【解析】安徽省亳州市谯城区2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

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安徽省亳州市谯城区2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

一、单选题

1．下列各数没有平方根的是（）

A．B．0C．D．6

2．要使分式有意义，则应满足的条件是（）

A．B．C．D．

3．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米．数据用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

4．下列算式中，结果等于的是（）

A．B．C．D．

5．不等式的最大正整数解是（）

A．1B．2C．3D．4

6．解分式方程时，去分母正确的是（）

A．B．

C．D．

7．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（）

A．B．C．D．

8．如图，直线，交于点，于点．若，则的度数为（）

A．B．C．D．

9．如图，下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

10．若实数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的最大值为（）

A．B．2C．0D．1

二、填空题

11．（2023九上·吉林月考）分解因式：．

12．要使的展开式中不含项，则的值为．

13．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为．

14．三角形和三角形是一副直角三角板，按如图方式摆放，，，．

（1）若，则∠CAD的度数为；

（2）若将三角形绕点A动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为．

三、解答题

15．计算：．

16．如图，若，，试说明与之间的数量关系，并说明理由．

17．（2023七下·新余期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．

（1）请画出平移后的；

（2）若连接，，则这两条线段之间的位置关系是，数量关系是．

19．观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由．

20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．

①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：；

②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：；

（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：；

（3）若，，求图2中阴影部分的面积．

21．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．

（1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；

（2）已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．

①求所代表的代数式；

②求的值．

22．某学生用品超市准备购进，两种类型的文具袋进行销售，若每个型文具袋比每个型文具袋的进价少2元，且用800元购进型文具袋的数量与用1000元购进型文具袋的数量相同．

（1）每个型，型文具袋的进价分别是多少元？

（2）设该超市购进型文具袋个．

①若购进型文具袋的数量比型文具袋的数量的3倍少50个，且购进型，型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进型文具袋多少个？

②在①的条件下，若型、型文具袋的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的型、型文具袋全部售出后，可使销售两种文具袋的总利润超过3795元，则该超市购进两种文具袋共有▲种方案．

23．已知直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点．

（1）如图1，请说明；

（2）如图2，，平分，平分，，求的度数：

（3）如图3，点为上一点，，，交于点，请探究，，之间的数量关系．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】平方根

【解析】【解答】解：∵根据平方根的性质，负数没有平方根，-2.5＜0，

∴-2.5没有平方根，

故答案为：A.

【分析】直接根据平方根的性质进行选择即可。

2．【答案】C

【知识点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意可得：4-2x≠0，

∴-2x≠-4，

∴x≠2，

故答案为：C.

【分析】根据分式有意义的条件，使分母不等于零，直接列出不等式，求解集即可。

3．【答案】B

【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数

【解析】【解答】解：0.0025=2.5×10-3，

故答案为：B.

【分析】根据科学记数法的定义，计算求解即可。

4．【答案】D

【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方

【解析】【解答】解：A：2m2+2m2=4m2，不等于4m4，所以A不符合题意；

B：3m2·m2=3m4，所以B不符合题意；

C：m5÷4m=，所以C不符合题意；

D：（-2m2）2=4m4，所以D符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据整式的运算法则分别正确运算，即可得出答案。

5．【答案】C

【知识点】一元一次不等式的特殊解

【解析】【解答】解：解不等式，

∴x+3≤6，

∴x≤3，

∴符合条件的最大整数解是：3.

故答案为：C.

【分析】解不等式，求出解集x≤3，再写出最大正整数解即可。

6．【答案】B

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解：，

方程两边都乘（3-x）得：x-4（3-x）=-6.

故答案为：B.

【分析】根据等式的性质，方程两边都乘最简公分母（3-x）即可。

7．【答案】C

【知识点】实数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：∵A、B在数轴上对应的数分别是1，，

∴AB=，

∵A是BC的中点，

∴AC=AB=，

∴点C所表示的数是：1-（）=，

故答案为：C.

