2022-2023学年四川省成都重点中学高一下期中数学试卷含解析

第第页2022-2023学年四川省成都重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年四川省成都重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.()

A.B.C.D.

2.下列命题中正确的()

A.若，则B.若，则

C.若，则D.，，则

3.函数在区间的图象大致为()

A.B.

C.D.

4.若，，则等于()

A.B.C.D.

5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的()

A.倍B.倍C.倍D.倍

6.已知曲线，：，则下面结论正确的是()

A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

7.如图，一圆形摩天轮的直径为米，圆心到水平地面的距离为米，最上端的点记为现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过米的时间为()

A.分钟

B.分钟

C.分钟

D.分钟

8.若，则()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.计算下列各式，结果为的是()

A.B.

C.D.

10.已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是()

A.的最小正周期为B.的最大值为

C.在区间上单调递增D.为偶函数

11.在中，，，则的大小不可能为()

A.B.C.D.

12.已知函数，则()

A.的图像关于直线对称B.的最小正周期是

C.在上单调递减D.在上的最小值是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知非零向量，满足，则______．

14.______．

15.在中，，则的取值范围是______．

16.设，函数，若在区间内恰有个零点，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

设函数．

求的值；

求不等式的解集．

18.本小题分

如图，在中，，设，．

Ⅰ用，表示，；

Ⅱ若为内部一点，且求证：，，三点共线．

19.本小题分

已知，，且满足．

证明：；

求的最大值．

20.本小题分

已知，，且，．

求和；

求的大小．

21.本小题分

如图有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，是圆弧上一点不包括，，点，分别半径，上．

若四边形为矩形，求其面积最大值；

若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．

22.本小题分

已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差；_______；

的一条对称轴且；

的一个对称中心且在上单调递减；

向左平移个单位得到图象关于轴对称且．

从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

在的情况下，令若存在使得成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二倍角正弦公式，属于基础题．

由正弦的二倍角公式变形即可解之．

【解答】

解：因为，

所以．

故选：．

2.【答案】

【解析】解：若，但两个向量的方向不确定，故不一定成立，故A不正确；

若，则两个向量同向，故成立，故B正确；

向量无法比较大小，故C中不正确；

中若，不一定成立，故D不正确；

故选：．

根据向量相等的定义可判断与的真假，根据向量不能比较大小，可判断的真假；根据向量判断的真假．

本题以命题的真假判断为载体考查了向量的基本概念，其中熟练掌握向量相等的定义及向量的性质是解答的关键．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．

判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．

【解答】

解：函数，

则，

所以函数是奇函数，排除选项C和，

当时，，排除选项A，

所以函数在区间的图象大致为选项B中的图象，

故选B．

4.【答案】

【解析】解：，，

故，

，

故．

故选：．

确定，，，解得答案．

本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：依题意，，则，

所以第一次的“晷影长”是“表高”的倍．

故选：．

根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答．

本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．

故选：．

直接利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．

7.【答案】

【解析】解：由题意知，，所以，

所以距离水平地面的高度为，，

令，

即，

所以，

解得，

所以距离水平地面的高度不超过米的时间为．

故选：．

写出距离水平地面的高度，，解不等式即可．

本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

8.【答案】

【解析】解：由题得，

所以，即，即，显然，故．

故选：．

将与展开并用和差公式化简得，从而求得值．

本题主要考查两角与差的三角函数，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：对于，，A正确；

对于，，B错误；

对于，原式，C错误；

对于，原式，正确．

故选：．

对于，利用辅助角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；

对于，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；

对于，利用二倍角的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；

对于，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断．

本题主要考查了二倍角公式及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用三角函数图像求解函数解析式，考查函数的图象与性质，考查函数的周期性，对称性和三角函数的最值，属于基础题．

