高二数学人教A版选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质练习含解析

第第页高二数学人教A版选修一3.1.2椭圆的简单几何性质（练习）（含解析）3.1.2椭圆的简单几何性质

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1.已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率()

A.B.C.D.

2.已知椭圆的离心率为，则()

A.B.C.D.

3.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为()

A.B.C.D.

4.已知椭圆的焦点在轴上，，是椭圆短轴的两个端点，是椭圆的一个焦点，且，则()

A.B.C.D.

5.椭圆的离心率为()

A.B.C.D.

6.椭圆的长轴长为()

A.B.C.D.

7.椭圆的离心率是()

A.B.C.D.

8.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率为()

A.B.C.D.

9.过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是()

A.B.C.D.

10.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是()

A.B.C.D.

11.过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为()

A.B.C.D.

12.椭圆的左顶点到右焦点的距离为()

A.B.C.D.

13.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为()

A.B.C.D.

14.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为()

A.B.C.D.

15.椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是()

A.，，B.，，C.，，D.，，

16.已知椭圆的离心率为，则()

A.B.C.D.

二、多选题

17.如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是()

A.椭圆的长轴长为B.椭圆的离心率为

C.椭圆的离心率为D.椭圆的一个方程可能为

18.以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为()

A.设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线；

B.方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

C.双曲线与椭圆有相同的焦点；

D.以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切

19.如图，椭圆与有公共的左顶点与左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心，设椭圆与的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是()

A.B.

C.D.

20.设椭圆的左、右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是

A.离心率B.的最大值为

C.面积的最大值为D.的最小值为

21.已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则()

A.椭圆焦距为；B.椭圆方程为；

C.弦长；D.．

22.已知直线：被椭圆：截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有()

A.B.C.D.

23.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点．直线的方程为下列说法正确的是()

A.的蒙日圆的方程为

B.对直线上任意点，

C.记点到直线的距离为，则的最小值为

D.若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为

24.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

三、填空题

25.已知，，分别是椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的方程无实根，则椭圆的离心率的取值范围是．

26.如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角母线与竖直方向所成角后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为

27.写出一个长轴长等于离心率倍的椭圆标准方程为．

28.已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是．

29.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．

30.已知点，在椭圆：上，则椭圆的方程为，若直线交椭圆于，两点，则．

31.已知点，椭圆上两点，满足，则当___________时，点横坐标的绝对值最大．

32.过点的直线与椭圆交于点和，且点满足，若为坐标原点，则的最小值为．

33.已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是___________．

34.若椭圆的离心率为，则．

35.已知椭圆的离心率，则的值等于．

36.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”：的左右顶点分别为，，“优美椭圆”上动点异于椭圆的左右顶点，设直线，的斜率分别为，，则．

37.如图，平面与平面相交成锐二面角，其大小为，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，则等于．

38.已知椭圆，为坐标原点，动直线与椭圆相交于，两点，且，为直线上一点，满足，则动点的轨迹方程是，点的轨迹所形成图形的面积为．

四、解答题

39.本小题分

已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，

若为等边三角形，求的离心率；

如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．

40.本小题分

已知椭圆：，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为

求椭圆的离心率；

若点在椭圆上，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，且是线段的中点，求面积的最大值．

41.本小题分

已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．

Ⅰ求椭圆的方程

Ⅱ设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点求证：为等腰三角形．

42.本小题分

设椭圆：的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．

当与轴垂直时，求直线的方程；

设为坐标原点，证明：．

43.本小题分

已知椭圆：的短轴长为，离心率为

求椭圆的方程；

设过定点的直线与中的椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围．

44.本小题分

已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

Ⅰ求双曲线的方程．

Ⅱ经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，求直线的方程并求弦长．

45.本小题分

在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为过左顶点且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点，且．

求椭圆的标准方程；

过点且不与轴重合的直线交椭圆于点，连接并延长交于点若，求实数的取值范围．

46.本小题分

已知：实数使得焦点在轴上的椭圆的离心率．

求实数的取值范围；

若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．

根据题意求出，，由即可求出结果．

【解答】

解：椭圆：的焦点在轴上，且焦距为，

，，

，，

．

故选C．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质，是基础题．

由椭圆离心率及隐含条件得答案．

【解答】

解：由题意，，得，则，

，即．

故选B．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．

利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可．

【解答】

解：椭圆：的一个焦点为，

可得，解得，

，

．

故选C．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆性质的应用，结合三角形边角关系建立方程是解决本题的关键，属于基础题．

