第七章-回归正交试验设计课件

第七章回归正交试验设计OrthogonalRegressionDesign第七章回归正交试验设计OrthogonalRegre1正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案回归分析可通过所确立的回归方程，对试验结果进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内2回归正交设计（orthogonalregressiondesign）：

回归正交设计处理的对象：可以在因素的试验范围内选择适当的试验点用较少的试验建立回归方程能解决试验优化问题不适合非数量性因素回归正交设计（orthogonalregressiond37.1一次回归正交试验设计及结果分析一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程：例：m＝3时，一次回归方程：y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：

y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x37.1一次回归正交试验设计及结果分析一次回归正交设计就47.1.1一次回归正交设计的基本方法（1）确定因素的变化范围以因素xj为例：设xj的变化范围为[xj1，xj2]xj1为xj的下水平xj2为xj的上水平

xj0为xj的零水平：xj0＝(xj1＋xj2)/2因素xj的变化间距Δj：Δj＝xj2－xj0＝xj0-xj1Δj=(xj2－xj1)/27.1.1一次回归正交设计的基本方法（1）确定因素的变5（2）因素水平的编码zj：因素xj的编码，称为规范变量

xj：自然变量

上水平xj2的编码：zj2＝1下水平xj1的编码：zj1＝－1零水平xj0的编码：zj0＝0编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：（2）因素水平的编码zj：因素xj的编码，称为规范变量6编码目的：使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量zj的取值范围都是[－1，1]，不会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了回归计算量。

编码目的：7（3）一次回归正交设计表将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，例：（3）一次回归正交设计表将二水平的正交表中“2”用“－1”代8回归正交设计表的特点：任一列编码的和为0任两列编码的乘积之和等于0回归正交设计表的特点：9（4）试验方案的确定可参考正交设计的表头设计方法交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积零水平试验（中心试验）目的是为了进行更精确的统计分析，得到精度较高的回归方程。表头设计：（4）试验方案的确定可参考正交设计的表头设计方法表头设计107.1.2一次回归方程的建立总试验次数为n：n＝mc＋m0mc：二水平试验次数m0：零水平试验次数一次回归方程系数的计算：常数项：a一次项系数：bj交互项系数：bjk7.1.2一次回归方程的建立总试验次数为n：11

j＝1，2，…，m

j＞k,k＝1，2，…，m－1说明：求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负j＝1，2，…，mj＞k,k＝1，2，…，m－1127.1.3回归方程及偏回归系数的方差分析7.1.3.1无零水平试验时①平方和：总平方和：一次项偏回归平方和：交互项偏回归平方和：回归平方和：残差平方和：7.1.3回归方程及偏回归系数的方差分析7.1.3.13②自由度dfT＝n―1各种偏回归平方和的自由度＝1回归平方和的自由度：残差自由度：不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。②自由度dfT＝n―1残差自由度：不考虑交互作用时:df14③均方④F检验：回归方程显著性检验偏回归系数显著性检验：判断因素或交互作用对试验的影响程度可直接从回归方程中剔除不显著的一次和交互项经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验③均方15例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)，x2(原子化温度/℃)和x3(灯电流/mA)三个因素对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2，x1x3。已知x1＝300~700℃，x2＝1800~2400℃，x3＝8~10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系式。例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中的铅，为提高测16（1）因素水平编码（1）因素水平编码17（2）正交表的选择和试验方案的确定（2）正交表的选择和试验方案的确定18(3)回归方程的建立依题意m0=0,n=mc=8

试验号z1z2z1z2z3z1z3yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z3)y1111110.5520.3047040.5520.5520.5520.5520.5522111-1-10.5540.3069190.5540.554-0.554-0.554-0.55431-1-1110.4800.2304000.4800.4800.4800.4800.48041-1-1-1-10.4720.2227840.472-0.472-0.472-0.472-0.4725-11-11-1-0.5160.266256-0.516-0.5160.5160.516-0.5166-11-1-11-0.5320.283024-0.5320.532-0.532-0.5320.5327-1-111-1-0.4480.200704-0.4480.448+0.4480.448-0.4488-1-11-11-0.4840.234256-0.484-0.484-0.4840.4840.484总和4.0382.0490440.0780.270-0.0460.0380.058(3)回归方程的建立依题意m0=0,n=mc=8

