水利工程测量误差及数据处理知识丨

水利工程测量

第6章

测量误差及数据处理的基本知识主讲教师：高飞8/19/2023

1合肥工业大学第6章测量误差及数据处理的基本知识

§6.1概述§6.2测量误差的种类§6.3偶然误差的特性及其概率密度函数§6.4衡量观测值精度的指标§6.5误差传播定律§6.6同精度直接观测平差§6.7不同精度直接观测平差§6.8最小二乘法原理及其应用

8/19/2023

2合肥工业大学

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●观测条件

●等精度观测和不等精度观测

●直接观测和间接观测

●独立观测和非独立观测§6.1测量误差概述8/19/2023

3合肥工业大学§6.1测量误差概述

◆测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）8/19/2023

4合肥工业大学例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld

计算改正

钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪视准轴误差I

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差§6.2测量误差的种类1.粗差(错误)——超限的误差8/19/2023

5合肥工业大学3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差

。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）8/19/2023

6合肥工业大学举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差

i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§6.3偶然误差的特性8/19/2023

7合肥工业大学7/粒6/耐20渡238合肥泉工业抬大学用频率汗直方添图表示梢的偶监然误良差统酸计：

频率除直方瓶图的洞中间处高、化两边盛低，味并向案横轴懒逐渐姥逼近摸，对称昂于y轴。

频率雹直方蜜图中桂，每丑一条由形的湖面积旁表示童误差贷出现溪在该崇区间的翁频率k/怀n，而所苦有条散形的总面杨积等她于1。

各条圾形顶拴边中恳点连比线经蓬光滑舟后的户曲线栗形状支，表畅现出档偶然凶误差支的普档遍规娱律图6-加1误差拾统计令直方六图7/泪6/晨20乏239合肥用工业采大学◆从误喷差统检计表织和频原率直泥方图掌中，既可以镇归纳每出偶改然误差的四个雾特性：

特性(1贱)、(2甩)、(3阳)决定竟了特护性(4佣)，特性(4妙)具有欣实用键意义牌。3.偶然橡误差鲁的特粮性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：7/戏6/取20左2310合肥榴工业访大学

偶然脆误差渠具有渴正态愤分布喘的特岩性当观绑测次奶数n无限燥增多(n→∞醋)、误差洪区间d无限朱缩小(d→卫0)时，施各矩仪形的抗顶边箩就连惕成一他条光榜滑的储曲线榆，这条列曲线首称为“正态讲分布碧曲线”，又饼称为“高斯时误差棵分布曲神线”。所以与偶然垮误差具有正态携分布的特户性。图6-诸1误差厘统计搁直方黑图7/阵6/看20耳2311合肥同工业格大学1.方差射与标斜准差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x=

y正态愁分布控曲线(a链=0抚)令：，上性式为币：§6纠.4衡量赴精度寨的指也标7/振6/艇20橡2312合肥混工业我大学

标准甜差叙的数督学意们义

表示停的离散问程度x=

y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：7/望6/肺20市2313合肥作工业毛大学

测量昏工作扁中，吹用中误头差作为桃衡量卡观测毫值精榴度的艺标准活。中误办差:观测盼次数音无限笼多时正，用侍标准片差已表饥示偶柄然误辰差的犁离散丽情形斯：上式中，偶然误差为观测值

与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：

i=

i-

X7/培6/剃20央2314合肥欠工业鸣大学7/浪6/渔20从2315合肥竹工业副大学

m1小于m2,说明绩第一茶组观占测值镰的误对差分传布比双较集中，其精度歼较高；相每对地脑，第挺二组轨观测劈燕值的蔽误差崖分布绞比较离散优，其精度匪较低姿：

m1=2蚁.7奔

是第再一组皂观测陡值的毁中误巷差；m2=3付.6桶

是第政二组服观测乏值的以中误赏差。7/藏6/规20跪2316合肥孕工业添大学2.容许悄误差(极限路误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|7/舱6/辜20领2317合肥爪工业月大学3.相对扩误差(相对钱中误午差)——误差逼绝对狗值与光观测窃量之刊比。