根据椭圆的方程表示出，，，结合三角形的夹角关系建立方程进行求解即可．

【解答】

解：椭圆的焦点在轴上，

，，，

则，，，

，，

则，

即，则，

得，得，

故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆离心率的概念，属于基础题．

根据椭圆离心率的性质进行求解即可．

【解答】

解：由条件可知，，

所以，

所以．

故选A．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，长轴长的求法，是基础题．

直接利用椭圆方程，求解长轴长即可．

【解答】

解：椭圆的长轴长．

故选：．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查由椭圆的标准方程及椭圆的几何性质，属于基础题．

先求出、，再求椭圆的离心率．

【解答】

解：由椭圆，得，

，

，，

即．

故选C．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线和椭圆的位置关系及中点弦问题，属基础题．

利用“点差法”即可得出直线的斜率，利用点斜式即可得出方程．

【解答】

解：设直线与椭圆相交于两点，

代入椭圆方程可得，，

两式相减得，

，，，

，解得．

故选C．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系，及圆锥曲线中的面积最大问题，属于基础题．

设，的面积是，当最大时，的面积取最大值，直线与轴垂直时，的面积取最大值．

【解答】

解：设，则，

的面积是，

当最大时，的面积取最大值，

所以直线与轴垂直时，的面积取最大值，

则的面积的最大值为．

故选C．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的几何性质，向量的坐标运算，属于基础题．

根据条件结合向量的坐标运算可得，，从而求出答案．

【解答】

解：由题意，可设，

设，，，，

，，

，

，

故选B．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力．

当直线的斜率不存在或为时，易推导出；当直线的斜率存在且不为时，设直线：，：，分别利用弦长公式求出、的长度，由此能推导出为定值．

【解答】

解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，

当直线的斜率不存在时，：，

则：此时，，

则；

同理易得当直线的斜率为时，；

当直线的斜率存在且不为时，

设：，则：．

又设点，

联立方程组，

消去并化简得，

，

，

由题知，直线的斜率为，

同理可得．

为定值．

故选D．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的几何性质，注意运用椭圆方程求得基本量，，，属于基础题．

求得椭圆的，，由，可得，即可得到左顶点到右焦点，进而得到它们的距离．

【解答】

解：由椭圆知，则，

椭圆的左顶点为，右焦点，

椭圆的左顶点到右焦点的距离为．

故选D．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题．

由椭圆的焦点在轴上，表示出长轴和短轴，利用长轴长是短轴长的两倍，列方程可得答案．

【解答】

解：由椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，

可得，

解得．

故选A．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．

由椭圆的焦点得，且，得，即可得出椭圆的离心率．

【解答】

解：由椭圆：的一个焦点为，

则，且，得，则，

所以的离心率为．

故选C．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的几何性质，注意将椭圆的方程变形为标准方程，属于基础题．

根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析、的值，计算可得的值，由椭圆的几何性质计算可得答案．

【解答】

解：将椭圆方程化为标准方程得，

所以，，，

所以长轴长为，

短轴长为，

离心率为．

故选B．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆几何性质，依题意，属于基础题．

根据椭圆方程及，即可求得结果．

【解答】

解：因为椭圆的离心率为，

所以，

得．

故选A．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的方程与性质，属于中档题．

求出椭圆的，，可得结果．

【解答】

解：由题意易知椭圆的短半轴，

截面与底面所成的角为，

椭圆的长轴长为，

，，

离心率为，，

当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，

则椭圆的方程为．

故选ABD．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义，双曲线、椭圆的几何性质，抛物线的定义和性质．

根据椭圆，双曲线，抛物线的定义和性质逐个选项判断正误即可．

【解答】

解：不正确，若动点的轨迹为双曲线，则要小于、两个定点间的距离，当大于、两个定点间的距离时，动点的轨迹不是双曲线；

B正确，方程的两根分别为和，和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，

C正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在轴上，焦点坐标为，

D正确，不妨设抛物线为：，即抛物线位于轴的右侧，以轴为对称轴，

设过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离是，而到准线的距离，到准线的距离，

又到准线的距离是梯形的中位线，故有，

则半径，

所以圆心到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切．

故选BCD．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题．

利用位置关系，求出，，进而判断各个选项即可．

【解答】

解：由题可知，且，，

，A正确；

，故B正确；

又，即，，故C错误；

，即，故D正确．

故选ABD．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，属于中档题．

根据椭圆的定义和几何性质可判定、；当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，可得判定；利用向量的坐标运算，二次函数的性质，可得判定

