【解析】2023年浙教版数学八年级上册第二章 特殊三角形 章末检测（B卷）

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2023年浙教版数学八年级上册第二章特殊三角形章末检测（B卷）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2022八上·北京市期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】B

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：满足条件的点C有4个．

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义求解即可。

2．（2023八上·无锡月考）如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A．84°B．88°C．90°D．96°

【答案】B

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图示，作关于和的对称点，A"，连接A'A"，交于，交于，则A'A"即为的周长最小值.

延长，作于点，

，

，

，

，，

且，，

，

故答案为：B.

【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于BC和ED的对称点A',A",即可得出∠AA'M+∠A"=44°,进而得出∠ANN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A")即可得出答案.

3．（2023八上·南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为()

A．40°B．35°C．60°D．70°

【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，

∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，

∴AC垂直平分BB'，

∴AB=AB'，

∴∠BAC=∠B'AC，

∵AB=AD，

∴AD=AB'，

又∵AE⊥CD，

∴∠DAE=∠B'AE，

∴∠CAE=∠BAD=55°，

又∵∠AEC=90°，

∴∠ACB=∠ACB'=35°，

故答案为：B.

【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE=∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.

4．（2023八上·克东期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【知识点】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：如图所示，

①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；

②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；

③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，

综上，B点总共有4个，

故答案为：D．

【分析】分三种情况：①当时，②当时③当时。据此分别求解即可.

5．（2022八上·拱墅月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【答案】B

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵BE是△ABC的中线，

∴AE＝CE，

∴S△ABE＝S△BCE，所以①正确；

∵∠BAC＝90°，

∴∠AFC+∠ACF＝90°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DGC+∠GCD＝90°，

∵CF平分∠ACB，

∴∠ACF＝∠GCD，

∴∠AFC＝∠DGC，

∵∠AGF＝∠DGC，

∴∠AFC＝∠AGF，所以②正确；

连接DE，如图，

∵DE为Rt△ADC的斜边AC的中线，

∴DE＝EC＝AE，

∴∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，

∵∠EDC＝∠EBD+∠DEB，

∴只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，

∵条件中不能确定AC＝2BD，

∴不能确定DB＝DE，

∴不能确定∠HCD＝EBD，

∴HB＝HC不成立，所以③错误；

∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠BAD＝∠ACD，

∴∠BAD＝2∠ACF，所以④正确.

故答案为：B.

【分析】根据中线的概念可得AE＝CE，然后根据等底同高的三角形的面积相等可判断①；根据角平分线的概念可得∠ACF＝∠GCD，由等角的余角相等可得∠AFC＝∠DGC，由对顶角的性质可得∠AGF＝∠DGC，据此可判断②；连接DE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE＝EC＝AE，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，据此判断③；根据同角的余角相等可得∠BAD＝∠ACD，由角平分线的概念可得∠ACD=2∠ACF，据此判断④.

6．（2023八上·宁波期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为().

A．B．1

C．或1或D．或1或

【答案】C

【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，

∴∠A=30°，

∴AB=2BC=4cm.

∵F是AB的中点，

∴BF=AF=cm.

①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，

∴∠BEF=30°，

∴BE=2BF=2，

∴AE=AB-BE=4-2=2，

∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；

②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，

∴∠BFE=30°，

∴BE=BF=，

∴AE=AB-BE=4-=，

∴t=÷2=或t=(4+)÷2=(舍)；

故答案为：C.

【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).

7．（2023八上·运城期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】平面展开﹣最短路径问题

【解析】【解答】解：沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，

将容器展开：

∵

∴蚂蚁需爬行的最短距离是

故答案为：D

【分析】沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，分三总情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可。

8．（2022八上·柳州期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N.下列结论：①BD=CE；②∠BPE=180°2α；③AP平分∠BPE；④若α=60°，则PE=AP+PD.其中一定正确的结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=α，

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，故①符合题意；

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°-α，

∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，

∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；

如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，

∵△BAD≌△CAE，

∴S△BAD=S△CAE，

∴，且BD=CE，

∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，

∴AP平分∠BPE，故③符合题意；

如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，

∴△AOE≌△APD（SAS），

∴AP=AO，

∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，

∴∠APO=60°，且AP=AO，

∴△APO是等边三角形，

∴AP=PO，

∵PE=PO+OE，

∴PE=AP+PD，故④符合题意.

故答案为：C.