【分析】根据数轴上两点之间距离的表示方法，先求出AB，然后得出AC=AB，最后求解即可。

8．【答案】D

【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：∵OE⊥CD，

∴∠COE=90°，

又∵∠AOE=110°，

∴∠AOC=∠AOE-∠COE=110°-90°=20°，

∵∠BOD和∠AOC是对顶角，

∴∠BOD=20°，

故答案为：D.

【分析】由垂直定义得出∠COE=90°，再根据两角之差求得∠AOC，进一步根据对顶角相等，可求得∠BOD的度数。

9．【答案】D

【知识点】平行线的判定

【解析】【解答】解：A：根据∠ADE=∠BCD，可判定AD∥BC，所以A不正确；

B：根据∠ADB=∠CBD，可判定AD∥BC，所以B不正确；

C：根据∠ADC+∠BCD=180°，可判定AD∥BC，所以C不正确；

D：根据∠BAC=∠ACD，可判定AB∥CE，所以D正确；

故答案为：D.

【分析】根据平行线的判定，分别判断各选项是否正确即可得出答案。

10．【答案】B

【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解不等式组得解集为：，

∴三个整数解为：1，2，3，

∴，

∴-2＜a≤2，

解关于y的分式方程得y=2-a，

∴2-a≥0，且2-a-1≠0

∴a≤2，且a≠1，

∴-2＜a≤2，且a≠1，

∴符合条件的整数a的最大值为2.

故答案为：B.

【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集，再根据不等式组整数解的情况，求得-2＜a≤2，然后再解关于y的分式方程，可求得方程的解y=2-a，根据方程的解为非负数求得a≤2，且a≠1，故得出a的取值范围-2＜a≤2，且a≠1，最后求出最大整数解即可。

11．【答案】m（2-a）（2+a）

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：．

【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式因式分解即可。

12．【答案】3

【知识点】多项式乘多项式；单项式的次数和系数

【解析】【解答】解：（y+3）（y2-my-2）=y3-my2-2y+3y2-3my-6=y3-（m-3）y2-2y-3my-6，

∵展开式中不含y2项，

∴-（m-3）=0，

∴m=3.

故答案为：3.

【分析】把（y+3）（y2-my-2）展开后得：y3-（m-3）y2-2y-3my-6，根据展开式中不含y2项，得到-（m-3）=0，解方程求得m的值即可。

13．【答案】

【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式

【解析】【解答】解：∵不等式ax-b＞0的解集是，

∴a＜0，且a=3b，

∴a-b=3b-b=2b＜0，a+b=3b+b=4b，

解不等式

∴（a-b）x＞a+b，

∴，

∴，

即x＜2.

故答案为：x＜2.

【分析】根据不等式ax-b＞0的解集是，可得出a＜0，且a=3b，进而得到a-b=2b＜0，a+b=4b，然后根据条件解不等式，即可求得不等式的解集。

14．【答案】（1）

（2）或

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质

【解析】【解答】解：（1）如图，AD与BC相交于点F，

∵BC⊥AD，

∴∠AFC=90°，

又∵∠C=30°，

∴∠CAD=180°-∠C-∠AFC=180°-30°-90°=60°。

故答案为：60°，

（2）分为以下两种情况：

①如图1，过点A作AF∥BC，

∵DE∥BC，

∴AF∥DE，

∴BC∥AF∥DE，

∴∠CAF=∠C=30°，∠DAF=∠D=45°，

∴∠DAC=∠CAF+∠DAF=30°+45°=75°；

②如图2，延长CB交AD于点F，

∵DE∥BC，

∴∠AFC=∠D=45°，

∴∠BAD=∠ABC-∠AFC=60°-45°=15°，

∴DAC=∠BAD+∠BAC=15°+90°=105°。

故答案为：105°或75°。

图1图2

【分析】（1）首先根据BC⊥AD，得到∠AFC=90°，然后在△ACF中，由三角形的内角和，求得∠CAD的度数；

（2）分成两种情况：根据平行线的性质，分别求得∠DAC的度数即可。

15．【答案】解：

．

【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂

【解析】【分析】首先根据负整数指数幂，零指数幂以及立方根的性质进行化简，然后再进行加减即可。

16．【答案】解：∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质

【解析】【分析】首先根据同位角∠1=∠2得到直线AB∥EF，再根据同旁内角∠3+∠4=180°，得到直线CD∥EF，从而得到AB∥CD，然后根据平行线的性质得出同旁内角∠B+∠BDC=180°。