【解答】

解：对于选项，依题意，所以，故A正确；

对于选项，的最大值为，故B错误；

对于选项C，面积的最大值为，故C错误；

对于选项，设，因为，

所以

，

当时，的最小值为，故D正确．

故答案选：．

21.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系，椭圆中的弦长及面积问题，属基础题．

依题意，，可判断，根据椭圆定义得，，进而求得，判断，

联立，根据弦长公式求得，可判断，求出到直线的距离，计算三角形的面积，可判断．

【解答】

解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；

的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得，

所以，所以椭圆方程为，故B正确；

联立得，，

所以，故C正确；

到直线的距离，

所以故D错误，

故选BC．

22.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的标准方程及其对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由于直线：被椭圆截得的弦长为，根据对称性即可判断出结论．

【解答】

解：由于直线：被椭圆截得的弦长为，

根据对称性可得：，，满足条件．

直线被椭圆截得的弦长不为．

综上可得：下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有．

故选ACD．

23.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的相关知识，包括概念、方程、性质、几何意义、直线与椭圆的位置关系．

A.考虑与斜率的所有情况，然后设出点及过点的切线方程，然后与椭圆方程相联立，可得与相关式子，进行化简从而得到蒙日圆方程．

B.由题意知直线过的定点在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，由蒙日圆的定义可知的关系．

C.因为点在椭圆上，通过椭圆定义可得到的最小值为到到的距离，并可表示出到的距离，则就可求出的最小值．

D.由条件知矩形为的素日圆的内接矩形，设长为，宽为，蒙日圆半径为，则可列出，利用不等式解出矩形面积最大值．

【解答】

解：当与一个斜率为，另一个斜率不存在时，易知交点，

当与的斜率均不为时，可设且，

因为过点的切线方程为，

所以联立得

，

因为与椭圆相切，所以，

整理得，

而与即为式的两根，

，

，

所以蒙日圆的方程为，

，

所以蒙日圆的方程为，故A正确

B.直线过定点，

而刚好在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，

由蒙日圆的定义知，故B错误；

C.点在椭圆上，，

的最小值为到到的距离，

而到的距离为，

，

的最小值为，故C错误．

D.因为矩形的四条边均与相切，所以矩形为的素日圆的内接矩形，

设长为，宽为，蒙日圆半径为，，则，

，当且仅当时等号成立，故D正确．

故选AD．

24.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．

考虑椭圆的焦点在轴或轴这两种情况，分别列不等关系计算即可．

【解答】

解：若椭圆的焦点在轴上，此时，

则有，解得；

若椭圆的焦点在轴上，此时，

则有，解得，

故实数的取值范围为．

故选AD．

25.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质，属中档题．

根据方程无实根，可得，于是可得，，的关系，两边同除以可得关于的不等式，解不等式即可．

【解答】

解：由关于的方程无实根，则，

即，

故，

解得或，而，

．

故答案为．

26.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题．

设圆柱形杯子的底面半径为，则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，由此可求得椭圆离心率．

【解答】

解：设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：

则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，则，

又，则．

故答案为：．

27.【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】

不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程．

本题考查椭圆的标准方程及性质，解题的关键在于求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解．

【解答】

解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，

因为长轴长等于离心率倍，故，即，

不妨令，则，

所以满足条件的一个椭圆方程为．

故答案为：答案不唯一

28.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的性质及几何意义以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．

设椭圆右焦点为，连接、，可得四边形为平行四边形，设，得到，同时由椭圆的焦点三角形面积公式得到，于是得到；同时注意到在椭圆上，得到，利用椭圆的性质有，，于是化简式得出，解之即可算出椭圆的离心率．

【解答】

解：由题意，椭圆的左焦点为，过原点倾斜角为的直线：，

不妨设，椭圆右焦点，作出图形如下所示：

因为椭圆关于原点对称，易知四边形为平行四边形，

又，所以，

所以的面积为，

根据焦点三角形面积公式可知，，

所以，即得，

又点在椭圆上，即得，

所以，

由可得，

又，，

所以上式可化为，

解得，舍去．

故答案为．

29.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用．

通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到，，的关系式的转换，进而得到离心率的范围，

【解答】

解：在中，由正弦定理得

，

则由已知得，

即，

又由，

所以，

由椭圆的几何性质知，即

所以，

所以，

解得或，

又，

故椭圆的离心率，

故答案为．

30.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．

由直线可知：椭圆的焦点在轴上，又过点，，即可求得和的值，求得椭圆方程；将直线方程代入椭圆方程，求解出交点，利用两点间距离公式求解即可．

【解答】

解：由题意可知：椭圆：上，由点，，焦点在轴上，

则，，

椭圆的标准方程：；

Ⅱ设，，

则，消去，整理得，

则，，，，

则．

故答案为：；．

31.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．

设，，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得，，有，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和的值．