【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE＝∠ACB＋∠ABC＝180°α；由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面积公式可得AH＝AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，由全等三角形的性质得出AO＝AP，证明△APO是等边三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP＋PD，即可求解．

9．（2022八上·德清期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（）

A．6B．4C．8D．6

【答案】C

【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，

由直线yx可知，∠MOA＝60°，

∴∠MOA＝∠OAM＝60°，

∴△OAM是等边三角形，

∴OA＝OM，

∵△APQ是等边三角形，

∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，

∴∠OAQ＝∠MAP，

∴△OAQ≌△MAP（SAS），

∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，

∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，

过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，

此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，

∴∠OBA＝30°，

∴AB＝2OA＝8.

故答案为：C.

【分析】如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，易证△OAM是等边三角形，根据等边三角形的性质得OA＝OM，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，从而利用SAS证明△OAQ≌△MAP，根据全等三角形的性质得∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，从而得出PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，再根据轴对称最值问题，作点O关于直线PM的对称点B，连接AB，根据含30度角直角三角形的性质，求出AB的长即可．

10．（2023八上·下城期末）在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB()

A．若AC=2AB，则∠C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CD

C．若∠B=2∠C，则AC=2ABD．若∠B=2∠C，则S△ABD=2△ACD

【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：由题，∠BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，

A、若AC=2AB，则，

若∠C=30°，BC=2AB，故A选项错误；

B、如图：

若AC=2AB，则，

作AE⊥BC，则，

可得，

∵AD=AB，

∴，

∴，

∴3BD=2CD，故B选项正确；

C、若∠B=2∠C，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∴∠C=30°，∠B=60°，

∴BC=2AB，AC＜2AB，故C选项错误；

D、若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ADB=60°，

∴∠DAC=∠ADB-∠C=30°=∠C，

∴AD=DC=BD，即AD为△ABC的中线，

∴S△ABD=S△ACD，故D选项错误.

故答案为：B.

【分析】A、根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；

B、作AE⊥BC，利用勾股定理及直角三角形面积等积法分别求出BD、CD的长，从而确定BD与CD的关系，然后判断即可；

C、若∠B=2∠C，可求出∠C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；

D、若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，可证△ABD为等边三角形，继而求出AD为△ABC的中线，可得S△ABD=S△ACD，据此判断即可.

二、填空题（每空3分，共21分）

11．（2023八上·杭州期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（只填写序号）。

①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②等腰三角形两腰的高线相等；

③若三条线段a，b，c是三角形的三边，则这三条线段满足a+b>c

④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

⑤全等三角形的面积相等；

【答案】①②③④

【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；真命题与假命题；逆命题

【解析】【解答】①逆命题是，两条直角边的平方和等于斜边的平方是直角三角形，正确，是真命题；

②逆命题是两边的高线相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，理由如下，如图，

，∵CD=BE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；

③逆命题是，如果三条线段满足a+b>c，则三条线段a，b，c是三角形的三边，正确，是真命题；

④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，理由如下，如图，

∵AC=BC，OC=OC，∴△CAO≌△CBO（HL），∴∠AOC=∠BOC，即点C在∠AOB的角平分线上；

⑤逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，错误，为假命题，如等底同高的一个锐角三角形和一个钝角三角形面积相等，但是两个三角形不全等.

故答案为：①②③④.

【分析】①由勾股定理的逆定理即可判断；②根据三角形的面积公式列式即可求得两边相等，则可判断是等腰三角形；③如果三条线段满足a+b>c，则这三条线段可以组成三角形；④利用斜边直角边定理证明三角形全等，则可得出点C在∠AOB的角平分线上；⑤根据等底同高两三角形面积相等，列举一个反例说明即可.

12．（2023八上·石城期末）已知，在△ABC中，∠A＝48°，过△ABC的某个顶点的直线把原三角形分成两个等腰三角形，则△ABC中最小的角为.

【答案】24°或32°或33°

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质

【解析】【解答】在中，，设是钝角，过一个顶点的直线把它分成两个等腰三角形，则，

∴这条直线不能过顶点C，

若BD把△ABC分成两个等腰三角形，则满足条件的有两种情况：

如图(1)，，，则，

，

；

如图（2），，，

，

；

若AD把△ABC分成两个等腰三角形，则满足条件的有一种情况：

如图（3），，且，

，

，

，

而，

，，

，

∴最小角可能为24°或32°或33°，

故答案为24°或32°或33°.

【分析】分类讨论，根据图形和三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可。

13．（2023八上·中山期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是．

【答案】5

【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：如图，

作点B关于射线的对称点，连接、，B'P．

则，，，．

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

在中，，

当P、、C在同一直线上时，取最大值，即为5．

∴的最大值是5．

故答案为：5．

【分析】作点B关于射线的对称点，连接、，B'P．易证是等边三角形，可得，在中，由于，所以当P、、C在同一直线上时，取最大值，即为的长.

