统计模拟介绍课件

统计模拟介绍统计模拟介绍专业必修课教学目的：掌握统计模拟在实际中的应用36理论课+18实验课(PBL)考试形式：闭卷考试(60%)+小论文(40%)统计模拟课程安排专业必修课统计模拟课程安排1.统计模拟，Ross著，王兆军，陈广雷，邹长亮译2007年7月由人民邮电出版社出版2.统计建模与R软件，薛毅,陈广萍编著，2007年4月清华大学出版社教材或参考书目1.统计模拟，Ross著，王兆军，陈广雷，邹长亮译教材或参考MonteCarlo方法：亦称统计模拟方法，statisticalsimulationmethod

利用随机数进行数值模拟的方法MonteCarlo名字的由来：是由Metropolis在二次世界大战期间提出的：Manhattan计划，研究与原子弹有关的中子输运过程；MonteCarlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,MonacoMonteCarlo方法：亦称统计模拟方法，statistMonteCarlo方法简史简单地介绍一下MonteCarlo方法的发展历史1、Buffon投针实验：1768年，法国数学家ComtedeBuffon利用投针实验估计的值dLMonteCarlo方法简史简单地介绍一下MonteCaProblemofBuffon’sneedle:Ifaneedleoflengthlisdroppedatrandomonthemiddleofahorizontalsurfaceruledwithparallellinesadistanced>lapart,whatistheprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelines?ProblemofBuffon’sneedle:IfSolution:Thepositioningoftheneedlerelativetonearbylinescanbedescribedwitharandomvectorwhichhascomponents:Therandomvectorisuniformlydistributedontheregion[0,d)×[0,).Accordingly,ithasprobabilitydensityfunction1/d.TheprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelinesisgivenbytheintegralSolution:Thepositioningofth1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事先没有给客人讲与π有关的事。客人们虽然不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他们共投针2212次，其中704次相交。蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人们惊喜不已。1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些客人玩投针游2、1930年，EnricoFermi利用MonteCarlo方法研究中子的扩散，并设计了一个MonteCarlo机械装置，Fermiac,用于计算核反应堆的临界状态3、VonNeumann是MonteCarlo方法的正式奠基者,他与StanislawUlam合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器。在这些工作中，StanislawUlam意识到了数字计算机的重要性

合作起源于Manhattan工程：利用ENIAC(ElectronicNumericalIntegratorandComputer)计算产额2、1930年，EnricoFermi利用MonteCa一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数π的实蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概率统计理论为基础的一种方法。

由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它模拟程序l=1;d=2;m=0;n=10000fork=1:n;x=unifrnd(0,d);y=unifrnd(0,pi);ifx<1*sin(y)m=m+1elseendendp=m/npi_m=1/p关系式成立产生随机数验证模型成立次数k=k+1否是计算估计结果k/n成立次数不变试验次数是否达到n次是否编写R程序模拟程序l=1;关系式产生随机数验证模型成立次数k=k+1否MonteCarlo模拟的应用：自然现象的模拟：宇宙射线在地球大气中的传输过程；高能物理实验中的核相互作用过程；实验探测器的模拟数值分析：利用MonteCarlo方法求积分金融工程：股票期权的模拟定价MonteCarlo模拟的应用：自然现象的模拟：宇宙射线在物理化学生物环境工程医学金融交通教育心里卫生数学语言军事历史经济天文。。。MonteCarlo应用领域物理化学生物环境MonteCarloMonteCarlo模拟在物理研究中的作用MonteCarlo模拟在物理研究中的作用MonteCarlo模拟的步骤：根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模拟结果；对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。MonteCarlo模拟的步骤：根据欲研究的物理系统的性质注意以下两点：MonteCarlo方法与数值解法的不同:MonteCarlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一系列的微分方程来的导出系统的未知状态;MonteCarlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题:许多利用MonteCarlo方法进行求解的问题中并不包含随机过程例如:用MonteCarlo方法计算定积分.

对这样的问题可将其转换成相关的随机过程,然后用MonteCarlo方法进行求解注意以下两点：MonteCarlo方法与数值解法的不同:MMonteCarlo算法的主要组成部分概率密度函数(pdf)—必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数;随机数产生器—能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数抽样规则—如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随机抽取服从给定的pdf的随机变量;模拟结果记录—记录一些感兴趣的量的模拟结果误差估计—必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量的变化；减少方差的技术—利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法MonteCarlo算法的主要组成部分概率密度函数(pdf1.具有统计功能的软件Excel,Matab,C,Fortran2.专业的统计软件SPSS,SAS,S-Plus,R,Gauss,minitab常用的统计软件1.具有统计功能的软件常用的统计软件蒙特卡罗方法的特点优点能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。受几何条件限制小。收敛速度与问题的维数无关。具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。误差容易确定。程序结构简单，易于实现。缺点收敛速度慢。误差具有概率性。在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。蒙特卡罗方法的特点优点缺点赶火车问题火车离站时刻13:0013:0513:10概率0.70.20.1

一列列车从A站开往B站，某人每天赶往B站上车。他已经了解到火车从A站到B站的运行时间是服从均值为30min，标准差为2min的正态随机变量。火车大约下午13：00离开A站，此人大约13:30到达B站。火车离开A站的时刻及概率如表1所示，此人到达B站的时刻及概率如表2所示。问此人能赶上火车的概率有多大？表1：火车离开A站的时刻及概率

