【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版） 共定点等边三角形的六大结论及应用（解析版）

共定点等边三角形的六大结论及应用六大结论基本模型：如图，△ABC和△CDE是共顶点（C）三角形，则有以下六大结论.结论1：△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE结论2：∠AOB=60°结论3：△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC结论4：△PCQ是等边三角形结论5：∴结论6：点C在∠AOE的平分线上1．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解析】【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；由△ACD≌△BCE，可得∠CAP=∠CBQ，可得

故⑤正确，角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ=∠ACB=60°判定两线，结论②正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；即正确结论共6个．【详解】解：如图1所示：∵△ABC和△CDE是正三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴结论①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，

故⑤正确，又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=60°，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC，故③正确，∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠CPQ=∠ACB=60°，∴，故②正确，若DE=DP，∵DC=DE，∴DP=DC，∴∠PCD=∠DPC，又∵∠PCD=60°，∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，∴结论④错误；过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点，如图2所示：∵CM⊥AD，CN⊥BE，∴CM=CN，又∵OC在∠AOE的内部，∴点C在∠AOE的平分线上，∴结论⑦正确；综合所述共有6个结论正确．故选：D．【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．2．已知如图是锐角三角形，分别以边AB、AC为边向外作和，和均为等边三角形，且BE和CD交于点F，连接AF．（1）求证：；（2）求出的度数；（3）求证：．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解析】【分析】（1）由和均为等边三角形，可得边角关系，由SAS即可证明；（2）由可得点A、F、C、E四点共圆，再由圆的性质即可求解；（3）由点A、F、C、E四点共圆，可得，再由内角和为可得，由点A、F、B、D四点共圆，同理可得，从而可得，故可得．【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，∴，，，∴，即，∴在三角形和中，∴；（2）∵，∴，∴点A、F、C、E四点共圆，∴，∵均为等边三角形，∴，∴；（3）由（2）点A、F、C、E四点共圆，点A、F、B、D四点共圆，∴，在中，，∴，即，∵，∴，同理可得，∵，，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，四点共圆的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想．3．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求∠DOE的度数；(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．【答案】(1)∠DOE的度数是60°(2)△MNC是等边三角形，理由见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，＝∠BEC＋60°＋∠BED，＝∠CED＋60°，＝60°＋60°，＝120°，∴∠AOE=120°，∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)△MNC是等边三角形，理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．(3)连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE，垂足为H．∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，∴，∴CG＝CH，∵CG⊥AD，CH⊥BE，∴OC是∠AOE的平分线．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．4．如图，已知△CAD与△CEB都是等边三角形，BD、EA的延长线相交于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB．（2）求∠F的度数．（3）若AD⊥BD，请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CB=CE，CD=CA，∠BCE=∠DCA=60°，由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）设BC与EF相交于G，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）根据垂直的定义得到∠ADF=90°，求得∠DAF=30°，根据直角三角形的性质得到AF=2DF，根据全等三角形的性质得到AE=BD，于是得到结论．【详解】（1）∵△CAD与△CEB都是等边三角形，∴CB＝CE，CD＝CA，∠BCE＝∠DCA＝60°，∴∠BCD＝∠ECA，∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）设BC与EF相交于G，由（1）可知△ACE≌△DCB，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°，而∠BGF＝∠AGC，∴∠F＝∠BCE＝60°；（3）EF＝BD+2DF，理由如下：∵AD⊥BD，∴∠ADF＝90°，∵∠F＝60°，∴∠DAF＝30°，∴AF＝2DF，∵△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，∴EF＝AE+AF＝BD+2DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，证明：△ACE≌△DCB；（2）①如图1，若，则=________；②如图2，若，则______；（用含的式子表示）（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3，试探究与的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）120°，180°-β；（3）∠AFB=180°-α，证明见解析．【解析】【分析】（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC），代入求出即可得出①②的结论；（3）由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得∠AEC=∠DBC，由三角形内角和定理可求解．【详解】解：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中∵，∴△ACE≌△DCB；（2）①∵∠ACD=60°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=60°，∴∠AFB=180°-60°=120°故答案为：120；②当∠ACD=β时，∠AFB=180°-β，理由是：∵∠ACD=β，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=β，∴∠AFB=180°-（∠CAE+∠DBC）=180°-β；故答案为：180°-β．（3）∠AFB=180°-α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA，如下图，∵∠FGE=∠CGB，∴∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题．要熟练掌握全等三角形的判定和性质定理．6．