14．（2023八上·陆川期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=cm.

【答案】32

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形

【解析】【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，

∵BE=30，DE=2，

∴DM=28，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=30°，

∴NM=14，

∴BN=16，

∴BC=2BN=32，

故答案为：32.

【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得BC=2BN可求解.

15．（2023八上·淇县月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是.

【答案】40°或100°或140°

【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，

∴∠EDB＝20°，

∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，

∴DP＝DE，

①如图，当点P在AB上时，记为P1，

∵DE＝DP1，

∴∠DP1E＝∠AED＝70°，

∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

②如图，当点P在AC上时，有两个点P2、P3符合条件，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD，

过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，

∴DG＝DH，

在Rt△DEG与Rt△DP2H中，

，

∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），

∴∠AP2D＝∠AED＝70°，

∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°=80°，

∴∠EDP2＝140°，

同理证得Rt△DEG≌Rt△DP3H（HL），

∴∠EDG＝∠P3DH，

∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，

故答案为：40°或100°或140°.

【分析】利用三角形外角的性质可求出∠EDB的度数，由△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，可证得DP=DE；①如图，当点P在AB上时，记为P1，利用等腰三角形的性质可得到∠DP1E的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠EDP1的度数；②如图，当点P在AC上时，有两个点P2、P3符合条件，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质可证得DG=DH，利用HL证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，可求出∠AP2D的度数，然后可求出∠EDP2的度数；同理证得Rt△DEG≌Rt△DP3H，然后求出∠EDP3的度数，综上所述可得到符合题意的∠EDP的度数.

16．（2022八上·鄞州期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，BD是∠ABC的角平分线。

（1）则CD=；

（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动，秒种后△EAD是直角三角形

【答案】（1）3

（2）6秒或15/4秒

【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，

在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，

∴AB=，

∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∵S△ABC=S△BCD+S△ABD

∴，即，

∴CD=3；

故答案为：3；

（2）当∠EDA＝90°时，

∵CD＝3，

∴AD＝5，

∵∠C＝∠EDA＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠CBD=∠BDE，

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠CBD=∠ABD，

∴∠ABD=∠BDE，

∴BE=DE，

设BE=DE=x，则AE=10-x，

根据勾股定理得DE2+AD2=AE2，

∴x2+52=（10-x）2，解得x=，

∴此时点E运动的时间为÷1=秒；

当∠DEA＝90°时，则DE＝DC＝3，

∵AD＝5，

∴AE＝4，

∴此时点E运动的时间为：（10-4）÷1＝6秒，

即秒或6秒时△EAD是直角三角形.

故答案为：或6.

【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，首先根据勾股定理算出AB的长，再根据角平分线的性质得CD=DE，进而根据建立方程，求解即可；

（2）当∠EDA＝90°时，首先根据平行线的判定定理得DE∥BC，根据平行线的性质及角平分线的性质得∠ABD=∠BDE，设BE=DE=x，则AE=10-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程，求出DE的长，进而根据路程除以速度等于时间算出答案；当∠DEA＝90°时，则DE＝DC＝3，在Rt△ADE中，直接根据勾股定理算出AE的长，从而可得BE的长，进而根据路程除以速度等于时间算出答案.

