平面几何问题的证明证题的一般思路证题的一般思路课件

中学几何研究第五章

2023/8/191中学几何研究第五章2023/8/512023/8/192

第五章

平面几何问题的证明

第一节

证题的一般思路

证题的一般思路:试误式思路与顿误式思路

试误式思路:

认真审题，分清条件和结论，挖掘所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍，缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的证明。2023/8/52第五章平面几何问题的证2023/8/193

直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。又有“综合法”和“分析法”之分.

间接式:

有些命题，往往不易甚至不能直接证明。这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典型的间接式思路证题方法。

反证法又分归谬法和穷举法;

同一法。

试误式思路又常分为直接式和间接式。2023/8/53直接式:由命题的题设出发，根据定义2023/8/194

就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过一系列的“脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷而优美的证题思路。

见P75例1.

顿误式思路2023/8/54就是证题时，一下子不能马上2023/8/195

1,面积与面积法证题

张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣味。

在求解平面几何问题的时候，

根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。

第二节

面积法与面积坐标

常用公式见P84-85页.证明P85例1和例2.2023/8/551,面积与面积法证题2023/8/196

3.面积坐标

如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为负）就可以引入面积坐标了。

在平面上任意取一个定向三角形△A1A2A3，称为“坐标三角形”。A1，A2,A3称为基点。

2.消点思想与消点法证题(见第十章)对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积：S1=S△MA2A3,S2=S△MA3A1,S3=S△MA1A2.

2023/8/563.面积坐标如果引入带2023/8/197S1,S2,S3称为点M的三个”

坐标分量”，且满足

S1+S2+S3=S△A1A2A3。

如果给出三者之比S1:S2:S3=μ1:μ2:μ3，且μ1=Si/(S1+S2+S3)(i=1,2,3)，则称(μ1:μ2:μ3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。

通常（μ1:μ2:μ3)）称为M的重心坐标。

当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。

把三元数组（S1,S2,S3）称为（以△A1A2A3为坐标三角形时）点M的“面积坐标”，记为M=(S1,S2,S3)2023/8/57S1,S2,S3称为点M的三个2023/8/198

从而可以用（S1,S2）来表示点M，

或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（A3,A3A1,A3A2）之下M的仿射坐标，而A3称为这个仿射坐标的原点。

如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1，且∠A1A3A2=90o，则这个仿射坐标系（A3,A3A1,A3A2）叫做笛卡儿坐标系，也就是指常用的直角坐标系。

由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2)，就可以确定M,2023/8/58从而可以用（S1,S2）来表示点M，2023/8/199

1,向量法与向量法证题

把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法。

向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起。

第三节

向量法与复数法

2023/8/591,向量法与向量法证题2023/8/1910

见P90

用向量法证明第一节中的例1是很简捷的.2023/8/510见P90用向2023/8/1911

请讲解P94例4

2,复数法与复数法证题2023/8/511请讲解P94例42023/8/19121,关于线段,角的相等(常见方法10种,P96)2,关于平行与垂直(常见方法7+7种,P97-98)3,关于点共线与线共点(常见方法7+60种,P99)

第四节

几类问题的证明方法

4,关于点共圆与圆共点(常见方法7+3种,P100)2023/8/5121,关于线段,角的相等2023/8/1913

1,几何轨迹

具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点

的轨迹。

轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形（形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知其性而不知其形。

第五节

几何轨迹与尺规作图

研究轨迹问题，就是要探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使得形和性得到完美统一。2023/8/5131,几何轨迹2023/8/19141,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置

和大小。2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置

和大小或者缺少，或者叙述不全。

3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息

轨迹问题的三种类型：2023/8/5141,命题结论中明确说明了轨2023/8/1915

第二类轨迹题，

结论中只给出了轨迹图形的形状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行的工作。

整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明完备性与纯粹性，讨论等步骤。

第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。

求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯粹性，作出结论。2023/8/515第二类轨迹题，结论2023/8/1916

求解步骤与第二类轨迹题相同。题，

轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。

第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的之后，往往证明方法就附带解决了。2023/8/516求解步骤与第二类轨迹题相同2023/8/1917

传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。1.立方倍积问题:求作一立方体,使它的体积两倍于

一已知立方体的体积.2.三等分角问题:求作一任意角的三等分角.3.化圆为方问题:求作一正方形,使它的面积等于一

已知圆的面积.

几何作图三大难题

2,尺规作图2023/8/517传统的几何作图中，尺规作图

尺规作图公法

根据尺规的功能,规定如下作图公法:

1.过两已知点可作一条直线.2.已知圆心和半径可作一个圆.

3.已知两直线相交,可求其交点.4.已知一直线与一圆周相交,可求其交点.5.已知两圆周相交,可求其交点.2023/8/1918

尺规作图公法

根据尺2023/8/19191.二等分已知线段.

尺规作图的范围2.二等分已知角.3.已知直线l和l外一点p,过p作直线垂直于l.4.任意给定自然数n,作已知线段的n倍,以及n等分已知线段.

从中学几何知,利用直尺和圆规可以:2023/8/5191.二等分已知线段.2023/8/1920作图成法，课本P104页给出了22种。作图题的分类：定位作图，活位作图。解作图题的一般步骤：1，写出已知与求作，2，进行分析，3，写出作法，4，证明，并进行讨论。2023/8/520作图成法，课本P104页给出了22种。作2023/8/1921

常用的作图方法：

交轨法，三角形奠基法，变换法，代数法

等。

变换法又分变位法，位似法，反演法等。

交轨法：利用轨迹的交点来解作图题的方法。

三角形奠基法：用某个三角形为基础的作图

方法。

代数法：借助于代数运算来解作图题图的方

法。2023/8/521常用的作图方法：2023/8/1922变位法：把图形中某些元素施行适当的合同变

换，然后借助于各元素的新旧位置关

系发现作图的方法。位似法：利用位似变换性质解作图题的方法。

反演法：对于与圆有关部门的作图题，可以利

用反演变换的性质来解作图题的方法。2023/8/522变位法：把图形中某些元素施行适当的合同变2023/8/1923问题在于除了有理点，尺规作图能否作出无理数所对应的点?2023/8/523问题在于除了有理点，尺规作图能否作出无理2023/8/1924已知线段a作线段

。OA=a,AB=1.以OB为直径作圆,过A作OB的垂线交圆周于C,Rt△OAC与△OBC有公共角∠

COB,

由此可得∠OCA=∠ABC,

从而△OAC

~

△CBA,设AC=x,有

a/x=x/1,x2=a,x=．OaA1B

C2023/8/524已知线段a作线段。OA=a,2023/8/1925

已知线段a,可以作出线段,说明有些无理点是可以作出的。但是诸如

就无法用尺规作图，

这是因为无法作出超越数

。有理数域Q中的数可以用尺规作图，

提示我们，能否从Q出发，将Q一步一步扩张,并保证扩张后得到的新数域中的数可以用尺规作图?2023/8/525已知线段a,可以作出线2023/8/1926几何作图的关键:确定某些点的位置.这些点尺规作图可能性准则是“直线与直线,直线与圆,圆与圆的交点”.

直线与圆的方程都不超过二次,求直线与圆或圆与圆的交点的坐标,只需