2023学年完整公开课版聚焦中考4

人教数学第三章函数及其图象第11讲一次函数及其图象要点梳理

1．概念形如函数叫做一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把函数叫做正比例函数．y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)y＝kx要点梳理

2．正比例函数y＝kx的图象过两点的一条直线．(0，0)，(1，k)要点梳理

3．正比例函数y＝kx的性质(1)当k＞0时，；(2)当k＜0时，．y随x的增大而增大y随x的增大而减小要点梳理

4．一次函数y＝kx＋b的图象要点梳理

5．一次函数y＝kx＋b的性质过的一条直线．(1)；(2)．当k＞0时，y随x的增大而增大

当k＜0时，y随x的增大而减小

一个方法待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)，再根据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法．两个区别(1)正比例函数和一次函数的区别正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数．(2)正比例和正比例函数的区别成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例．1．(2014·深圳)已知函数y＝ax＋b经过(1，3)，(0，－2)，则a－b＝()A．－1

B．－3

C．3

D．72．(2014·济南)若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数值y随x的增大而增大，则()A．m＞0B．m＜0C．m＞3D．m＜3DC3．(2014·枣庄)将一次函数y＝12x的图象向上平移2个单位，平移后，若y＞0，则x的取值范围是(

)

A．x＞4

B．x＞－4

C．x＞2

D．x＞－2

4．(2014·江西)直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限，则a的取值可以是(

)

A．－1

B．0

C．1

D．2

BD5．(2014·河北)如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y＝(m－2)x＋n，则m的取值范围在数轴上表示为()C一次函数y＝kx＋b中，系数k和b对图象及性质的影响

【例1】

(1)(2014·成都)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1____y2.(填“＞”“＜”或“＝”)(2)(2014·达州)直线y＝kx＋b不经过第四象限，则()A．k＞0，b＞0

B．k＜0，b＞0C．k＞0，b≥0D．k＜0，b≥0＜C【点评】

(1)一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．(2)一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．1．(1)(2012·娄底)对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是()A．函数值随自变量的增大而减小B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝－2x的图象D．函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)D(2)(2013·福州)A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是()A．a＞0

B．a＜0

C．b＝0

D．ab＜0B待定系数法求一次函数的解析式

【例2】

(2014·怀化)设一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(1，3)，B(0，－2)两点，试求k，b的值．【点评】

(1)k，b是一次函数y＝kx＋b的未知系数，这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法．(2)函数中常用的方法还有代入法．

2．(2013·河北)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意得b＞0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4，∴y＝－x＋4(2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，5＝1＋t，∴t＝4，当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8，8＝1＋t，∴t＝7，∵点M，N位于l的异侧，∴4＜t＜7(3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例3】

(1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x，y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是．x－101234y6420－2－4x＝2(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2，0)，则关于x的不等式－x＋b＞0的解集是．【点评】进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，提高识图能力．一次函数y＝kx＋b，当y＝0，则kx＋b＝0，得到一元一次方程，当y＞0，则有kx＋b＞0，得到一元一次不等式．x＜23．(1)(2014·毕节)如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)，则不等式2x≥ax＋4的解集为(

)

A．x≥32

B．x≤3

C．x≤32

D．x≥3

A(2)(2014·鄂州)在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(4，7)，直线y＝kx－k(k≠0)与线段AB有交点，则k的取值范围为．(3)(2013·武汉)直线y＝2x＋b经过点(3，5)，求关于x的不等式2x＋b≥0的解集．一次函数的实际应用【例4】

(2013·哈尔滨)梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子，如果一次购买10千克以上(不含10千克)的种子，超过10千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x(单位：千克)之间的函数关系如图所示，下列四种说法：①一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格打五折；④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个D【点评】

(1)数形结合，把数式和图形结合起来进行思考，互相解释、互相补充；(2)认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义，是解决这类问题的关键，注意分段函数是由自变量的取值决定的．4．(2014·聊城)甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象．(1)求出图中m，a的值；(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km.试题

已知函数y1＝x＋1，y2＝12x＋32，y3＝－32x＋152，有一个关于x的函数y，不论x取何值，y的解析式总是取y1，y2，y3中的值较小的一个，试求y的最大值．

审题视角由于坐标系的建立，将平面上的点与有序实数对建立一一对应关系，将平面上的线和代数中的方程也建立了对应关系，为几何问题代数化开辟了一条广阔的道路，达到了数形结合的最高境界，因此创建了一门新的数学分支——解析几何．一次函数、反比例函数、二次函数及其图象的研究体现着解析几何的思想和方法．画图象把这些函数表示在同一个平面直角坐标系中，观察图象，数形结合，直观把握问题的答案．规范答题

解：在同一直角坐标系中，分别作函数y1＝x＋1，y2＝12x＋32，y3＝－32x＋152的图象(下图中的实线部分)．观察图象，可知图象中的最高点(即函数值最大的点)是直线y2＝12x＋32与直线y3＝－32x＋152的交点，该点坐标为(3，3)．因此，函数y在x＝3时取得最大值，最大值是3.

答题思路第一步：审题，理解问题，把握住问题中的已知与未知；第二步：根据题意，在同一个坐标系中画出函数的图象；第三步：了解各分段函数在自变量的不同范围内的不同图象，注意分段函数解析式的表达格式；第四步：观察函数的图象，确定函数取得最大或最小值时相应的自变量的值；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题

如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板顶点与O重合，转动三角板使两直角边