用于绞表示距离的精慎度。

用分市子为1的分夸数表坚示。

分数蓄值较辈小相怜对精帮度较慨高；乱分数肠值较假大相税对精净度较委低。K2<K1，所以捞距离S2精度像较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：7/怠6/榆20并2318合肥座工业骡大学一.一般位函数里的中讲误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§6雹.5误差缴传播轧定律7/缴6/蓝20饱2319合肥气工业奋大学对Z观测了k次，有k个式(d飞)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)7/聋6/榴20漆2320合肥树工业疑大学(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶头然误米差的恋抵偿姜性知都：(g被)式最晒后一蓝项极五小于咐前面探各项弦，可忽期略不藏计，则：<<前面各项即(h货)7/酱6/隙20避2321合肥顽工业访大学(h猪)考虑滋，蛾代入像上式亩，得便中误居差关胶系式朵：(6续-1蚁0)上式电为一般壶函数伸的中遭误差兴公式，也漂称为误差潜传播馅定律。7/挪6/孩20泰2322合肥读工业群大学通过秋以上伙误差盘传播附定律狠的推吧导，摔我们可以怕总结杆出求观鸭测值侄函数脱中误抱差的耗步骤：1.列出集函数慌式；2.对函告数式须求全浙微分桥；3.套用涛误差姨传播射定律您，写阁出中苗误差旷公式份。7/转6/跨20饺2323合肥泄工业蛋大学1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm

0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms解：列函数式求全微分中误差式二.几种优常用鸦函数科的中鸣误差7/登6/谅20混2324合肥底工业角大学2.线性港函数勿的中麦误差设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：7/四6/芒20旅2325合肥啊工业跳大学

函数式全微分中误差式3.算术佳平均迫值的孩中误潜差式由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某兄观测展量进晨行多辉次观斜测(多余包观测)取平隐均，是提矩高观坦测成饱果精均度最荷有效酷的方钓法。7/暗6/齐20吹2326合肥串工业汽大学4.和或俘差函纺数的踩中误狠差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

7/赶6/伪20轧2327合肥疾工业表大学观测炕值函担数中坛误差颜公式突汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

7/汇6/馅20削2328合肥州工业杨大学误差痕传播纳定律谋的应碗用用DJ贫6经纬闹仪观叉测三允角形距内角沉时，攀每个菜内角诊观测4个测匙回取蝇平均鼻，可锁使得晴三角远形闭银合差m

15

。例1：要求三角形最大闭合差m

15

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ

=(1+2+3)-180解：由题意：2m=

15

,则m=

7.5

每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：7/额6/这20左2329合肥锹工业丈大学误差妖传播邪定律复的应死用例2：试萌用中救误差贿传播揉定律肚分析切视距豆测量相的精蹄度。解:(定1)测量舍水平企距离表的精锦度基本邪公式瓶：求全站微分谢：水平助距离阀中误督差：其中策：7/覆6/勤20圈2330合肥好工业宣大学误差板传播吊定律闻的应弓用例2：试堂用中胶误差樱传播绝定律君分析腰视距绕测量删的精刘度。解:笔(2泡)测量矿高差适的精愤度基本看公式盛：求全枪微分谷：高差低中误雪差：其中困：7/如6/脂20锅2331合肥洗工业扰大学误差洲传播收定律催的应肆用例3:(1健)用钢垒尺丈翠量某交正方扭形一打条边近长为求该蚁正方喊形的周长S和面积A的中叮误差.解:厅(1伞)周长,(2蔑)用钢订尺丈赞量某是正方惑形四巷条边想的边海长为其中:求该头正方蛛形的周长S和面积A的中殊误差.面积,周长上的中成误差舒为全微寇分:面积允的中彻误差呆为全微冬分:7/括6/戏20遭2332合肥蜻工业让大学解:(究1)周长箭和面狗积的愈中误蜡差分析别为例3:(2败)用钢隙尺丈南量某消正方崭形四货条边给的边袭长为其中:求该厌正方葵形的周长S和面积A的中因误差.(2教)周长;周长句的中厕误差层为面积得周惯长的丙中误羽差为全微条分:但由螺于7/所6/廉20其2333合肥羞工业蜓大学▓观测柴值的言算术掩平均捕值(最或艰是值)▓用观它测值质的改盲正数v计算疫观测刺值的首中势误差(即:白塞弱尔公音式)§6耗.6同（胀等）写精度逮直接毕观测危平差7/捕6/倚20辨2334合肥关工业余大学一.观测句值的算术馆平均君值(最或怠是值删、最璃可靠羽值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值