三、作图题（共8分）

17．（2023八上·沈阳期中）如图所示，在平面直角坐标系中的三个顶点坐标分别为，，．

（1）作出关于x轴对称的；

（2）的面积为，边上的高为；

（3）在y轴找一点P，使得的周长最小，请画出点P，并直接写出的周长最小值为；

（4）在x轴上找一点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为．

【答案】（1）解：作关于x轴对称的如下图所示：

（2）2；

（3）作出点P如图所示：

（4）作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，即为所求，（0，0）

【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：（2），

，

，

∴；

（3）的周长即为线段长度：，

∴周长最小值即为；

（4）由图可得：点P的坐标为：（0，0）．

【分析】（1）根据轴对称的性质求出点A、B、C的对称点，再连接即可；

（2）利用割补法求出三角形的面积，再利用等面积法即可求出AC边上的高；

（3）连接BA2交y轴于点P，此时三角形ABP的周长为BA2+AB，求解即可；

（4）根据等腰三角形的性质，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P。

四、解答题（共7题，共61分）

18．（2022八上·宝应期中）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）网格中的形状是；

（2）在图1中确定一点D，连接，使与全等但不成轴对称；

（3）在图2中确定一点D，连接，使与成轴对称；

（4）在图3中边上找一个点D，使得它与点与点构成的三角形为等腰三角形．

【答案】（1）直角三角形

（2）解：如图，将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D，连接BD、CD，

根据勾股定理得，，

，，

∴AC=BD，AB=DC，又BC=CB，

∴，且△ABC与△DCB不是轴对称图形，

∴点D是所求点的位置；

（3）解：如图，作点A关于BC的对称点D，连接BD、CD，

根据勾股定理得，，

，，

∴AC=BD，AB=DC，又BC=CB，

∴，且△ABC与△DCB是关于BC成轴对称的图形，

∴点D是所求点的位置；

（4）解：如图所示，将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D'，连接BD'、CD'、AD'，交BC于点D，则D即为所求．

根据勾股定理得，，，

∴AC=BD'，D'A=CB，又AB=BA，

∴，

∴，

∴，

根据勾股定理得，

∴AB=CD'，D'A=CB，又AC=CA，

同理：，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

∴点D是所求点的位置．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称图形；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：（1）根据勾股定理：AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=52=25，

∴AC2+AB2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°；

故答案为：直角三角形；

【分析】（1）先根据方格纸的特点及勾股定理分别表示出AC2、AB2、BC2，进而根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°；

（2）将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D，连接BD、CD，根据勾股定理分别算出AC、AB、BD、DC的长，可得AC=BD，AB=DC，又BC=CB，从而用SSS可判断出△ABC≌△DCB，进而根据轴对称图形的定义可得△ABC与△DCB不是轴对称图形，故点D就是满足条件的点；

（3）如图，作点A关于BC的对称点D，连接BD、CD，根据勾股定理分别算出AC、AB、BD、DC的长，可得AC=BD，AB=DC，又BC=CB，从而用SSS可判断出△ABC≌△DCB，进而根据轴对称图形的定义可得△ABC与△DCB是轴对称图形，故点D就是满足条件的点；

（4）将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D'，连接BD'、CD'、AD'，交BC于点D，根据勾股定理分别算出AC、BD'、D'A的长，可得AC=BD'，D'A=CB，又AB=BA，从而用SSS可判断出△ABC≌△BAD'，得∠ABC=∠BAD'，由等角对等边得DB=DA；由勾股定理算出CD'，可得AB=CD'，D'A=CB，又AC=CA，从而用SSS可判断出△ABC≌△CD'A，得∠ACB=∠CAD'，由等角对等边得DC=DA，从而可得△ABD与△ADC都是等腰三角形，即点D是所求点的位置．

19．（2023八上·南阳月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：

（1）大正方形的面积为；小正方形的面积为；

（2）四个直角三角形的面积和为，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为；

（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是；

（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为.

【答案】（1）；

（2）；

（3）

（4）7.5

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：（1）由题意得：大正方形面积，小正方形面积，

故答案为：，；

（2）由题意得：四个直角三角形的面积和为，

∴根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为，

∴，

故答案为：，；

（3）设这个直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，

由题意得：，，，

∵，

∴，

故答案为：；

（4）如图所示，

∠ACB=90°，AC=5，BC=3，

∴，

∴S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆

.

【分析】（1）观察图形可知大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为c，由此可表示出两个正方形的面积；

（2）四个直角三角形是全等的，两直角边的长分别为a，b，再利用三角形的面积公式可得到四个直角三角形的面积和；再根据大正方形的面积=四个直角三角形的面积和+小正方形的面积，可得到a，b，c之间的数量关系；

（3）设这个直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，利用半圆的面积公式分别表示出S1，S2，S3，再根据a2+b2=c2，可得到S1，S2，S3之间的关系；

（4）利用勾股定理求出AB的长；再根据S阴影部分面积之和=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆，利用半圆的面积公式和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积之和.

20．（2023八上·宁波期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．

（1）请证明图1的结论成立；

（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；

（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE；

（2）解：如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC，

记AD与CE的交点为G，

∵∠AGE＝∠DGO，

∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，

∴∠DOE＝∠DAE＝60°，

∴∠BOC＝60°

（3）解：∴∠A+∠BCD＝180°．理由：

如图3，延长DC至P，使DP＝DB，

∵∠BDC＝60°，

∴△BDP是等边三角形，

∴BD＝BP，∠DBP＝60°，

∵∠ABC＝60°＝∠DBP，

∴∠ABD＝∠CBP，

∵AB＝CB，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴∠BCP＝∠A，

∵∠BCD+∠BCP＝180°，

∴∠A+∠BCD＝180°．

【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证得结论.

