2022年河南省驻马店市市第十四中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年河南省驻马店市市第十四中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集A. B. C. D.参考答案：C

【知识点】对数函数的定义域；集合的关系及运算．A1因为，，，所以，故选C。【思路点拨】根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是集合A和集合B的交集．2.已知锐角的终边上一点P（，），则等于

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.已知函数，且实数>>>0满足，若实数是函数=的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D略4.函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足在D内是单调函数且存在[m，n]D使f(x)在[m，n]上的值域为，那么就称y=f(x)为“半保值函数”，若函数，（且）是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是（

）A.(0,] B.(0,) C.(0,+∞) D.(,+∞)参考答案：B【分析】根据题意求出函数的值域，可得t的范围.【详解】当时，均为增函数，所以为增函数；当时，均为减函数，所以为增函数；所以当时，，根据题意可得，所以是方程的两个不等的实数根，所以有，结合为正实数，即有，故选B.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，信息提供型题目，注意对题意的准确理解上.侧重考查数学建模的核心素养.5.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是（

）A．

B．

C．8

D．24参考答案：C

设球的半径为R，则，从而，所以正方体的体对角线为2，故正方体的棱长为2，体积为。

6.如图，已知等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C,选C.7.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4

参考答案：答案：D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。8.已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，给出下列四个结论：①是周期函数；

②是图象的一条对称轴；③是图象的一个对称中心；

④当时，

一定取最大值.1,3,5

其中正确的结论的代号是A.①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：A9.设是虚数单位，则复数

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1//MN；③MN//平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN，其中，正确命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则________．参考答案：答案：1解析：，，∴．12.一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为

．参考答案：考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答： 解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．13.已知是第二象限角，若，则的值为_______________.参考答案：14.计算：

．参考答案：9.2略15.给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是．参考答案：③④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；阅读型；三角函数的图像与性质．分析：若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，即可判断①；由y=cosx的减区间，结合正弦函数的图象，即可判断②；计算f（x）+f（﹣x），即可判断③；运用二倍角公式，化简整理，再由余弦函数奇偶性和值域和二次函数的最值求法，即可判断④；运用周期函数的定义，计算f（x+），即可判断⑤．解答：解：对于①，若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，则sinA＞cosB，即①错；对于②，由于区间（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）为y=cosx的减区间，但sinx＞0，即②错；对于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，则函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称，即③对；对于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，则cosx=﹣时，f（x）取得最小值，cosx=1时，f（x）取得最大值2，且为偶函数，即④对；对于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），则最小正周期为，即⑤错．故答案为：③④．点评：本题考查正弦函数和余弦函数的单调性和值域，考查周期函数的定义及运用，考查函数的对称性以及最值的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题16.设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________________．参考答案：因为函数是奇函数，所以，即，所以，即，所以，所以，，即，由得，所以，所以，所以，即，所以的取值范围是。17.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.参考答案：解析：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)则直线MF的斜率为－k，消所以直线EF的斜率为定值（2）同理可得设重心G（x,y），则有19.（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值．参考答案：考点： 三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题： 计算题．分析： （1）利用两角和差的三角函数化简函数，得到f（x）=1+，由T=求得周期．（2）当时，求出2x+的范围，进而得到sin（2x+）的范围，从而得到函数f（x）的范围，从而求得函数f（x）的最大值．解答： 解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+，故最小正周期为T===π．（2）当时，∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴0≤1+≤1+，故函数f（x）的最大值为

1+．此时，2x+=，x=．点评： 本题考查两角和差的三角函数，三角函数的周期的求法，求三角函数的值域，求三角函数的值域是解题的难点．20.（本题满分12分）如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，.（Ⅰ）证明：∥面；（Ⅱ）证明：

参考答案：21.设函数f（x）=ln（x+1）﹣，（a∈R）；g（x）=（1+k）x﹣kx﹣1，k∈（﹣1，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求函数g（x）的最大值；（Ⅲ）求证：＜ln（n+1）＜（n∈N*）参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）只要x+1≠0即可；（2）先对k进行讨论，然后利用导数求其最值；（3）利用函数f（x）在（0，+∞）上递增证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，…令?f′（x）=0，得x=a﹣1，ⅰ）当a﹣1≤﹣1?a≤0时：在区间（﹣1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增区间为（﹣1，+∞）；

…ⅱ）当a﹣1＞﹣1?a＞0时：在区间（﹣1，a﹣1）上，f′（x）＜0恒成立，故f（x）的减区间为（﹣1，a﹣1）；

…在区间（a﹣1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增区间为（a﹣1，+∞）．…（Ⅱ）ⅰ）k=0时，g（x）=0，所以g（x）max=0；

…ⅱ）k≠0时，易知g′（x）=（1+k）xln（1+k）﹣k，于是：g′（1）=（1+k）ln（1+k）﹣k，g′（0）=ln（1+k）﹣k，由（Ⅰ）可知g′（1）＞0，下证g′（0）＜0，即证明不等式ln（1+x）﹣x＜0在x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立．由上可知：不等式lln（x+1）＞在x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立，若x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），则，故＞，即当x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，ln（x+1）＞﹣x，从而ln（x+1），故当x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，ln（x+1）﹣x＜0恒成立，即g′（0）＜0．…又g（0）=g（1）=0，综上，当k∈（﹣1，+∞），g（x）在[0，1]上的最大值为0．．…（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上递增，知f（x）＞0，令，有ln（n+1）﹣lnn＞，得，由（Ⅱ）已证ln（x+1）﹣lnx＜0，得ln（n+1）＜x，令，有ln（n+1）﹣lnn＞得ln（n+1）＜，故，得证．…22.已知函数f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，c=2，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据题意，对f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣化简可得f（x）=sin（2x+），利用周期计算公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意f（C）=，由（1）可得f（x）=sin（2x+），代入可得sin（2C+）=，解可得C的值，又由△ABC的面积为2，结合正弦定理可得ab=8，①；再结合余弦定理可得a2+b2=20，②；联立两个式子可得a+b=6，又由c的值，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣=2cosx﹣（cosx+sinx）﹣=sin