17．【答案】解：

∵解不等式①得：x＞-4，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为-4＜x≤2，

在数轴上表示为：．

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组

【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．

18．【答案】（1）解：由对应点可知：将点向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到点

如图所示：

（2）平行；相等

【知识点】平移的性质；作图﹣平移；作图-三角形

【解析】【解答】解：（2）根据平移性质可知：AA'∥CC'，且AA'=CC'，

故答案为：平行；相等.

【分析】（1）首先根据点A和点A'的位置，得出点A到A'移动的方向和距离，然后点B和点C作相应的移动得到点B'和C'，顺次连接就可得到△A'B'C'；

（2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出AA'∥CC'，且AA'=CC'。

19．【答案】（1）

（2）解：猜想第个等式为．

理由：左边

，

∴左边=右边，

∴等式成立．

【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：（1）第1个等式：；

第2个等式：；

第2个等式：；

第6个式子：；

故答案为：；

【分析】（1）根据所给的式子找出规律：第一项分子都是1，分母分别为：1+2，2+2，3+2，4+2故第6个式子的第一项为：；第二项的分子都是2，分母分别为：12+2×1，22+2×2，32+2×3故第6个式子的第二项为：；等式右边，分别为：故第6个式子的右边为：，所以可得第6个式子为：+=。

（2）根据（1）所找的规律，写出第n个式子，并根据分式的加法运算法则，证明等式成立。

20．【答案】（1）；

（2）

（3）解：阴影部分的面积为：

将，代入可得：

原式

．

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景

【解析】【解答】解：（1）①由图示可知：阴影部分的边长为：（a-b），所以阴影部分的面积为：（a-b）2；

故答案为：（a-b）2；

②较大正方形的面积为：（a+b）2，长方形的面积为：ab，所以阴影部分的面积为：（a+b）2-4ab；

故答案为：（a+b）2-4ab；

（2）由（1）得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；

故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；

【分析】（1）分别用两种方法表示阴影部分的面积即可；

（2）直接根据（1）中的两种表示方法得出等式即可；

（3）阴影部分的面积可以转化为大正方形的面积减去三个角上的直角三角形的面积，直接整体代入a+b=6和ab=8，即可求得阴影部分的面积。

21．【答案】（1）解：∵，

∴A与B是“完美分式”，且“完美值”；

（2）解：①∵与互为“完美分式”，

∴，

，

，

∴；

②∵，

∴．

∵为正整数，分式的值为正整数，

∴．

【知识点】分式的加减法；定义新运算

【解析】【分析】（1）计算A+B，根据运算结果，可判断是不是"完美分式"并得出"完美值"；

（2）①根据"完美分式"的定义，以及"完美值"，列式可求得E所表示的代数式；

②由①知：D=，化简得：D=，根据D为正整数，x也为正整数，可得x的值。

22．【答案】（1）解：设型文具袋的进价为元，则型文具袋的进价为元，

由题意可得：

解得

经检验，是分式方程的解，

答：型文具袋的进价为元，型文具袋的进价为元；

（2）解：①由题意可得，购进型文具袋的数量为个，

则，

解得

答：该超市最多购进型文具袋个；

②5

【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用

【解析】【解答】解：（2）②设购进B型文具袋m个，则购进A型文具袋（3m-50）个，则：

（12-8）（3m-50）+（15-10）m＞3795，

解不等式得：m＞235，

由①知m≤240，

∴235＜m≤240，

所以m可取236，237，238，239，240，

所以共有5种方案。

故答案为：5.