试验19(3)回归方程的建立计算各回归系数:(3)回归方程的建立计算各回归系数:20(3)回归方程的建立写出y与规范变量zj的回归方程y=0.50475+0.00975z1+0.03375z2-0.00575z3+0.00475z1z2+0.00725z1z3根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用的主次顺序x2＞x1＞x1x3＞x3＞x1x2

根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标的影响方向(3)回归方程的建立写出y与规范变量zj的回归方程21(4)方差分析(4)方差分析22(4)方差分析dfT=n-1=8-1=7df1=df2=df3=1df12=df13=1dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5dfe=dfT-dfR=7-5=2MS1=SS1/df1=0.000761MS2=SS2/df2=0.009113MS3=SS3/df3=0.000265MS12=SS12/df12=0.000181MS13=SS13/df13=0.000421MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65(4)方差分析dfT=n-1=8-1=7df1=df23方差分析表F0.01(1,2)=98.49F0.05(1,2)=18.51F0.01(5,2)=99.30F0.05(5,2)=19.30

差异源SSdfMSF显著性z10.00076110.00076112.27z20.00911310.009113146.98**z30.00026510.0002654.27z120.00018110.0001812.92Z130.00042110.0004216.79回归0.01074150.00214834.65*残差0.00012320.000062总和0.0108647方差分析表F0.01(1,2)=98.49F0.05(124新的方差分析表F0.05(1,6)=5.99F0.01(1,6)=13.74

差异源SSdfMSF显著性回归(z2)0.00911310.00911331.21**残差e0.00175160.000292总和0.0108647新的方差分析表F0.05(1,6)=5.99F0.01(25(5)最终的回归方程y=0.50475+0.03375z2z2=(x2-2100)/300y=0.50475+0.03375×(x2-2100)/300整理后得:y=0.2685+0.0001125x2

(5)最终的回归方程y=0.50475+0.03375z2267.1.3.2有零水平试验时目的：进行回归方程的失拟性（lackoffit）检验（要求m0≥2）失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况失拟性检验步骤：7.1.3.2有零水平试验时目的：进行回归方程的失拟性27设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0

①重复试验误差：平方和：重复试验误差的自由度：②回归方程失拟部分：失拟平方和：失拟平方和自由度：设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m028对于给定的显著性水平α（一般取0.1）当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回归方程是拟合得很好。只有当回归方程显著、失拟检验不显著时，才能说明所建立的回归方程是拟合得很好的。③失拟检验：对于给定的显著性水平α（一般取0.1）③失拟检验：29例7-2

从某植物中提取黄酮类物质，为了对提取工艺进行优化，选取三个相对重要的因素：乙醇浓度x1、液固比x2、和回流次数x3进行了回归正交试验，不考虑交互作用。已知x1＝60%~80%，x2＝8~12，x3＝1~3次。试通过回归正交试验确定黄酮提取率与三个因素之间的函数关系式并确定优化方案。例7-2从某植物中提取黄酮类物质，为了对提取工艺进行优化，30(1)因素水平编码编码Zj乙醇浓度/%(x1)液固比(x2)回流次数(x3)上水平(1)80123下水平(-1)6081零水平(0)70102变化间距Δj1021(1)因素水平编码编码Zj乙醇浓度/%(x1)液固比(x2)31试验号z1z2z3x1