（2）利用等边三角形的性质可证得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，由此可推出∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应角相等可得到∠ADB＝∠AEC，再证明∠DOE=∠DAE，可求出∠DOE的度数，利用对顶角相等，可求出结果.

（3）延长DC至P，使DP＝DB，可证得△BDP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BD＝BP，∠DBP＝60°，由此可推出∠ABD=∠CBP，利用SAS证明△ABD≌△CBP，利用全等三角形的性质可得到∠BCP=∠A，利用∠BCD+∠BCP＝180°，可证得结论.

21．（2022八上·潼南期中）如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°

（1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数

（2）当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.

（3）如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积.

【答案】（1）解：∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

（2）解：，理由如下：

在AB上截取，连接ME，

∵是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：（3）连接GE，

∵AE平分，

∴，

∵，

∴是等腰三角形，

∴，

∵AE是GD的垂直平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

过点C作交于点N，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

【分析】（1）由同角的补角相等可得∠CAE=∠AEC，由等角对等边可得AC=CE，结合已知并根据角的构成可求解；

（2）在AB上截取AM=AD，结合题意用边角边可证，则∠AME=∠ADE，∠AEM=∠AED，由角的构成和等式的性质可得∠ADC=∠BME；由等边对等角得∠AEC=∠CAE，结合图形，由角得构成和三角形外角的性质得∠BEM=∠C，结合题意用角角边可证，则BM=AD，于是可得AB=2AD；

（3）连接GE，由题意易证AG=AD，由线段得垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得GE=ED，由全等三角形的性质得GE=CD=ED，过点C作CN⊥AE交于点N，易得，然后根据图形的构成可求解.

22．（2022八上·杭州期中）在中，，是射线上的一点，过点分别作于点，于点．

（1）如图1，若是边上的中点，求证：．

（2）过点作于点．

①如图2，若是边上的任意一点，求证：；

②若点是射线上一点，，，，求的长度．

【答案】（1）证明：如图1中，连接．

，，

平分，

，，

；

（2）解：①证明：如图2，连接．

则的面积的面积的面积，

即，

，

；

②如图3，连接，过点作于点．

的面积的面积的面积，

，

，

，

，，，

，

，

，

，

．

【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF；

（2）①连接AD，根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，结合三角形的面积计算公式即可得出结论；②连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，根据△ABC的面积=△ABD的面积-△ACD的面积，结合三角形的面积计算公式即可得出DE-DF=BG，根据等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，利用勾股定理算出AH，再利用等面积法算出BG，最后根据ED=DF+BG即可算出答案.

23．（2023八上·南充期末）

（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，.求证：.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系.

【答案】（1）解：方法1：在上截，连接，如图.

平分，

.

在和中，，

，

，.

，.

.

，

.

方法2：延长到点N，使得，连接，如图.

平分，

.

在和中，，

.

，.

，

.

，

，

.

（2）解：、、之间的数量关系为：.

（或者：，）.

延长到点P，使，连接，如图2所示.

由（1）可知，

.

为等边三角形.

，.

，

.

.

，

为等边三角形.

，.

，

，

即.

在和中，，

.

，

，

.

（3）

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：（3）AB，CE，BC之间的数量关系为：.

（或者：，）

连接BD，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.

，.

.

在和中，，

，

，.

在和中，DF=DE，AF=CE，

，

.

，

，

.

【分析】（1）方法一：在BC上截取BM=BA，连接DM，利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，由SAS证明△ABD≌△MBD，利用全等三角形的性质得∠A=∠BMD，AD=MD；由此可推出DM=DC，即可证得结论；方法二：延长BA至点N，使BN=BC，连接DN，由角平分线定义得∠NBD=∠CBD，利用SAS证明△NBD≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠C=∠BND，ND=CD；利用补角的性质可得∠BND=∠NAD，利用等角对等边可得到DN=DA，即可证得结论；

（2）延长CB到点P，使BP=BC，连接AP，易证△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AC=AD，∠ADC=60°，再求出∠ABC，∠PBA的度数；再证明△ABP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAB=60°，AB=AP，可推出∠PAC=∠BAD；然后利用SAS证明△PAC≌△BAD，利用全等三角形的性质可推出PC=BD，由此可得到AB，BC，BD之间的数量关系；

（3）连接BD，过点D作DF⊥AC于点F，由补角的性质得∠FAD=∠C，利用AAS证明△DFA≌△DEC，利用全等三角形的性质可得到利用HL证明△BDF≌△BDE，利用全等三角形的性质可推出BF=BE，由此可推出BC=BA+2CE，由此可证得结论.

