2023年研究生类公共管理硕士数学历年高频考点试题附答案难题带详解

2023年研究生类公共管理硕士数学历年高频考点试题附答案难题带详解卷I一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.已知等腰三角形ABC三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是______A.15°B.30°C.45°D.60°E.以上结论均不正确2.求函数u=f(x，y，z)=x+y+z在约束条件xyz=a3下的条件极值，其中x，y，z，a均大于零．3.设a与b之和的倒数的2007次方等于1，a的相反数与b之和的倒数的2009次方也等于1。则a2007+b2009______A.-1B.2C.1D.0E.220074.三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁，他们的年龄之和为______A.21B.27C.33D.39E.515.求函数y=f(x)=|x|=在x=0点处的左、右导数f-'(0)与f'+(0)．6.证明方程x5-3x-1=0在(1,2)内至少有一个实根．7.某年级有A、B、C三个班，在一次测验中，A、B、C三个班的平均成绩分别为85分、87分和72分。已知全年级的平均分为81分，则A、B、C三个班的人数比可能为______A.3:1:2B.3:2:3C.4:1:1D.1:2:2E.3:1:38.已知，则等于

．

(A)F(b-ax)+C

(B)

(C)aF(b-ax)+C

(D)9.设函数f(x)在x0点可导，则=______．10.若，则f(x)=______．11.若函数f(x)在x0点可导，则=______．12.曲线y=e1-x2与直线x=-1的交点为P，则曲线y=e1-x2在P点的切线方程为

．A.2x-y-1=0B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0D.2x+y+1=013.若关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是______A.a＜4B.a＞4C.a=4D.0＜-4E.a＞-414.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是

．A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数，也是偶函数15.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是______A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1E.以上都不是16.已知某产品产量的变化率是时间t的函数，f(t)=at+b(a，b为常数)，设此产品t时的产量函数为Q(t)，已知Q(0)=0，则Q(t)等于

．

(A)at2+bt

(B)

(C)

(D)at2+bt+C17.下列数列中收敛的是(

)．

(A){n2}

(B){e-1/n}

18.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小刘五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______A.48种B.12种C.18种D.36种E.32种19.如下图所示，小正方形的被阴影所覆盖，大正方形的被阴影所覆盖，则小、大正方形阴影部分面积之比为______

A．

B．

C．

D．

E．20.设在区间[a，b]上f(x)＞0，f'(x)＜0，f''(x)＞0，令

则

．A.S1＜S2＜S3B.S2＜S1＜S3C.S3＜S1＜S2D.S2＜S3＜S121.设某种电子产品的产量是劳动力x和原料y，的函数：，假设每单位劳动力花费100元，每单位原料花费200元，现有30000元资金用于生产，产量最大时的劳动力为______．22.=______．23.求24.如下图，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是20m的圆柱形，上半部分(顶部)是半球形，已知底面与顶部的造价是400元/m2，侧面的造价是300元/m2，该储物罐的造价是______万元。

A.56.52B.62.8C.75.36D.87.92E.100.4825.3个3口之家一起观看演出，他们购买了同一排的9张连坐票，则每一家的人都坐在一起的不同坐法有______种。A.(3!)2B.(3!)3C.3×(3!)3D.(3!)4E.9!26.若z=xf(x+y)+yg(x-y)，f和g有二阶连续导数，求

27.有一种病毒，增值速度很快，每四分钟分裂一次，每次分裂成两个，如果把一个病毒放在某微型容器中，一小时该病毒将充满该容器，如果一开始把四个病毒放入该容器，充满需要______．A.20分钟B.32分钟C.46分钟D.52分钟E.56分钟28.设f(x)为已知连续函数，，其中s＞0，t＞0，则I的值

．A.依赖于s，t和xB.依赖于s和tC.依赖于s，不依赖于tD.依赖于t和x，不依赖于s29.设y=e-x，则有(

)．A.函数为单调增加函数B.函数有极值但无拐点C.函数有拐点但无极值D.函数为单调减少函数30.31.函数f(x)在x=-x0的某邻域有定义，已知f'(x0)=0且f''(x0)=0，则在点x0处f(x)