【分析】（1）设B型文具袋的进价为x元，则型文具袋的进价为（x-2）元，根据用800元购进A型文具袋的数量与用1000元购进B型文具袋的数量相同，可列分式方程：，解分式方程并进行检验，可得答案；

（2）①设购进B型文具袋m个，则购进A型文具袋（3m-50）个，根据购进A型，B型文具袋的总数量不超过910个，可得不等式：，解不等式求得不等式的解集，并求出m的最大整数解即可；

②设购进B型文具袋m个，则购进A型文具袋（3m-50）个，根据销售两种文具袋的总利润超过3795元，可得不等式（12-8）（3m-50）+（15-10）m＞3795，得出解集为m＞235，结合①的解集m≤240，可得235＜m≤240，并取m的整数解，可得共5种方案。

23．【答案】（1）证明：如图1所示，过点E作，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴；

（2）解：∵平分，平分，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴

；

（3）解：∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）如图1所示，过点E作EE'∥AB，可得AB∥EE'∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠AME，∠2=∠CNE，进而得出结论；

（2）根据AB∥EF，可得∠MEF=∠AME=30°，因为EF平分∠MEN，可得∠FEN=30°，根据NP平分∠ENC，可得，由（1）的结论知：∠MEN=∠AME+∠ENC，∠MEN=∠MEF+∠FEN，可得∠ENC=∠FEN，根据EQ∥PN，可得∠ENP=∠NEQ=

（3）根据，，可得，，根据EH∥MN，可得∠MEH=∠NME，等量代换为：，等量代换为：，进一步可整理为：。

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安徽省亳州市谯城区2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

一、单选题

1．下列各数没有平方根的是（）

A．B．0C．D．6

【答案】A

【知识点】平方根

【解析】【解答】解：∵根据平方根的性质，负数没有平方根，-2.5＜0，

∴-2.5没有平方根，

故答案为：A.

【分析】直接根据平方根的性质进行选择即可。

2．要使分式有意义，则应满足的条件是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意可得：4-2x≠0，

∴-2x≠-4，

∴x≠2，

故答案为：C.

【分析】根据分式有意义的条件，使分母不等于零，直接列出不等式，求解集即可。

3．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米．数据用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数

【解析】【解答】解：0.0025=2.5×10-3，

故答案为：B.

【分析】根据科学记数法的定义，计算求解即可。

4．下列算式中，结果等于的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方

【解析】【解答】解：A：2m2+2m2=4m2，不等于4m4，所以A不符合题意；

B：3m2·m2=3m4，所以B不符合题意；

C：m5÷4m=，所以C不符合题意；

D：（-2m2）2=4m4，所以D符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据整式的运算法则分别正确运算，即可得出答案。

5．不等式的最大正整数解是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】一元一次不等式的特殊解

【解析】【解答】解：解不等式，

∴x+3≤6，

∴x≤3，

∴符合条件的最大整数解是：3.

故答案为：C.

【分析】解不等式，求出解集x≤3，再写出最大正整数解即可。

6．解分式方程时，去分母正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解：，

方程两边都乘（3-x）得：x-4（3-x）=-6.

故答案为：B.

【分析】根据等式的性质，方程两边都乘最简公分母（3-x）即可。

7．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】实数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：∵A、B在数轴上对应的数分别是1，，

∴AB=，

∵A是BC的中点，

∴AC=AB=，

∴点C所表示的数是：1-（）=，

故答案为：C.

【分析】根据数轴上两点之间距离的表示方法，先求出AB，然后得出AC=AB，最后求解即可。

8．如图，直线，交于点，于点．若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：∵OE⊥CD，

∴∠COE=90°，

又∵∠AOE=110°，

∴∠AOC=∠AOE-∠COE=110°-90°=20°，

∵∠BOD和∠AOC是对顶角，

∴∠BOD=20°，

故答案为：D.