根据函数的部分图象求出函数的解析式，再根据函数解析式判断四个结论即可得解．

【解答】

解：由图知，的最小正周期，错；

则由，则，得．

由，得，则，所以，故最大值为，对；

当时，，则单调递增，对；

因为，

则不是偶函数，错．

故选BC．

11.【答案】

【解析】解：由，，

得：，

化简得：，

即，

又，

的大小为或，

若，得到，则，所以，

与矛盾，所以，

满足题意的的值为．

则的大小为．

故选：．

已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出的值，即可确定出的度数．

此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：选项A：，所以的图象关于直线对称，A正确；

选项B：，，

因此不是的周期，错；

选项C：时，，则，且，

根据正弦函数的性质可得在此区间上递减，C正确；

选项D：时，由以上讨论知，时，

，错．

故选：．

根据对称性的定义和周期性定义判断，由绝对值定义去掉绝对值符号化简函数式，结合正弦函数性质判断．

本题考查了三角函数的图象性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：，

，

故，

，

故．

故答案为：．

根据得到，再计算得到答案．

本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：

，

故答案为：．

由两角和的正弦公式求解即可．

本题考查了两角和的正弦公式，属基础题．

15.【答案】

【解析】解：，故，，，

故，故

故．

故答案为：．

，得到，根据得到答案．

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：，

当时，，的周期是，

因为，，

所以在区间上，最多有个零点，

在区间上，最多有个零点，

因此时，在区间内不可能是个零点，

因此，的两根为，，

因为，

所以，

若，则，

在上有两个零点，

因此在上有个零点，

，，

因此，，

所以；

当时，，

在区间上只有一个零点，

因此在区间上有个零点，即在上有个零点，

所以，，

综上，的取值范围是．

故答案为：．

讨论在上零点个数，从而确定在上零点个数，然后结合正弦函数性质可得参数范围．

本题考查函数零点与方程根的关系，关键指出是讨论的一个实数根是否在的范围内，需要分类讨论，然后给出另外一段函数零点的个数，利用数形结合得到范围，属于中档题．

17.【答案】解：，；

，故，

解得，

即不等式的解集为．

【解析】直接代入数据根据和差公式计算即可；

根据不等式得到，解得答案．

本题主要考查了正切函数的性质，考查了两角差的正切函数公式，属于中档题．

18.【答案】解：Ⅰ在中，，设，．

；

；

证明：Ⅱ因为为内部一点，且．

则，

所以与共线且有公共点，

所以，，三点共线．

【解析】由已知结合向量的线性表示即可求解；

Ⅱ由已知只要证明与共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明．

本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于中档题．

19.【答案】证明：由已知，，

；

解：，则，，

由得

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值是．

【解析】由两角和的余弦公式展开后变形，再由商数关系可证；

由利用平方关系化右侧为关于，的二次齐次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值．

本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：因为，，

所以，，

所以，

所以；；

因为，，

所以，，

又，故，，，

故，，

故，，

，

因为，，

故，

故．

【解析】确定，根据二倍角公式和同角三角函数关系得到答案．

根据函数的值确定，，，变换，展开计算得到，得到答案．

本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题．

21.【答案】解：连接，如图，令，

因四边形为矩形，则，，

于是得矩形的面积，

而，

则当，即时，取最大值，

所以的最大值为，

所以矩形面积最大值为；

由知，，，

则，，和的面积和：，

令，即，

而，则，，

则，

显然在上单调递减，

当，即时，，

而，因此，，

所以和的面积和的取值范围是．

【解析】连接，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答；

利用中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答．

本题考查三角函数的应用，以及三角恒等变换，属中档题．

22.【答案】解：由题意可知，函数的最小正周期为，

所以，

若选：

因为函数的一条对称轴，

则，解得，

又因为，所以，

若，则，

所以，不符合题意；

若，则，

所以，符合题意．

综上所述，；

若选：

因为函数的的一个对称中心，

则，解得，

因为，所以，

若，则，

当时，，

此时在区间上单调递增，不符合题意；

若，则，

当时，，

此时在区间上单调递减，符合题意．

综上所述，；

若选：

将函数向左平移个单位得到图象关于轴对称，

所得函数为，

由于所得函数图象关于轴对称，

所以，解得，

因为，所以，

若，则，

所以，不符合题意；

若，则，

所以，符合题意．

综上所述，；

由可知，，

则，

当时，，则，

所以，

故，

则，

因为，所以，

则，

由恒成立，可得恒成立，

即恒成立，

由基本不等式可得，，

当且仅当时等号成立，

故，

所以实数的取值范围为．

【解析】先求出函数的周期，由周期的计算公式求出的值，

若选：利用正弦函数的对称轴方程，求出的值，然后分情况，分别验证是否符合题意，即可得到答案；

若选：利用正弦函数的对称中心，求出的值，然后分情况，分别验