表2：某人到达B站的时刻及概率人到站时刻13:2813:3013:3213:34概率0.30.40.20.1赶火车问题火车离站时刻13:0013:0513:10概率0.赶火车问题——问题的分析——

这个问题用概率论的方法求解十分困难，它涉及此人到达时刻、火车离开站的时刻、火车运行时间几个随机变量，而且火车运行时间是服从正态分布的随机变量，没有有效的解析方法来进行概率计算。在这种情况下可以用计算机模拟的方法来解决。赶火车问题——问题的分析——：火车从A站出发的时刻；：火车从A站到B站的运行时间；：某人到达B站的时刻；：随机变量服从正态分布的均值；：随机变量服从正态分布的标准差；

进行计算机统计模拟的基础是抽象现实系统的数学模型

为了便于建模，对模型中使用的变量作出如下假定：：火车从A站出发的时刻；进行计算机统计模拟的基础是抽象现实

此人能及时赶上火车的充分必要条件为：，所以此人能赶上火车的概率模型为：。赶火车问题

为了分析简化，假定13时为时刻t=0，则变量、的分布律为：05100.70.20.1283032340.30.40.20.1此人能及时赶上火车的充分必要条件为：赶火车问题

R软件求解的总算法：关系式成立产生随机数验证模型成立次数k=k+1否是计算估计结果k/n成立次数不变试验次数是否达到n次是否编写R程序①借助区间(0,1)分布产生的随机数，对变量、概率分布进行统计模拟；②根据变量、、概率分布及模拟程序、命令产生n个随机分布数；③使用随机产生的n组随机数验证模型中的关系表达式是否成立；④计算n次模拟实验中，使得关系表达式成立的次数k；⑤当时，以作为此人能赶上火车的概率p的近似估计；赶火车问题R软件求解的总算法：关系式产生随机数验证模型成立windows(7,3)prb=replicate(100,{x=sample(c(0,5,10),1,prob=c(0.7,0.2,0.1))y=sample(c(28,30,32,34),1,prob=c(0.3,0.4,0.2,0.1))plot(0:40,rep(1,41),type="n",xlab="time",ylab="",axes=FALSE)axis(1,0:40)r=rnorm(1,30,2)points(x,1,pch=15)i=0while(i<=r){i=i+1segments(x,1,x+i,1)if(x+i>=y)points(y,1,pch=19)Sys.sleep(0.1)}points(y,1,pch=19)title(ifelse(x+r<=y,"poor...missedthetrain!","Bingo!catchedthetrain!"))Sys.sleep(0.5)x+r>y})mean(prb)windows(7,3)1.1矩母函数和生成函数

定义1.1设随机变量X的密度函数为p(x),称为X的矩母函数，记为性质：(1)(2)若X和Y相互独立，则第一章预备知识1.1矩母函数和生成函数第一章预备知识定义1.2若Ｘ为离散型随机变量，称为其概率生成函数，记为性质(1)(2)若X和Y独立，

定义1.21.条件分布其中为X的边际分布例子：令X和Y的联合密度函数为试求

1.2条件分布和条件方差1.条件分布1.2条件分布和条件方差2.条件数学期望命题：2.条件数学期望3.条件方差条件方差公式3.条件方差例1.3从某大学任意挑选一个学院，然后从此学院中任意挑选n个学生，令X表示这些学生中来自武汉市的人数，令Q代表该学院来自武汉市的人数所占的比例，因为学院之间的比例不相同，因此Q也是一个随机变量。若Q~U(0,1),X|Q=q~B(n,q)，求X的方差。例1.3从某大学任意挑选一个学院，然后从此学院中任意挑选n随机过程

是一个随机变量集合，状态空间S是随机变量取值集合，集合T为指标集。指标集可以是离散的也可以是连续的。例：天气变化情况是一个随机过程

晴，晴，多云，雨，雨，…

1.3随机过程简介随机过程1.3随机过程简介统计模拟介绍ppt课件命题：设为Poisson过程中事件发生的间隔时间序列，则为独立同分布的随机变量序列，且共同分布为具有参数的指数分布命题：设为Poisson过例1.5顾客依Poisson过程到达商店，速率为

人/小时。已知商店上午9:00开门。试求：到9:30时仅到一位顾客，而到11:30时总计已到5位顾客的概率。例1.5顾客依Poisson过程到达商店，速率为2.非齐次Posson过程2.非齐次Posson过程统计模拟介绍ppt课件一、Markov链的定义1．Markov链一、Markov链的定义1．Markov链有限马氏链状态空间是有限集I={0,1,2,…，k}2．一步转移概率马氏链在时刻n处于状态i

的条件下，到时刻n+1转移到状态j

的条件概率，即称为在时刻n的一步转移概率，注:马氏链由和条件概率决定有限马氏链状态空间是有限集I={0,1,2,…，k}2．一步注:由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步转移后，必到达状态空间中的某个状态一步转移概率满足3．一步转移矩阵称为在时刻n的一步转移矩阵

随机矩阵注:由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步转移后，必即有有限马氏链状态空间I={0，1，2，…，k}即有有限马氏链状态空间I={0，1，2，…，k}4．齐次马氏链即则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次）5．初始分布4．齐次马氏链即则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次）注马氏链在初始时刻有可能处于I中任意状态，初始分布就是马氏链在初始时刻的概率分布。6．绝对分布概率分布称为马氏链的绝对分