浙江省杭州市仁和高中2022年高三数学文知识点试题含解析

浙江省杭州市仁和高中2022年高三数学文知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D.解析：正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d=，，所以EF=2r=。2.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C．

D．参考答案：【解析】本小题主要考查圆与直线相切问题。设圆心为由已知得答案：B3.已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣3＞b﹣3B．ac＞bcC．＜D．a+2＞b+3参考答案：A考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞b，可得a﹣3＞b﹣3．即可得出．解答：解：∵a＞b，∴a﹣3＞b﹣3．故选：A．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于

(

)

A．13

B．35

C．49

D．63

参考答案：C略5.若，且与的夹角为，当取得最小值时，实数的值为（

）

A.2

B.

C.1

D.参考答案：6.已知全集为实数R，若集合，，则（

）.（A）{2}

（B）[0，2]

（C）(-∞，2)

（D）(-∞，2]参考答案：A7.已知函数，函数则关于的实根个数取得最大值时，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，，令，得，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，取最大值为2，当时取最小值；由函数的图像可知，当或时，；（1）当时，方程，则，有一个实根，，方程有三个实根，此时关于的方程共有4个实根;（2）当时，方程，则，方程只有一个实根，或，方程只有一个实根，此时关于的方程共有2个根；（3）当时，方程，则，方程有三个实根，或，方程有三个实根，此时关于的方程共有6个实数根；（4）当时，方程，有，方程有三个实根，或，方程有三个实根，此时关于的方程共有6个实数根；（4）当时，方程，有，方程有3个或2个或1个实根，综上所述：关于的方程的实根最多有6个，实数的取值范围是.考点：函数图象，函数的零点，数形结合思想.【方法点睛】给出两个函数研究某个函数复合形式构成的方程的根的个数问题，是今年出现的新题型，常常方程中含有参数，因此首先要具备讨论思想.解题时，首先画出两个函数的草图，利用数形结合思想，借助图形解题更为直观；本题借助的图象，根据，由的值反看的值或其取值范围，然后借助的图象，根据的值或范围反看的值或的个数.8.已知是单位向量，且夹角为60°，则等于（

）A．1

B．

C．3

D．参考答案：9.已知是等差数列，,则

(

)A.190

B.95

C.170

D.85参考答案：A∵{an}是等差数列，a10=10，∴S19=（a1+a19）==19×a10=19×10=190．10.执行右图所示的程序框图，则输出的n=A．3 B．4

C．5

D．6参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中，，，三角形面积，

．参考答案：．试题分析：首先在中，因为三角形面积，所以，即，所以；然后在中，应用余弦定理知，，所以；再在中，应用正弦定理得，；最后由分式性质知，．故应填．考点：正弦定理；余弦定理．12.已知向量，，，满足，则，夹角的余弦值为

．参考答案：由∥，得，解得，则，，所以.

13.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时

且，则不等式的解集为

参考答案：略14.定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①，②若，；③则

；

.参考答案：

根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。15.设变量x，y满足约束条件，则的最大值是

．参考答案：略16.函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为参考答案：略17.在△ABC中，M是BC边上一点，N是AM的中点，则=___________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在长方体中，，点在棱上移动．（1）求证：；（2）为中点时，求点到平面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小是．

参考答案：解析：（1）由于，，根据三垂线定理，得．

(4分)（2）设到平面的距离为．在中，，，，而，，

得．

(8分)（3）过作于，连接，则．为二面角的平面角．设则在中，，得．由于,

即，

解得．因此，当时，二面角的大小为．

(12分)

19.给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．参考答案：（1）不是封闭数列．因为取，则，即从而，所以不是封闭数列；（2）因为，所以是等差数列，又，所以，若是“封闭数列”，所以对任意，必存在，使得，即，故是偶数，又对任意都有，且，所以，故，故可取的值为经检验得：或；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在，使，则，故存在，使下面证明①当时，显然成立②当时，若时则取，对不同的两项，存在，使，即，这与矛盾，故存在整数，使

（充分性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，于是，由于，为正整数，即证毕．20.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C2与曲线C1关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=2（0＜θ＜π），过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）求|AC|?|BC|的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）利用同角三角函数的关系消元得到C1的普通方程，在将普通方程转化为极坐标方程；（II）求出三条曲线的普通方程，设直线方程为y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐标，利用三点的位置关系得出|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2．将|AC|?|BC|转化为关于k的函数．【解答】解：（I）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0（0＜y≤1）．∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）．（II）曲线C2的普通方程为（x+1）2+y2=1（﹣1≤y＜0），曲线C3的普通方程为x2+y2=4（0＜y≤2）．设直线l的方程为y=kx（k＞0）．则A（，），B（﹣，﹣），C（，）．∵A，B关于原点对称，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，∴|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2=﹣=4﹣．设f（k）=4﹣，则f（k）在（0，+∞）上单调递增，∵f（0）=0，，∴0＜f（k）＜4．即|AC|?|BC|的取值范围时（0，4）．21.(本小题满分12分)已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足，其中为正常数，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：参考答案：(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题设知，解得.…2分由

两式作差得所以，即，

………………4分可见，数列是首项为，公比为的等比数列．

……6分（Ⅱ）

……8分

…………10分

.

……………12分略22.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（1）求证：OD⊥面ABC；（2）求点M到平面ABD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据题意给出的条件得出OD⊥AC．OD⊥OM，运用直线平面的垂直判定定理可证明．（2）VM﹣ABD=VD﹣MAB，运用等积法求解距离问题．【解答】证明：（1）由题意，OM=OD=3，∵DM=3，∴∠DOM=90°，OD⊥OM，又∵菱形ABCD，∴OD⊥A