2021贵州黔东南州中考数学

黔东南州2021年初中毕业升学统一考试试卷数学(本试题满分：150分，考试时间：120分钟)一、选择题：(每个小题4分，10个小题共40分.)1.2021的相反数是()A.2021B.－2021C.eq\f(1,2021)D.－eq\f(1,2021)2.下列运算正确的是()A.eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)B.a3·a2＝a6C.(a3)2＝a6D.a2－b2＝(a－b)23.将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为()A.45°B.60°C.70°D.75°第3题图4.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从中摸出3个球.下列事件中属于必然事件的是()A.至少有1个球是白球B.至少有1个球是黑球C.至少有2个球是白球D.至少有2个球是黑球5.由4个棱长均为1的小正方体组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为()第5题图A.18B.15C.12D.66.若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为()A.2B.3C.4D.57.如图，抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为()A.1B.2C.3D.4第7题图8.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径⊙O交AB于点D，则CD的长为()第8题图A.eq\f(12,5)B.eq\f(13,5)C.eq\f(24,5)D.59.已知直线y＝－x＋1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为()A.(1，1)B.(1，1)或(1，2)C.(1，1)或(1，2)或(2，1)D.(0，0)或(1，1)或(1，2)或(2，1)10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将边AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为()第10题图A.eq\r(3)－1B.2eq\r(3)－2C.eq\f(2,3)eq\r(3)D.eq\f(4,3)eq\r(3)二、填空题：(每个小题3分，10个小题共30分)11.目前我国已建成世界上规模最大的社会保障体系，截至2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口.在这里，1300000000用科学记数法表示为.12.分解因式：4ax2－4ay2＝.13.黔东南州某校今年春季开展体操比赛活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员(各50名)的身高得到：平均身高(单位：cm)分别为：x甲＝160，x乙＝162.方差分别为：Seq\o\al(2,甲)＝1.5，Seq\o\al(2,乙)＝2.8.现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择.(填写“甲队”或“乙队”)14.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为度.第14题图15.已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A(2，1)、点B(2，0)、点O(0，0)，若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为.16.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2>3（x－1）,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x))的解集是.17.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中点C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm.第17题图18.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是度.第18题图19.如图，若反比例函数y＝eq\f(\r(3),x)的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为.第19题图20.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－1<x1<0，1<x2<2，下列结论：①abc>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c>0；④当x＝m(1<m<2)时，am2＋bm<2－c；⑤b>1.其中正确的有.(填写正确的序号)第20题图三、解答题：(6个小题，共80分)21.(14分)(1)计算：2cos30°－2－1－eq\r(12)－|eq\r(3)－2|＋(3.14－π)0(2)先化简：eq\f(x2＋3x,x2－4x＋4)÷eq\f(x＋3,x－2)·eq\f(x2－4,x)，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值.22.(14分)为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表：组别成绩x(分)频数A75.55≤x<80.56B80.5≤x<85.514C85.5≤x<90.5mD90.5≤x<95.5nE95.5≤x<100.5p第22题图请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题：(1)上表中的m＝，n＝，p＝.(2)这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图.(3)已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上(不含90分)的学生有多少人？(4)现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率.23.(12分)如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若AB＝6，cos∠PAB＝eq\f(3,5)，求PO的长.第23题图24.(12分)黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元.(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售.已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.①设运往甲地的A商品为x(件)，投资总费用为y(元)，请写出y与x的函数关系式；②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投资总费用＝购进商品总的费用＋运费)25.(12分)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.【探究发现】(1)如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°.求证：AD＋AB＝AC；【拓展迁移】(2)如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°.①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积.图①图②第25题图26.(16分)如图，抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线的顶点为点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；(3)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.第26题图