．A.必有极大值B.必有极小值C.必有拐点D.可能有也可能没有拐点32.|3x+2|+2x2-12xy+18y2=0，则2y-3x=______

A．

B．

C．0

D．

E．33.某商品售价为180元，因销售效果不理想打八折出售，利润为54元，则原利润率为______．A.50%B.80%C.100%D.120%E.150%34.设函数z=f(x，y)，有，且f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，则(x，y)为

．A.1-xy+y2B.1+xy+y2C.1-x2y+y2D.1+x2y+y235.设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且满足，试求f(x)．36.如下图，一块面积为400平方米的正方形土地被分割成甲、乙、丙、丁四个小长方形作为不同的功能区域，它们的面积分别为128，192，48和32平方米。乙划出一块正方形区域(阴影)作为公共区域，这块小正方形的面积为______平方米。

A.16B.17C.18D.19E.2037.y=xx的导数y'等于

．A.xx(1+lnx)B.xxlnxC.xx-1D.xx(1-lnx)38.曲线|xy|+1=|x|+|y|所围图形的面积为______．A.1B.2C.4D.3E.539.已知p＞0，q＞0，p、q的等差中项为，且，则x+y的最小值为______A.6B.5C.4D.3E.240.二元函数z=x3+y3+3x2+3y2-9x的极小点是______．41.已知实数a、b、x、y满足和，则3x+y+3a+b=______A.25B.26C.27D.28E.2942.已知，则43.奶粉厂每周的销售量为Q千袋，每袋价格为2元，总成本函数为C(Q)=100Q2+1300Q+1000，可取得最大利润为______．44.设函数为了使f(x)在x=1处可导，a，b取值为

．A.a=2，b=-2B.a=2，b=-1C.a=1，b=-2D.a=1，b=245.设常数k＞0，函数在(0，+∞)内零点个数为(

)．A.4B.3C.2D.146.直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于______A.16B.18C.20D.22E.不能确定47.如下图所示，在长方形ABCD中，三角形BEF的面积是2，三角形BFD的面积是3，则图中阴影部分的面积是______．

A.5.5B.4.5C.3.5D.2.5E.1.548.当(3+x)+(3+x)2+…+(3+x)n=a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n时，若x≠-1，那么a1+a2+…+an=______

A．

B．

C．

D．

E．49.设z=z(x，y)由方程y+x=xf(y2-z2)确定，f可微，则______．50.设，求F'(x)，其中函数f(x)连续．卷I参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：B[考点]一元二次方程的根结合三角形

[解析]设方程的两个根为x1、x2则解得又因为a=c，可解得底角为30°。

记住关于一元二次方程ax2+bx+c=0的结论2.参考答案：[解]方法一直接化为一般极值问题．

由约束条件解出，于是该条件极值问题便化为求函数

在xOy平面上的第一象限内的极值问题．

由

求得稳定点为(a，a)，这时对应的z0=a．

再来判定(a，a)点是否为极值点：

所以

由此可知(a，a，a)为条件极值问题的极小值点，极小值为3a．

方法二利用拉格朗日λ乘数法．

构造辅助函数L(x，y，z，λ)=x+y+z+λ(xyz-a3)．

由方程组

解得条件极值有唯一稳定点(a，a，a)．

再来判定它是否是极值点，是极大值点还是极小值点．

由方程xyz=a3两边求全微分，有

yzdx+xzdy+xydz=0，即所以有

于是，函数u=f(x，y，z(x，y))的二阶导数为

由此可知，A＞0，所以(a，a，a)为条件极值问题的极小值点，极小值为3a．3.参考答案：C[考点]普通方程

[解析]根据题意4.参考答案：C[考点]考查质数

[解析]比6小的质数只有2、3、5，依次相差6岁，只有最小的年龄为5岁时，满足题意，所以三个小孩年龄分别为5岁、11岁、17岁。所以年龄之和为33。

本题的核心是要记住100以内质数。5.参考答案：[解]按左、右导数的定义，有

可见函数y=|x|在x=0点处左、右导数都存在，但不相等．因此，此函数在x=0点处导数不存在．6.参考答案：[证]考虑函数f(x)=x5-3x-1，作为初等函数，可知其在[1，2]上连续，且f(1)=-3＜0，f(2)=25＞0，于是可知该方程在(1，2)内至少有一个实根．7.参考答案：A[考点]平均数、比例