【解答】

解：设，，

由，，

可得，，

即有，，

又，

即为，

又，

得，

可得，

解得，，

则，

即有

，

即有时，有最大值，

即点横坐标的绝对值最大．

故答案为：．

32.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算在直线与圆锥曲线位置关系问题中的应用，属于较难题．

设运用向量共线的坐标表示，结合点在椭圆上满足椭圆方程，可得的轨迹方程，由点到直线的距离公式可得最小值．

【解答】

解：设，

由，

得则，

同理，

于是．

又，则，所以点的轨迹是直线，

即为原点到直线的距离，

所以．

故答案为．

33.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、、轴对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

设，，线段的中点根据此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，可设直线的方程可设为与椭圆方程联立可得，及其根与系数的关系，利用中点坐标公式可得代入直线，解得代入即可解出．

【解答】

解：设，，线段的中点

此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，

直线的方程可设为．

联立，化为．

，解得．

，

，

．

代入直线可得：，解得．

代入可得：，解得．

的取值范围是．

故答案为．

34.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质及几何意义，是基础题．

先判断焦点在轴上，利用离心率公式列出方程，求解即可．

【解答】

解：椭圆的方程为：，

即，

则椭圆的焦点在轴，，

解得．

故答案为．

35.【答案】或

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．

通过椭圆焦点在轴上或焦点在轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出、、值，由离心率为建立关于的方程，解之即可得到实数．

【解答】

解：由题意可得，，

椭圆，

当椭圆焦点在轴上时，，，

则，

可得，

离心率，解得；

当椭圆焦点在轴上时，，，

则，

可得，

离心率，

解得．

综上所述，或．

故答案为或．

36.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．

设点坐标，，，根据直线的斜率公式和椭圆的离心率公式，即可求得．

【解答】

解：设，，，

“优美椭圆”的左顶点，右顶点，

则

，

故答案为．

37.【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，设圆的半径为，由题意可得，根据离心率与，，的关系可得，所以，所以

本题以二面角为载体，考查与二面角有关的立体几何综合题，以及椭圆的性质，是解析几何与立体几何结合的一道综合题．

【解答】

解：由题意可得：平面上的一个圆在平面上的射影是一个离心率为的椭圆，

也可以说为：上的一个离心率为的椭圆在上的射影是一个圆，

设圆的半径为，所以，

又因为，并且，所以

所以，所以．

故答案为．

38.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系及点的轨迹的求法，属于拔高题．

设，设则，得，在直角三角形中，设，则，得为定值，即可求解．

【解答】

解：设，，由得到，

设，则，即，

因为，在椭圆上，

所以

则，

在直角三角形中，设，

，，

，

得，

得为定值，

则动点的轨迹方程是：，

点的轨迹所形成图形的面积为．

故答案为：．

39.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，

，，，于是，

故曲线的离心率．

由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：

，，，

即

由及得，又由知，故，

由得，所以，

从而，故，

当，时，存在满足条件的点．

所以，的取值范围为．

【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．

根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；

根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．

40.【答案】解：由题意，得，

则，结合，得，即，

，解得．

所以椭圆的离心率为．

由得，则．

将代入椭圆方程，解得．

所以椭圆方程为．

易得直线的方程为．

当直线的斜率不存在时，的中点不可能在直线上，故直线的斜率存在．

设，，直线的方程为，

联立，得，

当时，

则，．

由，

得的中点，

因为在直线上，

所以，解得．

所以，得，且，

．

又原点到直线的距离，

所以

．

当且仅当，时等号成立，符合，且．

所以面积的最大值为：．

【解析】本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值问题，属于难题．

由题意得，然后求解离心率即可．

由得，将代入椭圆方程解得求出椭圆方程，直线的方程为当直线的斜率不存在时，的中点不可能在直线上，故直线的斜率存在．设直线的方程为，与联立消，设，，利用根与系数的关系求出的中点，推出，且，利用弦长公式以及三角形的面积，结合基本不等式即可求出面积的最大值．

41.【答案】解：Ⅰ由题解得

所以椭圆的方程为．

Ⅱ证明：由知，，

设，则，

，

设直线方程为，直线方程为，

由解得点．

由于，

于是直线的方程为，直线的方程为．

由，解得点．

于是，所以轴．

设中点为，则点的纵坐标为．

故中点在定直线上．

从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，

所以为等腰三角形．

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的方程和性质，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．

Ⅰ由题可得求出，，即可得到椭圆方程；

Ⅱ求出，设直线方程为，直线方程为，通过联立直线与椭圆方程，求出点坐标，同理可求出点坐标，推出，即可证明为等腰三角形．

42.【答案】解：，，

与轴垂直，

直线的方程为，

由，解得或

的坐标