2021年黔东南州中考数学试题解析一、选择题1.B2.C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误Aeq\r(2)和eq\r(3)不是同类项，不能合并×Ba3·a2＝a3＋2＝a5≠a6×C(a3)2＝a3×2＝a6√Da2－b2＝(a＋b)(a－b)≠(a－b)2×3.D【解析】如解图，∵∠3＝90°，∴∠2＝90°－30°＝60°，∴∠1＝180°－45°－∠2＝75°.第3题解图4.B【解析】∵5个球中有2个白球，3个黑球，∴摸出三个球中至少有一个球是黑球，至多有两个球是白球，∴B选项正确，A，C，D选项错误．5.A【解析】观察图形可知，前后、左右、上下六个方位各有3个正方形，∴此几何体的表面积为12×3×6＝18.6.D【解析】把x＝2代入原方程得，4－2a＋6＝0，解得a＝5，故选D.7.B【解析】设平移后的抛物线的顶点为点C，如解图，连接AB，OC，由对称性质知，阴影部分的面积等于曲线AB，曲线OC，线段OB，线段AC构成的封闭图形的面积，由割补法知，曲线AB，曲线OC，线段OB，线段AC构成的封闭图形的面积等于□ABOC的面积，∴S阴影＝S▱ABOC＝AC·OA＝2×1＝2.第7题解图8.C【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，∵AC是⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(24,5).9.C【解析】令x＝0，得y＝0＋1＝1，∴B(0，1)，令y＝0，得－x＋1＝0，解得x＝1，∴A(1，0)，∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，①当∠P＝90°，AP＝BP时，如解图①，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠PAO＝∠PBO＝∠AOB＝90°，∴四边形OAPB为矩形，∵OA＝OB，∴四边形OAPB为正方形，∴AP＝BP＝OA＝OB＝1，∴P(1，1)；②当∠ABP＝90°，AB＝BP时，如解图②，∠APB＝∠PAB＝45°，∴∠OAP＝90°，AP＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)×eq\r(2)OA＝2，∴P(1，2)；③当∠BAP＝90°，AB＝AP时，如解图③，∠APB＝∠PBA＝45°，∴∠OBP＝90°，BP＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)×eq\r(2)OA＝2，∴P(2，1)；综上所述，点P的坐标为(1，1)或(1，2)或(2，1)．第9题解图10.A【解析】如解图，连接B′D，过点B′作B′F⊥AD于点F，由旋转性质得，AB′＝AB＝2，∵∠BAB′＝60°，∴△ABB′为等边三角形，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠BAB′＝60°，∴∠AB′E＝120°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠B′AD＝30°，∵四边形的内角和等于360°，DE⊥BE，∴∠ADE＝120°，∵AB＝AB′＝AD，∴∠ADB′＝∠AB′D＝75°，∴∠B′DE＝45°，∵∠DEB′＝90°，∴B′D＝eq\r(2)B′E，在Rt△AB′F中，AF＝AB′·cos30°＝eq\r(3)，B′F＝eq\f(1,2)AB′＝1，∴DF＝AD－AF＝2－eq\r(3)，∴B′D＝eq\r(DF2＋B′F2)＝eq\r(（2－\r(3)）2＋12)＝eq\r(6)－eq\r(2)，∴B′E＝eq\f(\r(2),2)B′D＝eq\r(3)－1.第10题解图二、填空题11.1.3×109【解析】1300000000用科学记数法表示为1.3×109.12.4a(x＋y)(x－y)【解析】原式＝4a(x2－y2)＝4a(x＋y)(x－y)．13.甲队【解析】∵seq\o\al(2,甲)＝1.5<seq\o\al(2,乙)＝2.1，∴甲队身高比较整齐．14.64【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠ADC＝2∠ADB＝64°，∴∠DCE＝∠ADC＝64°.15.(4，2)或(－4，－2)【解析】∵以点O为位似中心，相似比为2，把△AOB放大，∴点A的对应点A′的坐标为(2×2，2×1)或(－2×2，－2×1)，即(4，2)或(－4，－2)．16.－eq\f(5,2)＜x≤4【解析】令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2>3（x－1）①，,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x②))，解不等式①，得x＞－eq\f(5,2)，解不等式②，得x≤4，∴原不等式组的解集为－eq\f(5,2)＜x≤4.17.4【解析】如解图，设eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心为点O，连接OA、OD，则O、D、C三点共线，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OD＝R－1.6，AD＝eq\f(1,2)AB＝3.2，∵∠ADO＝90°，∴AD2＋OD2＝OA2，∴3.22＋(R－1.6)2＝R2，解得R＝4.第17题解图18.150【解析】设这个扇形的圆心角为n度，圆锥的母线长为R，则eq\f(1,2)×20π·R＝240π，解得R＝24，∵eq\f(nπR2,360)＝eq\f(nπ×242,360)＝240π，解得n＝150.19.2【解析】设△OPQ的边长为a，则可求得P点坐标为(eq\f(1,2)a，eq\f(\r(3),2)a)，∵反比例函数y＝eq\f(\r(3),x)的图象经过点P，∴eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(3)，解得a＝－2(舍去)或a＝2，∴△POQ的边长为2.20.②④⑤【解析】∵抛物线的对称轴在y轴右边，∴－eq\f(b,2a)>0，即a、b异号，∴ab<0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵对称轴位于直线x＝0与直线x＝1之间，∴0<－eq\f(b,2a)<1，∴2a＋b<0，故②正确；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，故③错误；∵当x＝1时，y＝2，当x＝m(1<m<2)时，y＝am2＋bm＋c，且x>1时，y随x的增大而减小，∴am2＋bm＋c<2，即am2＋bm<2－c，故④正确；∵当x＝1时，y＝2，∴y＝a＋b＋c＝2，∴a＋c＝2－b，∵当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，∴2－b－b<0，∴b>1，故⑤正确；∴正确的有②④⑤.