1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==

1+2+···+n

nn上式等号两边分别相加得和：L=7/容6/寨20隆2335合肥填工业正大学当观测无限多次时：

得两边除以n：由

当观测纽奉次数贺无限狼多时眠，观拍测值袋的算锹术平绩均值棵就是手该量的狐真值恳；当观测兆次数沉有限议时，茅观测斥值的算术柴平均值最蓬接近遮真值。所顿以，偶算术库平均高值是最或侍是值促。L≈X7/基6/罚20毅2336合肥韵工业避大学观测定值改壳正数摔特点二.观测贸值的氧改正坑数v：以算埋术平染均值认为最民或是柳值，绕并据饰此计年算各甩观测斥值的叉改正磁数v，符合[v处v]替=m乐in的“最小荣二乘陷原则”。Vi=L膛-i(i腾=1均,2奖,·绵··鼓,n嫌)

特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：

通常用于计算检核L=

nv=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n7/穿6/芳20馋2337合肥愈工业缸大学精度性评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度欢评定——用观船测值告的改吩正数v计算系中误龟差一.计算公式(即白塞尔公式)：7/新6/锦20蚕2338合肥么工业膝大学证明如下：真误差：改正数：证明头两式摔根号凭内相绒等对上吗式取n项的歇平方描和由上伟两式纲得其中:7/暗6/锐20验2339合肥各工业茅大学证明兽两式驻根号承内相砍等中误邮差定义:白塞浅尔公式:7/邻6/虽20时2340合肥强工业耐大学解：该水刃平角真值寒未知，可镰用算术吼平均争值的颈改正嚷数V计算其笔中误索差：例：对某踢水平挡角等神精度愧观测遵了5次，窝观测汤数据听如下据表，求其期算术倘平均圆值及副观测乳值的色中误过差。算例1:次数观测值VVV备注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076

42

45

±1健.7广4

7/持6/未20弃2341合肥找工业黑大学距离劫丈量施精度福计算洗例算例2：对某帮距离件用精博密量嫩距方等法丈听量六阴次，届求①该灰距离稠的算闸术平均谋值巨；洪②观岗测值单的中废误差蚂；疯③蚀算术恰平均精值的谋中误差鹅；瓜④亚算术贿平均垦值的旱相对疯中误浸差知：

凡是礼相对誉中误赚差，映都必烦须用步分子心为1的分跃数表劣示。7/桐6/愁20具2342合肥兄工业诊大学§6尸.7不同停精度袍直接怜观测叔平差一、阔权的恩概念权是赠权衡汤利弊早、权情衡轻腿重的衫意思锦。在稠测量茶工作棋中权哲是一卖个表忆示观夹测结销果可伞靠程棉度的土相对舌性指巡寿标。1权的蛾定义者：设一构组不投同精圈度的芒观测劲值为li,其中滩误差星为mi(I纷=1位,2寇…n孝)，选定至任一恢大于葛零的验常数λ，则定肉义权过为：称Pi为观气测值li的权何。7/田6/势20滴2343合肥经工业浅大学1权的禽定义高：对于坦一组苍已知肃中误惜差mi的观爷测值止而言券，选摘定一躁个大很于零肿的常假数λ值，认就有盖一组阴对应矮的权悦；由索此可探得各欠观测岗值权第之间富的比散例关厉系：2权的挽性质（1）权练表示下观测滨值的免相对们精度窃；（2）权梦与中录误差唤的平蜻方成践反比做，权占始终饲大于屋零，学权大今则精遥度高吊；（3）权祥的大会小由淋选