如图①，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）当点D在线段AM上时（如图①），则ADBE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=度；（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图②），直线BE与直线AM的交点为O，求∠AOB的度数；（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时，直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB的度数是否发生变化？若变化，请求出∠AOB的度数，若不变，请说明理由．【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不变，见解析【解析】【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，则AD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，进而得到∠AOB的度数；（3）当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE就可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM=∠BAC，∴∠CAM=30°，故答案为：=，30；（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠DCB，∠BCE=∠DCE+∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）不变，理由如下：∵点D在线段MA的延长线上，且△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD，同理可得：∠CAM=30°，∴∠CBE=∠CAD=150°，∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，∴∠BOA=90°-30°=60°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．7．已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F．（1）如图①，试说明：；（2）如图①，若，则________°；如图②，若，则________°；如图③，若，则________°；（3）如图④，若，求的值（用含的代数式表示）；（4）若A、B、C三点不在同一直线上，线段与线段交于点C（交点F至少在、中的一条线），如图⑤，若，试判断与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）120，90，60；（3）；（4），见解析【解析】【分析】（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；（3）根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可．（4）知道，得到，证明即可求解．【详解】解：（1），，，在和中，，，（2）解：∵∠ACD=60°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=60°，∴∠AFB=180°-60°=120°；当∠ACD=90°时，∵∠ACD=90°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=90°，∴∠AFB=180°-90°=90°；同理：∠ACD=120°时∠AFB=60°故答案为：120，90，60（3）由（1）可知，，故答案为：（4），理由如下：，，，在和中，，，，即．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．8．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．当点A位于______时，线段AC的长取得最大值，最大值为______．（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1．如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出BE长的最大值．【答案】（1）CB的延长线，a+b；（2）①DC=BE，理由见解析；②4；（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；【详解】解：（1）由题意可知，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为AB+BC，即a+b，故答案为：CB的延长线，a+b；（2）①DC=BE，理由如下：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴DC=BE；②线段BE长的最大值是4，由（1）得，点D在CB的延长线上时，CD最大，最大值为DB+BC=AB+BC=4，∵△CAD≌△EAB，∴DC=BE，∴线段BE长的最大值为4．9．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)∠BAC=60°，理由见解析【解析】【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，由(1)可知：∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC的度数为60°，理由如下：在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP(SAS)，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．10．如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接．以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接．（1）求证：；（2）若的值最小，则称点M为的费马点．若点M为的费马点，求此时的度数；（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．【答案】（1）见解析；（2）：；；（3）见解析【解析】【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB（2）连接MN，由（1）的结论证明ΔBMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数；（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为△ABC的费马点．【详解】解：（1）证明：∵为等边三角形，∴．而，∴．在与中，∴．（2）连接．由（1）知，．∵，∴为等边三角形．∴．∴．∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小．此时，：；．（3）如图2，分别以的，为一边向外作等边和等边，连接，相交于M，则点M即为的费马点，由（2）知，的费马点在线段上，同理也在线段上．因此线段与的交点即为的费马点．（方法不唯一，正确即可）【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是°；（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是°；（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是°．【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；【解析】【分析】（1）根据题意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，从而得；通过证明，得；通过证明，得，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；（2）结合题意，通过证明为等边三角形，得；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；（3）同理，通过证明为等边三角形，得；通过证明，得；根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；（4）根据题意，通过证明为等边三角形，推导得，通过证明，得，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60°∴，，∴∵BA＝BC，BD＝BE和中∴∴和中∴∴∴为等边三角形；（2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°,BA＝BC∴为等边三角形；∴根据题意，AE和CD相交于点O∵∴∵∴∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：；（3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°,BA＝BC∴为等边三角形；∴∵，，∠ABC＝∠DBE＝