【分析】由垂直定义得出∠COE=90°，再根据两角之差求得∠AOC，进一步根据对顶角相等，可求得∠BOD的度数。

9．如图，下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【知识点】平行线的判定

【解析】【解答】解：A：根据∠ADE=∠BCD，可判定AD∥BC，所以A不正确；

B：根据∠ADB=∠CBD，可判定AD∥BC，所以B不正确；

C：根据∠ADC+∠BCD=180°，可判定AD∥BC，所以C不正确；

D：根据∠BAC=∠ACD，可判定AB∥CE，所以D正确；

故答案为：D.

【分析】根据平行线的判定，分别判断各选项是否正确即可得出答案。

10．若实数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的最大值为（）

A．B．2C．0D．1

【答案】B

【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解不等式组得解集为：，

∴三个整数解为：1，2，3，

∴，

∴-2＜a≤2，

解关于y的分式方程得y=2-a，

∴2-a≥0，且2-a-1≠0

∴a≤2，且a≠1，

∴-2＜a≤2，且a≠1，

∴符合条件的整数a的最大值为2.

故答案为：B.

【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集，再根据不等式组整数解的情况，求得-2＜a≤2，然后再解关于y的分式方程，可求得方程的解y=2-a，根据方程的解为非负数求得a≤2，且a≠1，故得出a的取值范围-2＜a≤2，且a≠1，最后求出最大整数解即可。

二、填空题

11．（2023九上·吉林月考）分解因式：．

【答案】m（2-a）（2+a）

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：．

【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式因式分解即可。

12．要使的展开式中不含项，则的值为．

【答案】3

【知识点】多项式乘多项式；单项式的次数和系数

【解析】【解答】解：（y+3）（y2-my-2）=y3-my2-2y+3y2-3my-6=y3-（m-3）y2-2y-3my-6，

∵展开式中不含y2项，

∴-（m-3）=0，

∴m=3.

故答案为：3.

【分析】把（y+3）（y2-my-2）展开后得：y3-（m-3）y2-2y-3my-6，根据展开式中不含y2项，得到-（m-3）=0，解方程求得m的值即可。

13．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为．

【答案】

【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式

【解析】【解答】解：∵不等式ax-b＞0的解集是，

∴a＜0，且a=3b，

∴a-b=3b-b=2b＜0，a+b=3b+b=4b，

解不等式

∴（a-b）x＞a+b，

∴，

∴，

即x＜2.

故答案为：x＜2.

