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文档简介
北京市石景山中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象,则(
)A.
B.C.
D.参考答案:D2.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有A.种
B种
C.种
D.种参考答案:C3.已知函数(ω>0)的最小正周期为4π,则()A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线对称C.函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增参考答案:C【考点】正弦函数的图象.【分析】函数的最小正周期为4π,求出ω,可得f(x)解析式,对各选项进行判断即可【解答】解:函数的最小正周期为4π,∴,可得ω=.那么f(x)=sin().由对称中心横坐标方程:,k∈Z,可得:x=2kπ∴A不对;由对称轴方程:=,k∈Z,可得:x=2k,k∈Z,∴B不对;函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位,可得:sin[(x﹣)]=sin2x,图象关于原点对称.∴C对.令≤,k∈Z,可得:≤x≤∴函数f(x)在区间(0,π)上不是单调递增.∴D不对;故选C4.的展开式中的系数为(
)A. B. C. D.参考答案:A【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于,求出r的值,即可求得展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为Tr+1?(﹣2)r?,令3,求得r=1,可得展开式中的系数为﹣12,故选:A.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围()①第m项:此时,直接代入通项;②常数项:即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程;③有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.5.设,则函数
A.有极值 B.有零点 C.是奇函数 D.是增函数参考答案:D6.已知集合M={0,1,2},N={x},若M∪N={0,1,2,3},则x的值为(
)A.3
B.2
C.1
D.0参考答案:A7.给出如图所示的程序框图,那么输出的数是(
)A、2550B、2450C、5050D、4900否
参考答案:B略8.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元(注:结余=收入-支出)参考答案:D读图可知A、B、C均正确,对于D,前6个月的平均收入=45万元.9.已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的
(
)A.充要条件
B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:C略10.已知球O的半径是R,A、B、C是球面上三点,且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为,则四面体OABC的体积为(
)
A、
B、
C、
D、参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:f(3)=1;乙:函数f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数;丙:函数f(x)关于直线x=4对称;丁:若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)﹣m=0在[0,6]上所有根之和为4,其中结论正确的同学是
.参考答案:甲、乙、丁【考点】函数奇偶性的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】本题利用函数的奇偶性和函数的解析式的关系,得到函数的对称关系,从而得到函数的中心对称和轴对称的性质,得到本题的相关结论.【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,f(﹣x)=﹣f(x).∵函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),∴f(x﹣8)=﹣f(x﹣4),∴f(x﹣8)=f(x),∴函数f(x)的周期为8.(1)命题甲∵f(x﹣4)=﹣f(x),∴f(3)=﹣f(﹣1)=f(1).∵x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),∴f(1)=log2(1+1)=1,∴f(3)=1.∴命题甲正确;(2)命题乙∵当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),∴函数f(x)在[0,2]上单调递增.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x)在[﹣2,0]上单调递增.∴函数f(x)在[﹣2,2]上单调递增.∵f(﹣2+x)=﹣f(2﹣x)=f[(2﹣x)﹣4]=f(﹣2﹣x),∴函数f(x)关于直线x=﹣2对称,∴函数f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数.∴命题乙正确.(3)命题丙∵f(4﹣x)=﹣f(x﹣4)=﹣f(x﹣4+8)=﹣f(4+x)∴由点(4﹣x,f(4﹣x))与点(4+x,f(4+x))关于(4,0)对称,知:函数f(x)关于点(4,0)中心对称.假设函数f(x)关于直线x=4对称,则函数f(x)=0,与题意不符,∴命题丙不正确.(4)命题丁∵当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),∴函数f(x)在[0,2]上单调递增,0≤f(x)≤log23.∵f(2﹣x)=﹣f(x﹣2)=f(x﹣2﹣4)=f(x﹣6)=f(2+x),∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称.∴函数f(x)在[2,4]上单调递减,0≤f(x)≤log23.∵函数f(x)关于点(4,0)中心对称,∴当x∈[4,8]时,﹣log23≤f(x)≤0.∴当m∈(0,1)时,则关于x的方程f(x)﹣m=0在[0,6]上所有根有两个,且关于2对称,故x1+x2=4.∴命题丁正确.故答案为:甲、乙、丁.【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性与函数图象的关系,本题综合性强,难度较大,属于中档题.12.已知x,y满足约束条件,则的取值范围为_________.参考答案:【分析】先画出可行域,求的范围,再求的取值范围。【详解】由题得,可行域为图中阴影部分所示,则,,作直线,结合图像可知,所以有。【点睛】本题考查线性规划的有关知识和数形结合的思想。13.设,其中.若对一切恒成立,则①;②;③既不是奇函数也不是偶函数;④的单调递增区间是;⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号).参考答案:①②③略14.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
▲