24．（2022八上·余姚期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围．

方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．

（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；

（2）【问题解决】

如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：

A．∠ACD＝∠BCDB．CE＝2CDC．∠BCD＝∠BCED．CD＝CB

直接写出所有正确选项的序号是．

（3）【问题拓展】

如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC．

【答案】（1）解：如图①中，延长AD至点E，使ED＝AD．

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC＝BE＝3，

∵AB＝5，

∴5﹣3＜AE＜5+3，

∴2＜2AD＜＜8，

∴1＜AD＜4；

（2）B、C

（3）证明：如图③中，延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ．

同法可证△BEO≌△DEJ，

∴∠BOE＝∠J，OB＝DJ，

∴OB∥DJ，

∴∠ODJ+∠BOD＝180°，

∵∠AOB与∠COD互补，

∴∠BOD+∠AOC＝180°，

∴∠AOC＝∠ODJ，

∵OA＝OB，OC＝OD，

∴OA＝DJ，

在△AOC和△JDO中，

，

∴△AOC≌△JDO（SAS），

∴AC＝OJ，

∴AC＝2OE．

【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：（2）∵CD是△ACB的中线，

∴BD=AD，

当AC=BC时∠ACD=∠BCD，故A错误；

延长CD，使DF=CD，

∴CF=2CD，

同理可证△ADC≌△BDF，

∴AC=BF=AB，∠A=∠ABF，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵CB是△ACE的中线，

∴BE=BF=AB，

∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠CBF=∠ABC+∠ABF，

∴∠CBE=∠CBF，

在△CBE和△CBF中，

∴△CBE≌△CBF（SAS）

∴CE=CF，∠BCD=∠BCE

∴CE=2CD，故B，C正确；

∴CD≠CB，故D错误；

故答案为：B，C

【分析】（1）延长AD至点E，使ED＝AD，利用SAS可证得△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可求出BE的长，利用三角形的三边关系定理，可求出AD的取值范围.

（2）利用三角形的中线的定义可证得BD=AD，若∠ACD=∠BCD，则必须满足AC=BC，可对A作出判断；延长CD，使DF=CD，可得到CF=2CD；同理可证△ADC≌△BDF，利用全等三角形的性质可证得AC=BF=AB，∠A=∠ABF，利用等边对等角可得到∠ACB=∠ABC，利用三角形中线的定义可得到BE=BF=AB，利用三角形的外角的性质去证明∠CBE=∠CBF，利用SAS证明△CBE≌△CBF，利用全等三角形的性质可得到CE=CF，∠BCD=∠BCE，可对C作出判断；同时可证得CE=2CD，CD≠CB，可对B，D作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

（3）延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ，同理可证△BEO≌△DEJ，利用全等三角形的性质可证得∠BOE＝∠J，OB＝DJ，可推出OB∥DJ，利用平行线的性质可得到∠ODJ+∠BOD＝180°，再利用补角的性质可证得∠AOC＝∠ODJ，同时可证得OA=DJ；再利用SAS证明△AOC≌△JDO，利用全等三角形的性质可得到AC=OJ，由此可证得结论.

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2023年浙教版数学八年级上册第二章特殊三角形章末检测（B卷）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2022八上·北京市期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（）

A．2B．4C．6D．8

2．（2023八上·无锡月考）如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A．84°B．88°C．90°D．96°

3．（2023八上·南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为()

A．40°B．35°C．60°D．70°

4．（2023八上·克东期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．（2022八上·拱墅月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

6．（2023八上·宁波期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为().

A．B．1

C．或1或D．或1或

7．（2023八上·运城期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A．B．C．D．

8．（2022八上·柳州期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N.下列结论：①BD=CE；②∠BPE=180°2α；③AP平分∠BPE；④若α=60°，则PE=AP+PD.其中一定正确的结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

9．（2022八上·德清期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（）

A．6B．4C．8D．6

10．（2023八上·下城期末）在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB()

A．若AC=2AB，则∠C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CD

C．若∠B=2∠C，则AC=2ABD．若∠B=2∠C，则S△ABD=2△ACD

二、填空题（每空3分，共21分）

11．（2023八上·杭州期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（只填写序号）。

①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②等腰三角形两腰的高线相等；

③若三条线段a，b，c是三角形的三边，则这三条线段满足a+b>c

④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

⑤全等三角形的面积相等；

12．（2023八上·石城期末）已知，在△ABC中，∠A＝48°，过△ABC的某个顶点的直线把原三角形分成两个等腰三角形，则△ABC中最小的角为.