【分析】根据不等式ax-b＞0的解集是，可得出a＜0，且a=3b，进而得到a-b=2b＜0，a+b=4b，然后根据条件解不等式，即可求得不等式的解集。

14．三角形和三角形是一副直角三角板，按如图方式摆放，，，．

（1）若，则∠CAD的度数为；

（2）若将三角形绕点A动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为．

【答案】（1）

（2）或

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质

【解析】【解答】解：（1）如图，AD与BC相交于点F，

∵BC⊥AD，

∴∠AFC=90°，

又∵∠C=30°，

∴∠CAD=180°-∠C-∠AFC=180°-30°-90°=60°。

故答案为：60°，

（2）分为以下两种情况：

①如图1，过点A作AF∥BC，

∵DE∥BC，

∴AF∥DE，

∴BC∥AF∥DE，

∴∠CAF=∠C=30°，∠DAF=∠D=45°，

∴∠DAC=∠CAF+∠DAF=30°+45°=75°；

②如图2，延长CB交AD于点F，

∵DE∥BC，

∴∠AFC=∠D=45°，

∴∠BAD=∠ABC-∠AFC=60°-45°=15°，

∴DAC=∠BAD+∠BAC=15°+90°=105°。

故答案为：105°或75°。

图1图2

【分析】（1）首先根据BC⊥AD，得到∠AFC=90°，然后在△ACF中，由三角形的内角和，求得∠CAD的度数；

（2）分成两种情况：根据平行线的性质，分别求得∠DAC的度数即可。

三、解答题

15．计算：．

【答案】解：

．

【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂

【解析】【分析】首先根据负整数指数幂，零指数幂以及立方根的性质进行化简，然后再进行加减即可。

16．如图，若，，试说明与之间的数量关系，并说明理由．

【答案】解：∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质

【解析】【分析】首先根据同位角∠1=∠2得到直线AB∥EF，再根据同旁内角∠3+∠4=180°，得到直线CD∥EF，从而得到AB∥CD，然后根据平行线的性质得出同旁内角∠B+∠BDC=180°。

17．（2023七下·新余期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

【答案】解：

∵解不等式①得：x＞-4，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为-4＜x≤2，

在数轴上表示为：．

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组

【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．

18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．

（1）请画出平移后的；

（2）若连接，，则这两条线段之间的位置关系是，数量关系是．

【答案】（1）解：由对应点可知：将点向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到点

如图所示：

（2）平行；相等

【知识点】平移的性质；作图﹣平移；作图-三角形

【解析】【解答】解：（2）根据平移性质可知：AA'∥CC'，且AA'=CC'，

故答案为：平行；相等.

【分析】（1）首先根据点A和点A'的位置，得出点A到A'移动的方向和距离，然后点B和点C作相应的移动得到点B'和C'，顺次连接就可得到△A'B'C'；

（2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出AA'∥CC'，且AA'=CC'。

19．观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由．

【答案】（1）

（2）解：猜想第个等式为．

理由：左边

，

∴左边=右边，

∴等式成立．

【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：（1）第1个等式：；

第2个等式：；

第2个等式：；

第6个式子：；

故答案为：；

【分析】（1）根据所给的式子找出规律：第一项分子都是1，分母分别为：1+2，2+2，3+2，4+2故第6个式子的第一项为：；第二项的分子都是2，分母分别为：12+2×1，22+2×2，32+2×3故第6个式子的第二项为：；等式右边，分别为：故第6个式子的右边为：，所以可得第6个式子为：+=。

（2）根据（1）所找的规律，写出第n个式子，并根据分式的加法运算法则，证明等式成立。

20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．

①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：；

②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：；

（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：；

（3）若，，求图2中阴影部分的面积．

【答案】（1）；

（2）

（3）解：阴影部分的面积为：

将，代入可得：

原式

．

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景

【解析】【解答】解：（1）①由图示可知：阴影部分的边长为：（a-b），所以阴影部分的面积为：（a-b）2；

故答案为：（a-b）2；

②较大正方形的面积为：（a+b）2，长方形的面积为：ab，所以阴影部分的面积为：（a+b）2-4ab；

故答案为：（a+b）2-4ab；

（2）由（1）得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；

故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；

【分析】（1）分别用两种方法表示阴影部分的面积即可；

（2）直接根据（1）中的两种表示方法得出等式即可；

（3）阴影部分的面积可以转化为大正方形的面积减去三个角上的直角三角形的面积，直接整体代入a+b=6和ab=8，即可求得阴影部分的面积。

21．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．

（1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；

（2）已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．

①求所代表的代数式；

②求的值．

【答案】（1）解：∵，

∴A与B是“完美分式”，且“完美值”；

（2）解：①∵与互为“完美分式”，

∴，

，

，

∴；

②∵，

∴．

∵为正整数，分式的值为正整数，

∴．

【知识点】分式的加减法；定义新运算

【解析】【分析】（1）计算A+B，根据运算结果，可判断是不是"完美分式"并得出"完美值"；

（2）①根据"完美分式"的定义，以及"完美值"，列式可求得E所表示的代数式；

②由①知：D=，化简得：D=，根据D为正整数，x也为正整数，可得x的值。

22．某学生用品超市准备购进，两种类型的文具袋进行销售，若