sinB，

可得sin9.【答案】D

【解析】解：由直线a，b，平面α，β，知：

在A中：若a/​/α，b//a⇒b//α或b⊂α，故A错误；

在B中：若a/​/α，b/​/α，a⊂β，b⊂β⇒β与α相交或平行，故B错误；

在C中：若α/​/β，b//α⇒b//β或b⊂β10.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查两个向量共线的判定，平面向量的数量积，属于基础题．

由题意，利用两个向量共线的判定，平面向量的数量积，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：A，若a/​/b，b/​/c，则a/​/c不一定成立，例如当b=0时，则a和c可能为不共线的向量，故A错误；

B，若两个非零向量a，b满足|a−b|=|a|+|b|，

|a−b|=|a|+|b|两边平方并整理可得：−2a·bcosa,b=2a·b，

则cosa,b=−1，a,b∈[

11.【答案】AB【解析】解：选项A，由正弦定理知，asinA=bsinB，因为sinA>sinB，所以a>b，所以A>B，即选项A正确；

选项B，因为C=π−(A+B)∈(0,π2)，所以A+B>π2，即A>π2−B，

因为A∈(0,π2)，π2−B∈(0,π2)，且y=sinx在(0,π2)上单调递增，

所以sinA>12.【答案】AD【解析】解：对于A，由OA⋅OB=OB⋅OC，知OB⋅(OA−OC)=0，所以OB⋅CA=0，

即OB⊥CA，

同理可证OC⊥BA，OA⊥BC，即O为△ABC的垂心，故A错误；

对于B，若D是BC的中点，则OB+OC=2OD，又OA+OB+OC=0，

即OA=−2OD，故A，O，D共线且OA=2OD，易知O是△ABC的重心，故B正确；

对于C，若D，E分别为AB，BC的中点，则OA+OB=2OD，

又(OA+OB)⋅AB=0，即OD⋅AB=0，故OD⊥AB，

同理OE⊥BC，

所以O为△ABC13.【答案】−【解析】解：复数z=2i对应的点为Z，将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转π3，

所得复数为2i(cosπ3+isi14.【答案】2

【解析】解：由已知|a|=2,a⋅b=2×1×15.【答案】315【解析】解：由题意可知⊙O为等边△ABP的内切圆，则PC=3OC=3r，

易知等边△ABP的边长AB=AP=BP=PCsin60∘=2316.【答案】2【解析】解：根据题意，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，则a−c=OA−OC=CA，b−c=OB−OC=CB，

若向量a−c与b−c的夹角为30°，则CA与CB的夹角即∠ACB=30°，

若向量a，b满足|a|=1,|b|=3，且a⋅b=−32，则有a⋅b=3cos∠AOB17.【答案】证明：(1)连接SB，如图所示：

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG/​/SB，

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG/​/平面BDD1B1；

(2)连接SD，如图所示：

∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴【解析】(1)连接SB，则EG//SB，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；18.【答案】解：(1)根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，

所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体；

(2)该组合体的表面积为S组合体=S圆锥侧+S圆柱侧【解析】(1)直接由旋转体的结构特征得结论；

(2)19.【答案】证明：连接CD，

∵AC/​/BD，

∴A，B，C，D确定平面，

∵AB/​/平面α，点A，B∉α，点C，【解析】连接CD，证明AC/​/B20.【答案】解：若选①：

(1)因为ba=cosB+13sinA，由正弦定理可得：3sinBsinA=sinAcosB+sinA，

因为A为三角形内角，所以sinA≠0，

所以3sinB=cosB+1，可得：2sin(B−π6)=1，即sin(B−π6)=12，

因为B∈(0,π)，可得B−π6∈(−π6,5π6)，可得B−π6=π6，

所以可得B=π3．

(2)因为b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac=16−3ac，即3ac=16−b2，【解析】若选①：

(1)由正弦定理，辅助角公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得sin(B−π6)=12，可求范围B−π6∈(−π6,5π6)，进而可求B的值．

(2)由余弦定理，基本不等式可求b≥2，进而根据三角形的面积公式即可求解．

若选②：

(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sin21.【答案】解：(1