材料力学之能量法三

能量法

Energymethod

一概述（Generalintroduction）

能量法:固体力学中，把一个和功、能的概念有关的理论和方法统称为能量法

同静力学方法平行的一种方法恒力功:二功、能（应变能或变形能）1功:力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功变形功:在线弹性范围内广义力

广义位移

轴向拉伸时外力做功扭转时外力做功弯曲时外力做功统一表示为2能（应变能或变形能）能是一种可对物体做功的本领应变能密度：单位体积内积蓄的应变能若微元各边分别为若整个体积内相同根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能

等于外力在物体变形过程中所做的功W。

图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度l以及直径d均已知。试计算轴在加载过程中所积蓄的应变能。

例题

利用应变能密度三种方法利用外力功利用内力功三卡氏第一定理为最后位移的函数卡氏第一定理应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。由于改变了，外力功相应改变量为图示胆在线猾弹性弓范围撇内工榆作的她一端催固定椒、另百一端年自由丢的圆交轴，崇在自疏由端覆截面秤上承哭受扭婚转力催偶矩M1。材挡料的冈切变削模量G和轴耽的长盖度l以及归直径d均已垂知。食试计存算轴惜两端看的相院对扭没转角括。

例题

四刺余锡功、脉余能衔及卡忆氏第肌二定段理与外力功之和等于矩形面积与余燃功相浓应的梳能称抗为余党能线弹牵性范锡围内继外力呆功等奖于余像功，以能等以于余撤能。试计算图示结构在荷载作用下的余能，结构中两杆的长度均为，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。解：徐由结述点C的平些衡方婶程，武可得杠两杆梢的轴殖力为于是偏两杆跳横截冰面上宗的应先力为由于火轴向筹拉伸叹杆内恰各点勺应变乎状态衡均相手同，童因此睁，结山构在梳荷载屑作用窑下的宁余能脆为由非初线性轧弹性华材料孝的应阳力应很变关感系曲我线可倒得余能杜密度怒为

例题

卡氏堡第二僵定理表明余能为一系列荷载的函数由于改变了，外力余功相应改变量为余能摘定理杆件扣的余外能对裙于杆仆件上较某一学荷载忌的变串化率故就等跃于与夏该荷晶载相摆应的饮位移要。在线性弹性束范围英内卡氏批第二卫定理线弹她性范带围内，杆纠件的绘应变私能对枪于杆晨件上粥某一骡荷载伏的变熟化率鬼，就蕉等于格与该拾荷载锐相应劲的位救移。试计桨算图宇示结织构在柱荷载趟作用敢下C点的吹竖向夹位移累，结萌构中责两杆缝的长度扯均为喉，横娘截面此面积桃均为A材料距在单虫轴拉乐伸时这的应燃力—应变票曲线乡丰如图蓄所示灯。解：府由结伐点C的平眼衡方铜程，挠可得闲两杆掘的轴判力为于是饲两杆椒横截纸面上委的应豆力为由于喇轴向磨拉伸蔬杆内烂各点方应变垂状态特均相传同，恳因此领，结龙构在复荷载豪作用柜下的占余能环为由非拐线性卸弹性演材料挂的应讽力应睡变关煎系曲歌线可想得余能食密度宜为

例题

试求焰简支伴梁Fp处的取挠度扩，已狗知梁俊的抗蹦弯刚逗度为EI。本题闷也可垫用功摩能原技理（朽实功挡原理婚）求如解，责但这粉种方迈法有冠它的偷局限土性，及即只阵能求异解单兼个力绞作用车时沿纲其方迫向的惨位移猜。

例题

外伸否梁AB愚C的自曲由端甩作用戏有铅躬直荷监载FP，求（1）C端挠搅度（2）C端转由角

例题

解：（1）C端挠垂度支座谦反力拔分别逆为内力蓝为AB段BC段总应愈变能谢为由功绝能原方理或卡氏地第二鲁定理扣可得五贸能量盆法解挨超静骄定1.简单欠超静识定问腰题及灭其解逐法未知迎力个孝数等翅于独累立的课平衡厉方程张数目,则仅竭由平遥衡方狸程即挖可解困出全级部未灶知力,这类蛮问题乘称为静定究问题,相应井的结籍构称梯为静定导结构.未知验力个偷数多扛于独剖立的凑平衡热方程乳数目,则仅热由平泛衡方明程无精法确减定全善部未稠知力,这类唇问题使称为超静加定问扒题或挖静不坊定问挖题,相应佩的结芽构称片为超静睛定结侄构或为静不红定结绒构.所有毁超静不定结傅构,都是素在静浮定结菜构上柱再加唐一个蹄或几稀个约晶束,这些搏约束驾对于蛾特定脆的工鹊程要例求是滨必要扎的,但对史于保纱证结苏构平油衡却别是多谈余的,故称拖为多转余约桃束.未知辈力个童数与汁平衡恢方程宽数之滚差,称为客超静腹定次辨数或沃静不膜定次垫数.求解贿超静嘉定问让题,需要遍综合芽考察练结构真的平衡,变形案协调盗和物吧理三个磨方面.

例题

一铰敞接结浩构如粪图示,在水棋平刚嗓性横兽梁的B端作姜用有奶载荷F垂直用杆1,闪2的抗裳拉压浩刚度叶分别庆为E1A1,E2A2,若横胳梁AB的自重讽不计,求两你杆中两的内欣力.L112变形毯协调林方程试计算图示结构在荷载作用下的余能，结构中两斜杆的长度均为，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。求各杆内力。解：姑由结构点C的平黄衡方恩程，跑得两要斜杆墙轴力泛为于是玩两杆兔横截晴面上浑的应梅力为由于已轴向缝拉伸泻杆内顿各点停应变梁状态汽均相精同，叔因此车，结亭构在垄荷载享作用茶下的消余能往为由非档线性逼弹性懂材料汇的应装力应怀变关绢系曲宅线可绿得余能羡密度怠为

例题

试计湿算图鬼示结陕构的沃支座炼反力这种纱以力湖为基粥本未狸知量完，把揉它的萍求解素当作灭关键捆性问均题的割方法解称为力法

例题

平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别