大学物理常用高数基础知识课件

补高等数学：

矢量（向量）代数

（同济大学《高等数学》第五版第7章第一、二节）一、矢量（向量）的概念及其表示

1.标量与矢量（向量）

代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、功、势能……）既有大小又有方向（力、速度、加速度、力矩、动量……）标量算术量（质量、时间间隔、动能……）矢量：补高等数学：矢量（向量）代数

（同济大学《高等数学》第2.矢量的表示（1）图示：有（方）向线段：长度是矢量的大小箭头方向是矢量的方向（3）矢量的平行：a//b（箭头指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：

——大小、方向（含指向）都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）2.矢量的表示（1）图示：有（方）向线段：长度是矢量的大小箭3.矢量的模：4.单位矢量：，仅用来表示方向。所以：注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的单位矢量分别为5.矢量的坐标分解式（分量式）矢径（向径：从原点出发的矢量）一般地：其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而注意：分量是代数量（可正可负）！恒为正所以，矢径或其末端的点P都可以用三个坐标（x，y，z）来表示.则称分矢量（分向量）3.矢量的模：4.单位矢量：，仅用来表示方向。注：空间直由

若P点（或矢径）在YOZ平面上，则x=0；若P点（或矢径）在ZOX平面上，则y=0；

若P点（或矢径）在XOY平面上，则z=0。

若P点（或矢径）在x轴上，则y=z=0；

若P点（或矢径）在y轴上，则x=z=0；

若P点（或矢径）在z轴上，则x=y=0。

若P点为原点，则x=y=z=0或P（x，y，z）可知：由若P点（或矢径）在YOZ平面上6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向大小：矢径的大小：一般地：方向：方向角

、

、

或方向余弦：7.已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向大小：矢径的大小：一般地二、矢量的加减法1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3）2.矢量相加的三角形法则（见图7-2）3.多个矢量相加的多边形法则（见图7-5）5.矢量的减法因为：由矢量相加的三角形法则可得：即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。4.矢量的加法所满足的运算规律（1）交换律：（2）结合律：二、矢量的加减法1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3）26.矢量加减的坐标表示式6.矢量加减的坐标表示式三、矢量与数量的乘法1.定义：模（大小）：方向当λ>0时（可视为）方向与相同当λ

<0时（可视为）方向与相反2.满足的运算规律（1）与另一个数量相乘的结合律：3.矢量与数量相乘的坐标表示式（2）分配律：三、矢量与数量的乘法1.定义：模（大小）：方向当λ>0时（四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：一般地：θ2.两个推论：（1）（2）若两非零矢量，则反之，若，则必有注意；“点”不能掉！四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）1.定义：引入3.标量积满足的运算规律（1）交换律：（2）分配律：（3）满足一定条件下的结合律（略）4.标量积的坐标（分量）表示式3.标量积满足的运算规律（1）交换律：（2）分配律：（3）满一般地：大小：方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）1.定义：如力矩：大小：力矩是矢量，方向沿转轴，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。注意；“×”不能掉！抽象出矢量积：大小：方向见上d

一般地：大小：方向：垂直于所决定的平面，2.两个推论：（1）（2）若两个非零矢量，则：反之，若，则必有：3.满足或不满足的运算规律（1）不满足交换律，而是：（2）满足分配律：（3）满足如下的结合律：2.两个推论：（1）（2）若两个非零矢量，4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法或4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法或5.矢量积（大小）的几何意义以为邻边的平行四边形的面积。作业：﹡阅读《高等数学》P289—307﹡整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）5.矢量积（大小）的几何意义以为邻边的平行复习：标量积和矢量积标量积满足交换律：大小：方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。矢量积不满足交换律，而是：标量积：矢量积：复习：标量积和矢量积标量积满足交换律：大小：方向：垂直于微积分

（《高等数学》第二章第一、二、三、五节；

第四章第一、五节；第五章第一、二节）第一节导数与微分一、导数的概念

实例：直线运动的速度直线取为s轴，则质点在任一时刻t的位置s

（即动点的坐标）是时间t的函数，记为：如匀速直线运动：若设对匀加速直线运动：若设0s则有则有微积分

（《高等数学》第二章第一、二、三、五节；下面求某一时刻t0的（瞬时）速度匀速运动：瞬时速度等于平均速度非匀速运动：

t0到t

时间段的平均速度：0st0ts0欲求t0的瞬时速度，可令t接近于t0，则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度。即称为s对t的导数即：瞬时速度等于质点的位置（坐标）对时间的导数一般地，若y是x的函数，y