三、解答题21.【思维教练】(1)根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值，0指数幂分别计算即可；(2)根据分式的混合运算进行计算，再代入使分式有意义的值，进行计算即可．解：(1)原式＝2×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)－2eq\r(3)－2＋eq\r(3)＋1＝eq\r(3)－eq\f(1,2)－2eq\r(3)－2＋eq\r(3)＋1＝－eq\f(3,2)；(2)原式＝eq\f(x（x＋3）,（x－2）2)·eq\f(x－2,x＋3)·eq\f(（x＋2）（x－2）,x)＝x＋2，∵当x＝0或2时，原式无意义，∴当x＝1时，原式＝1＋2＝3.22.【思维教练】(1)根据直方统计图得p的值，根据统计表与扇形统计图中B组数据求得抽查学生人数，进而由扇形统计图中C组所占比例，求得m，进而由总数及其余人数得n；(2)根据中位数的定义求出中位数，根据(1)中数据补全直方图；(3)用总人数乘以D、E组人数占抽查人数的百分比即可得到答案；(4)画树状图或列表分析即可求得概率．解：(1)18；8；4；【解法提示】由直方图可知，p＝4，抽查的人数为：14÷28%＝50，∴m＝50×36%＝18，∴n＝50－6－14－18－4＝8.(2)把50名学生的成绩由小到大排列知，位于第25位和26位的成绩都分布在C组，所以中位数分布在C组．补全频数分布直方图如解图①：第22题解图①(3)由题意得，1000×eq\f(8＋4,50)＝240，答：竞赛成绩在90分以上(不含90分)的学生约有240名；(4)设E组的4名学生分别用A(小丽)，B(小洁)，C，D表示，画出树状图如解图②：第22题解图②由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，∴P(恰好抽到小丽和小洁)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).23.【思维教练】(1)连接OB，BC，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；(2)根据余弦的定义求出PA，证明△PAO∽△PDA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．(1)证明：如解图，连接OB，BC，设AB与OP的交点为D，第23题解图∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,∠AOP＝∠BOP，,PO＝PO))，∴△AOP≌△BOP(SAS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；(2)解：∵AB⊥OP，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝3，∵cos∠PAB＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AD,AP)＝eq\f(3,5)，∴AP＝5，∴PD＝eq\r(AP2－AD2)＝4，∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∠APO＝∠DPA，∴△PAO∽△PDA，∴eq\f(PA,PO)＝eq\f(PD,PA)，即eq\f(5,PO)＝eq\f(4,5)，∴PO＝eq\f(25,4).24.【思维教练】(1)根据题意列二元一次方程组进行解答；(2)①根据题意知，运往甲地的A商品x件，运往甲地的B商品为(240－x)件，运往乙地的A商品(200－x)件，运往乙地的B商品为[260－(200－x)]件，再根据各地运费之和加上进货总费等于总投资y即可；②根据一次函数的性质进行解答．解：(1)设A种商品的进货单价为x元/件，B种商品的进货单价为y元/件，根据题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝1100，,5x＋3y＝1750))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝250))，答：A种商品的进货单价为200元/件，B种商品的进货单价为250元/件；(2)①根据题意得，总运费＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24([260－(200－x)]＝4x＋10040，购进商品总的费用＝200×200＋250×300＝115000，∴y＝4x＋10040＋115000＝4x＋125040；②∵y＝4x＋125040(0≤x≤200)，∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y的值最小，为125040，故调运甲地240件B商品，调运乙地200件A商品，60件B商品，这种方案投资总费用最少，为125040元．25.【思维教练】(1)根据直角三角形的性质得AB＝AD＝eq\f(1,2)AC，即可得出结论；(2)①延长AD到点E，使得AE＝AC，连接CE，证明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，进而得AB＋AD＝AC；②根据四边形ABCD的面积等于等边△ACE的面积，求得等边△ACE的面积即可．(1)证明：∵∠BAD＝120°，AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∵∠B＝∠D＝90°，∴AB＝AD＝eq\f(1,2)AC，∴AB＋AD＝AC；(2)解：①AB＋AD＝AC；理由：如解图，延长AD到E，使得AE＝AC，连接CE，第25题解图∵∠CAE＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴∠AEC＝60°，AC＝EC，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠EDC，∵∠BAC＝∠AEC＝60°，∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴AB＝ED，∴AB＋AD＝DE＋AD＝AE，∵AE＝AC，∴AB＋AD＝AC；②∵△ABC≌△EDC，∴S△ABC＝S△DEC，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△DEC＋S△ACD＝S△ACE，如解图，过点E作EF⊥AC于点F，∵∠CAD＝60°，AC＝AE＝10，∴EF＝AE·sin60°＝5eq\r(3)，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝eq\f(1,2)AC·EF＝25eq\r(3).26.【思维教练】(1)用待定系数法进行解答即可；(2)分两种情况：BC为平行四边形的边；BC为平行四边形的对角线；设Q点的坐标为Q(m，0)，根据平移的性质，根据中点公式分别用m表示P点的坐标，再将P点坐标代入抛物线的解析式建立方程求