[解析]假设A、B、C三个班的人数分别为x、y、z，根据已知条件，列出等式85x+87y+72z=81(x+y+z)，化简得4x+6y=9z，由整除特性，9z能被3整除，6y能被3整除，所以4x能被3整除，所以z能被3整除，x应为3的倍数；4x与6y能被2整除，所以9z能被2整除，故z能被2整除，z应为2的倍数。故答案为A。

本题的核心是根据已知条件建立等量关系，再根据整除特性快速选出答案。8.参考答案：B[解析]9.参考答案：不能确定．[解析]因为由于可知，当f(x0)=0时，有当f(x0)≠0时，有所以该极限值不存在．10.参考答案：[解析]对等式两边求导，由不定积分的定义，有，由此可知11.参考答案：3f'(x0)．[解析]

12.参考答案：B[解析]易得P点的坐标为(-1，1)，又由y'=-2xe1-x2，得y'(-1)=2．故切线方程为y-1=2(x+1)，即2x-y+3=0．13.参考答案：B[考点]普通不等式

[解析]整理不等式组得因为x有解，所以可得，即a＞4。14.参考答案：A[解析]因为f(x+y)=f(x)+f(y)，

所以f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，f(0)=0．

因为0=f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，

所以f(-x)=-f(x)．

因此，f(x)是奇函数．15.参考答案：D[考点]直线的截距式

[解析]当a=0时，直线l的方程为y=2，不满足题意；当a≠0时，分别令方程中的y和x等于0，得到直线l在x轴和y轴上的截距分别为和a+2，因此解得a=-2或a=1。

当方程中的y=0时，得到的x值是直线在x轴上的截距；当x=0时，得到的y值是直线在y轴上的截距。16.参考答案：B[解析]即已知Q'(t)=f(t)=at+b，由Q(0)=0，知积分以0为下限，所以

17.参考答案：B[解析](A)中，n→∞时，n2→∞，发散；

(B)中，n→∞时，→0，e-1/n→1，收敛；

(C)中，n→∞时，n2+1→∞，发散；

(D)中，n→∞时，→0，→1，其趋势不确定，发散．18.参考答案：D[考点]分类相加思想

[解析]先进行分类，第一种情况：小张和小赵均被选中，则有种选法；第二种情况：小张和小赵中只有一人被选中，则方法数为种。所以，选派方案为

选择简单的分类方式。19.参考答案：E[考点]面积转化问题

[解析]根据题意，可知，所以S小正=4S空白，S大正=7S空白，所以

本题的关键是将条件“小(大)正方形的被阴影所覆盖”转化为两个正方形面积与空白处面积的关系。20.参考答案：B[解析]如图1—3—8所示，S2等于长方形ABCE的面积，S3等于梯形ABCD的面积，S1等于曲边梯形ABCD的面积，从而有

S2＜S1＜S3．

21.参考答案：225．[解析]产量函数

由100x+200y=30000，解得x=300-2y，代入f(x，y)得

令Q'=0，得，y=37.5．

所以y=37.5，x=225时，产量最高．22.参考答案：1．[解析]这是“∞0”型未定式的极限，可用洛必达法则计算，即

而由此可得

23.参考答案：[解]由

可知有

24.参考答案：C[考点]球、圆柱的体积

[解析]底面与顶部面积侧面积=20×20π=400π，所以储物罐的造价=300×400π+400×300π=240000π=75.36万元。

注意此储物罐的表面积：一个半球面+一个底面+一个侧面。25.参考答案：D[考点]乘法原理——分步思想

[解析]每口人家有3个人，3人捆绑在一起变为1组，则变成3组全排列，其中每组还有3人，所以每组内部还各有1个3人的全排列。所以答案为(3!)×(3!)3=(3!)4。

