几种特殊的矩阵课件

§2

3几种特殊的矩阵(一)对角矩阵(二)数量矩阵(三)单位矩阵(四)三角形矩阵(五)对称矩阵§23几种特殊的矩阵(一)对角矩阵(二)(一)对角矩阵对角矩阵

如果n阶矩阵A

(aij)中的元素满足条件

aij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称A为n阶对角矩阵

即(一)对角矩阵对角矩阵如果n阶矩阵A提示

(一)对角矩阵对角矩阵

对角矩阵的性质如果A

B为同阶对角矩阵

则kA

A

B

AB仍为同阶对角矩阵

提示(一)对角矩阵对角矩阵对角矩阵的性质提示

(一)对角矩阵对角矩阵

对角矩阵的性质如果A

B为同阶对角矩阵

则kA

A

B

AB仍为同阶对角矩阵

提示(一)对角矩阵对角矩阵对角矩阵的性质提示

(一)对角矩阵对角矩阵

对角矩阵的性质如果A

B为同阶对角矩阵

则kA

A

B

AB仍为同阶对角矩阵

提示(一)对角矩阵对角矩阵对角矩阵的性质(一)对角矩阵对角矩阵

对角矩阵的性质如果A

B为同阶对角矩阵

则kA

A

B

AB仍为同阶对角矩阵

显然

如果A是对角矩阵

则AT

A

(一)对角矩阵对角矩阵对角矩阵的性质显(二)数量矩阵数量矩阵如果n阶对角矩阵A中的元素a11

a22

ann

a

则称A为n阶数量矩阵

即(二)数量矩阵数量矩阵如果n阶对角矩阵A(二)数量矩阵数量矩阵数量矩阵的性质以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B

其乘积等于以数a乘矩阵B

提示

(二)数量矩阵数量矩阵数量矩阵的性质提示(二)数量矩阵数量矩阵数量矩阵的性质以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B

其乘积等于以数a乘矩阵B

提示

(二)数量矩阵数量矩阵数量矩阵的性质提示(三)单位矩阵单位矩阵

如果n阶数量矩阵A中元素a

1

则称A为n阶单位矩阵

记作In(或En)

有时简记为I(或E)

即单位矩阵的性质

ImAm

n

Am

n

Am

nIn

Am

n

对于n阶矩阵A

规定A0

I

单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似

(三)单位矩阵单位矩阵如果n阶数量矩阵A(四)三角形矩阵上三角形矩阵

如果n阶矩阵A

(aij)中元素满足条件

aij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称A为n阶上三角形矩阵

即(四)三角形矩阵上三角形矩阵如果n阶矩阵(四)三角形矩阵上三角形矩阵

下三角形矩阵

如果n阶矩阵B

(bij)中元素满足条件

bij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称B为n阶下三角形矩阵

即(四)三角形矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵(四)三角形矩阵上三角形矩阵

下三角形矩阵

三角形矩阵的性质若A

B为同阶同结构三角形矩阵

容易验证kA

A

B

AB仍为同阶同结构三角形矩阵

(四)三角形矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵三角形矩阵的性举例

(五)对称矩阵对称矩阵

如果n阶矩阵A

(aij)中满足aij

aji

(i,j

1,2,

,n)

则称A为对称矩阵

对称矩阵A的元素关于主对角线对称

因此有AT

A

对称矩阵的性质数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵

但对称矩阵乘积未必对称

举例(五)对称矩阵对称矩阵如果n阶矩阵(五)对称矩阵对称矩阵

如果n阶矩阵A

(aij)中满足aij

aji

(i,j

1,2,

,n)

则称A为对称矩阵

对称矩阵A的元素关于主对角线对称

因此有AT

A

对称矩阵的性质数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵

但对称矩阵乘积未必对称

对任意矩阵A

ATA和AAT都是对称矩阵

(五)对称矩阵对称矩阵如果n阶矩阵A(例1设A与B是两个n阶对称矩阵

证明

当且仅当A与B可交换时

AB是对称的

由于A与B都是对称矩阵

所以AT

A

BT

B

如果AB

BA

则有

证

所以AB是对称的

(AB)T

BTAT

BA

AB