对x的导数：下面求某一时刻t0的（瞬时）速度匀速运动：瞬时速度等于平均速注：（1）在某一个点的导数记为：（2）导数的意义：函数随自变量的变化率。二、常用的导数公式：注：（1）在某一个点的导数记为：（2）导数的意义：函数随自变三、函数的和、差、积、商的导数三、函数的和、差、积、商的导数四、复合函数的求导法则例如：作简谐振动的质点的位置x是时间t的函数：四、复合函数的求导法则例如：作简谐振动的质点的位置x是时例1求匀速直线运动的速度：若设求匀加速直线运动的速度：若设则：则有0sts0所以速度：例2所以速度：例1求匀速直线运动的速度：求匀加速直线运动的速度：则：则有0五、高阶导数例如：直线运动的速度是时间的导数而加速度又是速度随时间是变化率即导数，所以可得：或这种导数的导数称为二阶导数。一般地，y对x的二阶导数为：类似地，可定义三阶、四阶…导数，统称高阶导数。例：匀速直线运动加速度五、高阶导数例如：直线运动的速度是时间的导数而加速度又是速度又如，匀加速直线运动：例1：例2：又如，匀加速直线运动：例1：例2：六、微分1.微分的概念：dy、dx（以及前面的ds、dt）都叫做微分。所以，也称微商（二微分之商）ll'dlll'dl<0冷缩：注：物理上也常指一个量（分成无限多份）其中（无限小的）一份：lLdl微分的含义：微小（无限小）增量。如热胀：六、微分1.微分的概念：dy、dx（以及前面的ds、dt）都2.微分和导数的几何意义dx、dy分别是曲线上某点x、y坐标的微小增量；而导数是曲线这一点处切线的斜率。3.函数的微分公式（等于导数公式乘以自变量的微分）（见P115—116）4.微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函数的微分（与导数类似，见P116）（见P115图2-11）2.微分和导数的几何意义dx、dy分别是曲线上某点x、yP117例3：例4：例5：P117例3：例4：例5：第二节积分一、不定积分的概念原函数：设F（x）的导（函）数是f（x），即那么，F（x）就称为f（x）的原函数。例如即积分是已知导（函）数求原函数，而求导（微分）是已知原函数求导（函）数，所以积分是微分的逆运算。所以，定义不定积分：+C第二节积分一、不定积分的概念那么，F（x）就称为f（x例1：例2：例1：例2：例3：求作匀速直线（取为s轴，且t=0时，

s=s

0）的质点在任意时刻t的位置。解：即s是v的原函数，所以：代入上式，得C=s0，所以例3：求作匀速直线（取为s轴，且t=0时，解：即s是v的原二、常用积分表（详见P186）例：二、常用积分表（详见P186）例：三、定积分

1.定积分的意义求连续分布的无限多个无限小部分之和。几何意义：求曲边梯形的面积（即曲线所围成的图形的面积）。总面积：n越多，小面积之和越接近曲边梯形的面积，当，量变到质变：求法：分成很多个（n个）小矩形，任一小矩形的面积Oxyab称积分表达式，a称积分的下限，b称积分的上限。其中三、定积分

1.定积分的意义求连续分布的无限多个无限小部分之又如：求变速直线运动（v=v（t））的路程：

将路程分成很多小段，每一小段内可近似看成匀速：0s令求极限，即得总路程为：又如：求变速直线运动（v=v（t））的路程：

将路程分成2.定积分的计算——牛顿-莱布尼茨公式若f（x）的一个原函数是F（x），则定积分：例1：例2：例3：2.定积分的计算——牛顿-莱布尼茨公式若f（x）的一个原函P238例5求汽车制动距离。已知：解：匀变速P238例5求汽车制动距离。已知：解：匀变速四、积分的性质（常数可提出积分号外）（交换上下限变号）四、积分的性质（常数可提出积分号外）（交换上下限变号）（6）平均值的求法——定积分中值定理如平均速度：一般地，函数f（x）在区间[a，b]上的平均值：所以，平均值的求法：注意：一般