捆绑后的小组内的全排列不能忘记。26.参考答案：[解]对函数z求全微分，有

dx=f(x+y)dx+xf'(x+y)(dx+dy)+g(x-y)dy

+yg'(x-y)(dx-dy)．由此可知

再利用链式法则求函数x的二阶偏导数，

由此可得

27.参考答案：D[解析]根据题干可以确定其分裂之后每次分裂病毒总数为公比为2的等比数列，设充满容器时病毒总数为A，一开始放入四个病毒，则当每个病毒分裂到充满容器的四分之一时即可，这时病毒总数为，此时每个原始病毒分裂到状态，因其公比为2，所以提前两个分裂周期，即8分钟，就可以达到．一个病毒能分裂到总数为状态，时间比一小时提前8分钟．所以答案选D．28.参考答案：C[解析]

由此可知，I的值只与s有关，不依赖于t，应选(C)．29.参考答案：C[解析]由知，虽有y'＞0，但有间断点x=0，故在整个定义域内非单调．又y'无零点，无极值，由排除法也可判定(C)正确．

所以应选(C)．30.参考答案：0．[解析]因为

由此可知

31.参考答案：D[解析]根据极值点和拐点的判定定理判定．

f'(x0)=0仅是f(x)在x0点取得极值的必要条件，只有当f''(x0)≠0时，才必为极值点，故选项(A)，(B)不成立．

若f''(x0)=0，而f''(x)在x0的左右两侧邻近异号，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点，所以排除(C)．32.参考答案：E[考点]绝对值方程

[解析]已知方程可化为|3x+2|+2(x-3y)2=0，由绝对值和平方非负，可得，所以33.参考答案：C[解析]180元打八折，售价变为180×80%=144元，利润为54元，则进价为144-54=90元，则原利润率为，所以答案选C．34.参考答案：B[解析]的两边对y积分，得

f'y(x，y)=2y+φ(x)．

将f'y(x，0)=x代入上式，得φ(x)=x，于是

f'y(x，y)=2y+x．该式两边再对y积分，得

f(x，y)=y2+xy+φ(x)．

将f(x，0)=1代入上式，得φ(x)=1，故

f(x，y)=y2+xy+1．35.参考答案：[解]由可得

对上式两边求导，有

即两边积分，可得

36.参考答案：A[考点]矩形的面积问题

[解析]大正方形的边长=20m，，则甲的宽，，所以丙的长，所以小正方形的面积=(12-8)2=16m2。

本题的关键是将几个矩形的面积比转化为各边边长之比。37.参考答案：A[解析]函数y=xx两边取对数，得

lny=xlnx．两边关于x求导得

38.参考答案：C[解析]由|xy|+1=|x|+|y|，有|x|(|y|-1)=|y|-1，所以|x|=1，或者|y|=1，所表示的图形为边长等于2的正方形，面积等于4．39.参考答案：B40.参考答案：(1，0)．[解析]由

解得四个驻点：(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2)．

再由充分条件判断

得P(1，0)＜0，P(1，2)＞0，P(-3，0)＞0，P(-3，2)＜0，且而故知(1，0)点为极小点，(-3，2)点是极大点，而(1，2)，(-3，0)不是极值点．41.参考答案：D[考点]绝对值方程

[解析]得出即，由于|x-2|≥0，，a2≥0，b2≥0，所以，解得x=2，a=b=0，将x=2，a=b=0代入y-1=|x-2|+b2中，解得y=1，所以3x+y+3a+b=32+1+30+027+1=28。

将y-1作为中间量，建立两个绝对值方程的联系。42.参考答案：[解析]由于而故原式=43.参考答案：225元．[解析]利润函数为

L(Q)=2000Q-C(Q)=-100Q2+700Q-1000，于是令

L'(Q)=-200Q+700=0，得Q=3.5，又L''(Q)=-200＜0，所以Q=3.5时取得最大利润，最大利润为

44.参考答案：B[解析]由连续性得，即