13．（2023八上·中山期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是．

14．（2023八上·陆川期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=cm.

15．（2023八上·淇县月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是.

16．（2022八上·鄞州期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，BD是∠ABC的角平分线。

（1）则CD=；

（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动，秒种后△EAD是直角三角形

三、作图题（共8分）

17．（2023八上·沈阳期中）如图所示，在平面直角坐标系中的三个顶点坐标分别为，，．

（1）作出关于x轴对称的；

（2）的面积为，边上的高为；

（3）在y轴找一点P，使得的周长最小，请画出点P，并直接写出的周长最小值为；

（4）在x轴上找一点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为．

四、解答题（共7题，共61分）

18．（2022八上·宝应期中）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）网格中的形状是；

（2）在图1中确定一点D，连接，使与全等但不成轴对称；

（3）在图2中确定一点D，连接，使与成轴对称；

（4）在图3中边上找一个点D，使得它与点与点构成的三角形为等腰三角形．

19．（2023八上·南阳月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：

（1）大正方形的面积为；小正方形的面积为；

（2）四个直角三角形的面积和为，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为；

（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是；

（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为.

20．（2023八上·宁波期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．

（1）请证明图1的结论成立；

（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；

（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

21．（2022八上·潼南期中）如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°

（1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数

（2）当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.

（3）如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积.

22．（2022八上·杭州期中）在中，，是射线上的一点，过点分别作于点，于点．

（1）如图1，若是边上的中点，求证：．

（2）过点作于点．

①如图2，若是边上的任意一点，求证：；

②若点是射线上一点，，，，求的长度．

23．（2023八上·南充期末）

（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，.求证：.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系.

24．（2022八上·余姚期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围．

方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．

（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；

（2）【问题解决】

如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：

A．∠ACD＝∠BCDB．CE＝2CDC．∠BCD＝∠BCED．CD＝CB

直接写出所有正确选项的序号是．

（3）【问题拓展】

如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：满足条件的点C有4个．

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义求解即可。

2．【答案】B

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图示，作关于和的对称点，A"，连接A'A"，交于，交于，则A'A"即为的周长最小值.

延长，作于点，

，

，

，

，，

且，，

，

故答案为：B.

【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于BC和ED的对称点A',A",即可得出∠AA'M+∠A"=44°,进而得出∠ANN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A")即可得出答案.

3．【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，

∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，

∴AC垂直平分BB'，

∴AB=AB'，

∴∠BAC=∠B'AC，

∵AB=AD，

∴AD=AB'，

又∵AE⊥CD，

∴∠DAE=∠B'AE，

∴∠CAE=∠BAD=55°，

又∵∠AEC=90°，

∴∠ACB=∠ACB'=35°，

故答案为：B.

【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE=∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.

4．【答案】D

【知识点】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：如图所示，

①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；

②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；

③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，

综上，B点总共有4个，

故答案为：D．

【分析】分三种情况：①当时，②当时③当时。据此分别求解即可.

5．【答案】B

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵BE是△ABC的中线，

∴AE＝CE，

∴S△ABE＝S△BCE，所以①正确；

∵∠BAC＝90°，

∴∠AFC+∠ACF＝90°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DGC+∠GCD＝90°，

∵CF平分∠ACB，

∴∠ACF＝∠GCD，

∴∠AFC＝∠DGC，

∵∠AGF＝∠DGC，

∴∠AFC＝∠AGF，所以②正确；

连接DE，如图，

∵DE为Rt△ADC的斜边AC的中线，

∴DE＝EC＝AE，

∴∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，

∵∠EDC＝∠EBD+∠DEB，

∴只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，

∵条件中不能确定AC＝2BD，

∴不能确定DB＝DE，

∴不能确定∠HCD＝EBD，

∴HB＝HC不成立，所以③错误；

∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠BAD＝∠ACD，

∴∠BAD＝2∠ACF，所以④正确.

故答案为：B.

【分析】根据中线的概念可得AE＝CE，然后根据等底同高的三角形的面积相等可判断①；根据角平分线的概念可得∠ACF＝∠GCD，由等角的余角相等可得∠AFC＝∠DGC，由对顶角的性质可得∠AGF＝∠DGC，据此可判断②；连接DE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE＝EC＝AE，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，据此判断③；根据同角的余角相等可得∠BAD＝∠ACD，由角平分线的概念可得∠ACD=2∠ACF，据此判断④.

