(完整版)函数奇偶性的归纳总结

(完整版)函数奇偶性的归纳总结函数的奇偶性是指函数在定义域内的某个点的函数值与在相对称的点的函数值是否相等或相反。具体地说，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就是偶函数；如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就是奇函数。需要注意的是，奇偶性是针对整个定义域而言的，而单调性是针对定义域内的某个区间而言的。根据奇偶性的定义，函数可以分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数。奇函数的图象关于原点成中心对称，而偶函数的图象关于y轴对称。具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称。常用的结论是，若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)=0。另外，奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。因此，掌握函数的奇偶性的类型和方法，以及函数的奇偶性应用的类型和方法，对于理解和分析各种函数具有重要意义。同时，也需要培养学生观察和归纳的能力，以及勇于探索创新的精神。当x<0时，-x>0，f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)。因此，对于任意实数x，都有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数。【例4】已知函数f(x)(x∈R且x≠0)，对任意的非零实数x1,x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数f(x)(x∈R且x≠0)的奇偶性。当x1=x2=1时，f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0；当x1=x2=-1时，f(1)=f(-1)+f(-1)，即2f(-1)=f(1)，因此f(-1)=-f(1)=0。取x1=-1,x2=x，则f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，因此函数f(x)为偶函数。【例5】已知函数f(x)=(ax2+1)/(bx+c)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3，求a,b,c的值。由f(-x)=-f(x)得到-bx+c=-(-bx+c)，即c=0。又f(1)=2，得到a+1=2b，又f(2)<3，即4a+1<6b，代入a+1=2b中解得-1<a<2。由于a∈Z，所以a=1或a=-1。若a=1，则b=1，若a=-1，则b=-1，因为b∈Z，所以只有a=1，b=1，c=0满足条件。【例6】若f(x)是偶函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=x-1，求f(x-1)<0的解集。由于f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即当x∈(-∞,0)时，f(x)=(-x)-1。因此，当x∈(-∞,1)时，f(x-1)=x-2，当x∈(1,+∞)时，f(x-1)=(x-2)-1=2-x。因此，f(x-1)<0的解集为{x|-1<x<2}。已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x)。解：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并。当x＞0时，由于f(x)为奇函数，所以有：f(-x)=-f(x)代入f(x)的表达式中得：-f(x)=-(-x)lg(2+x)即：f(x)=xlg(2+x)当x＜0时，同样由于f(x)为奇函数，所以有：f(-x)=-f(x)代入f(x)的表达式中得：-f(x)=-(-x)lg(2-x)即：f(x)=-xlg(2-x)综上所述，f(x)的表达式为：f(x)={-xlg(2-x)(x<0)xlg(2+x)(x≥0)}说明：修改了段落的排版，同时对于解题过程进行了补充和说明。1/2(ex-e^-x)，f(x)=ex，所以F(x)=af(x)+bg(x)+2=aex+beg(x)+2。由于f(x)和g(x)都是奇函数，所以beg(x)是偶函数，F(x)也是奇函数。所以F(x)在区间(-∞,0)上的最小值等于-F(0)。又F(x)在区间(0,+∞)上的最大值为5，所以F(0)=5，F(x)在区间(-∞,0)上的最小值为-5。13.由于f(x)是奇函数，所以f(2+a)+f(1-2a)=2f(2-a)。又f(x)在区间(-2,2)上单调递增，所以2-a>0，即a<2。又因为f(2+a)+f(1-2a)>0，所以f(2-a)>0，即2-a>0，即a<2。综上所述，实数a的取值范围为a<2。证明：假设存在某个x使得f(x)不是偶函数，则存在y使得f(y)≠f(-y)，令x=y，则有f(x)+f(-x)=2f(0)≠2f(x)，与偶函数的定义矛盾，因此f(x)必定是偶函数。通过赋值法，我们可以得到f(0)=1。解：根据函数f(x)和g(x)的性质，我们可以得到f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)。将此代入题目中的方程组，可以得到f(x)=9x/(9-x^2)，g(x)=3/(9-x^2)。需要注意的是，由于分母不能为0，所以x不能等于±3。分析：题目中的函数g(x)是奇函数，因此g(-2)=g(2)，从而可以得到f(2)。对于其他题目，也可以根据函数的奇偶性质来进行推导。解：设h(x)=af(x)+bg(x)，则h(x)是奇函数。由于F(x)在区间(0,∞)上单调递减，所以h(x)=F(x)-2在该区间上的取值范围为(-∞,3]。又因为h(x)是奇函数，所以h(x)在区间(-∞,0)上的最小值为-h(0)=2。因此F(x)在区间(-∞,0)上的最小值为-1