x2x3Y1111801238331-1180836.941-1-180816.45-111601236.96-11-1601216.57-1-1160836.08-1-1-160815.19000701026.610000701026.511000701026.6(2)正交表选择及试验方案确定试验号z1z2z3x1x2x3Y1111801238.0232试验号z1z2z3yy2z1yz2yz3y11118.064.008.08.08.0211-17.353.297.37.3-7.331-116.947.616.9-6.96.941-1-16.440.966.4-6.4-6.45-1116.947.61-6.96.96.96-11-16.542.25-6.56.5-6.57-1-116.036.00-6.0-6.06.08-1-1-15.126.01-5.1-5.1-5.190006.643.56000100006.542.25000110006.643.56000总和72.8487.14.14.32.5(3)回归方程的建立依题意m0=3,n=mc+m0=11试验号z1z2z3yy2z1yz2yz3y11118.06433回归方程：y=6.6182+0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3因素作用主次：x2＞x1＞x3第七章-回归正交试验设计ppt课件34(4)方差分析(4)方差分析35(4)方差分析dfT=n-1=8-1=7df1=df2=df3=1dfR=df1+df2+df3=1+1+1=3dfe=dfT-dfR=10-3=7(4)方差分析dfT=n-1=8-1=736(4)方差分析MS1=SS1/df1=2.101MS2=SS2/df2=2.311MS3=SS3/df3=0.781MSR=SSR/dfR=5.193/3=1.731MSe=SSe/dfe=0.103/7=0.0147F1=MS1/MSe=2.101/0.0147=142.9F2=MS2/MSe=2.311/0.0147=157.2F3=MS3/MSe=0.781/0.0147=53.1FR=MSR/MSe=1.731/0.0147=117.8(4)方差分析MS1=SS1/df1=2.10137方差分析表F0.01(1,7)=12.25F0.05(1,7)=5.59F0.01(3,7)=8.45F0.05(3,7)=4.35

差异源SSdfMSF显著性z12.10112.101142.9**z22.31112.311157.2**z30.78110.78153.1**回归5.19331.731117.8**残差0.10370.0147总和5.29610方差分析表F0.01(1,7)=12.25F0.05(138(5)失拟性检验本例中，零水平试验次数m0=3，可进行失拟性检验。SSLf=SSe-SSe1=0.103-0.00667=0.0963dfe1=m0-1=3-1=2dfLf=dfe-dfe1=7-2=5检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合很好。(5)失拟性检验本例中，零水平试验次数m0=3，可进行失拟性39(6)最终的回归方程y=6.6182+0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3z1=(x1-70)/10z2=(x2-10)/2z3=(x3-2)/1y=-0.2818+0.05125x1+0.26875x2+0.3125x3x1=80x2=12x3=3时，Y＝7.9807(经用规划求解)

(6)最终的回归方程y=6.6182+0.5125z1+0.407.2二次回归正交组合设计回归方程的建立：根据最小二乘法原理得到正规方程组求解正规方程组，得回归系数方程的个数≥回归系数个数要求：试验次数＞回归方程的项数回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案

7.2二次回归正交组合设计回归方程的建立：417.2.1二次回归正交组合设计表（1）二元二次回归正交组合设计试验方案二元二次回归方程：该方程共有6个回归系数，所以要求试验次数n≥6，而二水平全面试验的次数为22=4次，显然不能满足要求，于是在此基础上再增加5次试验。7.2.1二次回归正交组合设计表（1）二元二次回归正交组42试验方案试验方案43第七章-回归正交试验设计ppt课件44正交组合设计的三类试验点及次数：二水平试验：一次回归正交试验设计中的试验点全实施：mc＝2m

1/2实施：mc＝2m－11/4实施：mc＝2m－2

星号试验：与原点（中心点）的距离都为γmγ＝2m

零水平试验：各因素水平编码都为零时的试验试验次数m0

正交组合设计的三类试验点及次数：45二元二次回归正交组合设计总的试验次数为：n=mc+2m+m0二元二次回归正交组合设计总的试验次数为：n=mc+2m+m046（2）三元二次回归正交组合设计试验方案三元二次回归方程：该方程共有10个回归系数，所以要求试验次数n≥10，而二水平全面试验的次数为23=8次，显然不能满足要求，于是在此基础上再增加7次试验。（2）三元二次回归正交组合设计试验方案三元二次回归方程：47第七章-回归正交试验设计ppt课件48三元二次回归正交组合设计三元二次回归正交组合设计49（3）星号臂长度与二次项的中心化

①星号臂长度星号臂长度γ与因素数m，零水平试验次数m0及二水平试验数mc有关计算公式如下：或者直接查下表（3）星号臂长度与二次项的中心化①星号臂长度50第七章-回归正交试验设计ppt课件51②二次项的中心化对二次项的每个编码进行中心化处理：(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)利用Excel列出回归正交组合设计表表8-19二元二次回归正交组合设计编码表表8-20三元二次回归正交组合设计编码表m0=4时，m0=2时，m0=3时(作业)