.参考答案:15.点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则的取值范围是.参考答案:[﹣,0]【考点】平面向量数量积的运算.【分析】建立空间直角坐标系,设出点P的坐标为(x,y,z),则由题意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1,计算?=x2﹣x,利用二次函数的性质求得它的值域即可.【解答】解:以点D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,以DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示;则点A(1,0,0),C1(0,1,1),设点P的坐标为(x,y,z),由题意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1;∴=(1﹣x,﹣y,﹣1),=(﹣x,1﹣y,0),∴?=﹣x(1﹣x)﹣y(1﹣y)+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣,由二次函数的性质可得,当x=y=时,?取得最小值为﹣;当x=0或1,且y=0或1时,?取得最大值为0,则?的取值范围是[﹣,0].故答案为:[﹣,0].16.函数
为偶函数,则实数
参考答案:
因为函数为偶函数,所以,由,得,即。17.命题“x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面BEC;(Ⅲ)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值.参考答案:【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【专题】计算题;证明题.【分析】(I)取DE中点N,连接MN,AN,由三角形中位线定理,结合已知中AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,易得四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN,再由线面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;(II)由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,易得ED⊥平面ABCD,进而ED⊥BC,由勾股定理,我们易判断出△BCD中,BC⊥BD,由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面BDE⊥平面BEC;(III)以D为原点,DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量,代入向量夹角公式,即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值.【解答】证明:(I)取DE中点N,连接MN,AN在△EDC中,M、N分别为EC,ED的中点,所以MN∥CD,且MN=CD.由已知AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB.所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN又因为AN?平面ADEF,且BM?平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.(II)在正方形ADEF中,ED⊥AD,又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2在△BCD中,BD=BC=2,CD=4,所以BC⊥BD.所以BC⊥平面BDE,又因为BC?平面BCE,所以平面BDE⊥平面BEC.解:(III)由(2)知ED⊥平面ABCD,且AD⊥CD.以D为原点,DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),平面ADEF的一个法向量为=(0,1,0).设=(x,y,z)为平面BEC的一个法向量,因为,∴令x=1,得y=1,z=2所以=(1,1,2)为平面BEC的一个法向量设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ则cosθ==所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,熟练掌握空间直线与平面不同位置关系(平行和垂直)的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键.19.每年5月17日为国际电信日,某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠200元,选择套餐二的客户可获得优惠500元,选择套餐三的客户可获得优惠300元.电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率.(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率;(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人,再从该6人中随机选出两人,求这两人获得相等优惠金额的概率.参考答案:解:(1)设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”,则(2)设事件=“从这6人中选出两人,他们获得相等优惠金额”,由题意按分层抽样方式选出的6人中,获得优惠200元的1人,获得优惠500元的3人,获得优惠300元的2人,分别记为,从中选出两人的所有基本事件如下:,,,,,,,,,,,,,,,共15个,其中使得事件成立的为,,,,共4个,则.略20.已知函数,.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)的图像函数与函数的图像在内存在交点,求实数a的取值范围.参考答案:(1)见解析;(2)【分析】对a分类讨论,利用导数求函数f(x)的单调性;(2)原题等价于方程,即在上有解,构造函数,,求出其值域,再解不等式即得解.【详解】(1)函数的定义域为且则当时,在上恒成立,此时在上单调递增;当时,令,解得易得当时,,当时,,此时函数上单调递增,在上单调递减.(2)函数的图像函数与函数的图像在内存在交点等价于方程,即在上有解,设,,则,令,解得,易得函数在上单调递减,在上单调递增,即,有,,因为所以函数在的值域为,故,解得.【点睛】本题主要考查函数的单调性,考查函数的有解问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.在中,已知,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值参考答案:(Ⅰ)解:在中,,…1由正弦定理,.所以.….5(Ⅱ)解:因为,所以角为钝角,从而角为锐角,于是,..,………..7.….9
…1422.为了迎接2019年全国文明城市评比,某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示:组别频数2515020025022510050
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求;(2)在(1)的条件下,文明办为此次参加问卷
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