6．【答案】C

【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，

∴∠A=30°，

∴AB=2BC=4cm.

∵F是AB的中点，

∴BF=AF=cm.

①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，

∴∠BEF=30°，

∴BE=2BF=2，

∴AE=AB-BE=4-2=2，

∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；

②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，

∴∠BFE=30°，

∴BE=BF=，

∴AE=AB-BE=4-=，

∴t=÷2=或t=(4+)÷2=(舍)；

故答案为：C.

【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).

7．【答案】D

【知识点】平面展开﹣最短路径问题

【解析】【解答】解：沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，

将容器展开：

∵

∴蚂蚁需爬行的最短距离是

故答案为：D

【分析】沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，分三总情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可。

8．【答案】C

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=α，

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，故①符合题意；

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°-α，

∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，

∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；

如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，

∵△BAD≌△CAE，

∴S△BAD=S△CAE，

∴，且BD=CE，

∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，

∴AP平分∠BPE，故③符合题意；

如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，

∴△AOE≌△APD（SAS），

∴AP=AO，

∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，

∴∠APO=60°，且AP=AO，

∴△APO是等边三角形，

∴AP=PO，

∵PE=PO+OE，

∴PE=AP+PD，故④符合题意.

故答案为：C.

【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE＝∠ACB＋∠ABC＝180°α；由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面积公式可得AH＝AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，由全等三角形的性质得出AO＝AP，证明△APO是等边三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP＋PD，即可求解．

9．【答案】C

【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，

由直线yx可知，∠MOA＝60°，

∴∠MOA＝∠OAM＝60°，

∴△OAM是等边三角形，

∴OA＝OM，

∵△APQ是等边三角形，

∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，

∴∠OAQ＝∠MAP，

∴△OAQ≌△MAP（SAS），

∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，

∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，

过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，

此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，

∴∠OBA＝30°，

∴AB＝2OA＝8.

故答案为：C.

【分析】如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，易证△OAM是等边三角形，根据等边三角形的性质得OA＝OM，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，从而利用SAS证明△OAQ≌△MAP，根据全等三角形的性质得∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，从而得出PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，再根据轴对称最值问题，作点O关于直线PM的对称点B，连接AB，根据含30度角直角三角形的性质，求出AB的长即可．

10．【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：由题，∠BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，

A、若AC=2AB，则，

若∠C=30°，BC=2AB，故A选项错误；

B、如图：

若AC=2AB，则，

作AE⊥BC，则，

可得，

∵AD=AB，

∴，

∴，

∴3BD=2CD，故B选项正确；

C、若∠B=2∠C，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∴∠C=30°，∠B=60°，

∴BC=2AB，AC＜2AB，故C选项错误；

D、若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ADB=60°，

∴∠DAC=∠ADB-∠C=30°=∠C，

∴AD=DC=BD，即AD为△ABC的中线，

∴S△ABD=S△ACD，故D选项错误.

故答案为：B.

【分析】A、根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；

B、作AE⊥BC，利用勾股定理及直角三角形面积等积法分别求出BD、CD的长，从而确定BD与CD的关系，然后判断即可；

C、若∠B=2∠C，可求出∠C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；

D、若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，可证△ABD为等边三角形，继而求出AD为△ABC的中线，可得S△ABD=S△ACD，据此判断即可.

11．【答案】①②③④

【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；真命题与假命题；逆命题

【解析】【解答】①逆命题是，两条直角边的平方和等于斜边的平方是直角三角形，正确，是真命题；

②逆命题是两边的高线相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，理由如下，如图，

，∵CD=BE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；

③逆命题是，如果三条线段满足a+b>c，则三条线段a，b，c是三角形的三边，正确，是真命题；

④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，理由如下，如图，

∵AC=BC，OC=OC，∴△CAO≌△CBO（HL），∴∠AOC=∠BOC，即点C在∠AOB的角平分线上；

⑤逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，错误，为假命题，如等底同高的一个锐角三角形和一个钝角三角形面积相等，但是两个三角形不全等.

故答案为：①②③④.

【分析】①由勾股定理的逆定理即可判断；②根据三角形的面积公式列式即可求得两边相等，则可判断是等腰三角形；③如果三条线段满足a+b>c，则这三条线段可以组成三角形；④利用斜边直角边定理证明三角形全等，则可得出点C在∠AOB的角平分线上；⑤根据等底同高两三角形面积相等，列举一个反例说明即可.

12．【答案】24°或32°或33