②二次项的中心化对二次项的每个编码进行中心化处理：527.2.2二次回归正交组合设计的应用（1）基本步骤①因素水平编码试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平7.2.2二次回归正交组合设计的应用（1）基本步骤537.2.2.二次回归正交组合设计的应用（1）基本步骤②确定合适的二次回归正交组合设计7.2.2.二次回归正交组合设计的应用（1）基本步骤54③试验方案的实施④回归方程的建立常数项：a一次项偏回归系数：bj交互项偏回归系数：bkj二次项偏回归系数：bjj③试验方案的实施55⑤回归方程显著性检验⑤回归方程显著性检验56⑥失拟性检验与一次回归正交设计是相同的。⑦回归方程的回代：利用中心化公式，将zj’转换成zj2利用编码公式，将规范变量转换成自然变量⑧最优试验方案的确定:根据极值的必要条件：可以求出最优的实验条件(借助于规划求解)⑥失拟性检验与一次回归正交设计是相同的。57例7-3为了提高某种淀粉类高吸水性树脂的吸水倍率，在其它合成条件一定的情况下，重点考察丙烯酸中和度和交联剂用量对试验指标（产品吸水倍率）的影响，已知丙烯酸中和度（x1）的变化范围为0.7～0.9，交联剂用量（x2）的变化范围为1～3mL，试用二次正交组合设计分析出这两个因素与试验指标（y）之间的关系。例7-3为了提高某种淀粉类高吸水性树脂的吸水倍率，在其它58(1)因素水平编码规范变量Zj自然变量

x1（中和度）x2（交联剂用量，mL）上星号臂γ0.93上水平10.893(0.8+0.093)2.93零水平00.82下水平-10.707(0.8-0.093)1.07下星号臂-γ0.71变化间距Δj0.093((0.9-0.8)/1.078)0.93(1)因素水平编码规范变量Zj自然变量x1（中和度）x259计算依据m=2，取m0=2，根据星号臂γ计算公式或查表得γ=1.078x1γ=0.9，x-1γ=0.7，x10=0.8Δ1=(0.9-0.8)/1.078=0.093x2γ=3，x-1γ=1，x10=2Δ2=(3-2)/1.078=0.93计算依据m=2，取m0=2，根据星号臂γ计算公式或查表得γ=60试验号z1z2丙烯酸中和度(x1)交联剂用量/mL(x2)1110.8932.9321-10.8931.073-110.7072.934-1-10.7071.0751.07800.926-1.07800.72701.0780.8380-1.0780.819000.8210000.82(2)试验方案试验号z1z2丙烯酸中和度(x1)交联剂用量/mL(x2)61试验号z1z2z1z2z12z22z1’z2’Y1111110.3680.36842321-1-1110.3680.3684863-11-1110.3680.3684184-1-11110.3680.36845451.078001.16200.530-0.6324916-1.078001.16200.530-0.632472701.078001.162-0.6320.53042880-1.078001.162-0.6320.530492900000-0.632-0.6325121000000-0.632-0.632509(2)正交组合设计试验号z1z2z1z2z12z22z1’z2’Y1111162（3）回归方程的建立（3）回归方程的建立63Y=468.5+9.09Z1-26.56Z2-6.75Z1Z2-23.24Z1'-41.74Z2'Y=468.5+9.09Z1-26.56Z2-6.75Z1Z64(4)回归方程及偏回归系数的显著性检验(4)回归方程及偏回归系数的显著性检验65(4)方差分析dfT=n-1=10-1=9df1=df2=df12=df1’=df2’=1dfR=df1+df2+df12+df1’+df2’=1+1+1+1+1=5dfe=dfT-dfR=9-5=4MS1=522.5/1=522.5MS2=SS2/df2=4461.2/1=4461.2MS12=SS12/df12=182.3MS1’=SS1’/df1’=1458.8MS2’=SS2’/df1’=4705.8MSR=SSR/dfR=11330.6/5=2266.1MSe=SSe/dfe=49.9/4=12.5F