杆及结构的变形计算

第七章杆及结构的变形计算退出了解杆及结构的变形计算，进行杆的刚度计算，也为以后静不定问题求解作准备。目的：要求：记住求解结构变形的基本公式并能正确地利用它来进行计算。杆及结构的变形计算退出杆及结构的变形计算7-l拉伸(压缩)时的变形7-2扭转时的变形7-3弯曲时的变形7-4求杆件变形的叠加法7-5杆的刚度条件7-6静定结构的位移计算•杆件的变形能7-7单位荷载法7-8图形互乘法*7-9静定结构由于支座位移和温度变化所引起的位移计算*7-10虚功原理单位荷载法退出7-l拉伸(压缩)时的变形杆及结构的变形计算单段等截面等轴力杆件多段等截面等轴力杆件多段变截面或变轴力杆件例7-l计算杆在自重作用下所引起的伸长，设杆长为l，横截面面积为A，材料的比重为g，，弹性模量为E。end7-2扭转时的变形单段等截面等扭矩杆件多段等截面等扭矩杆件多段变截面或变扭矩杆件Mn——扭矩G——剪切弹性模量Ip

——极惯性矩杆及结构的变形计算end7-3弯曲时的变形1.挠曲线的近似微分方程①挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用y表示。与y同向为正，反之为负。②转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用

表示，顺时针转动为正，反之为负。PxyCyqC11)度量梁变形的两个基本位移量q<0逆时针转向q>0顺时针转向杆及结构的变形计算end3)转角与挠曲线的关系：小变形y=f(x)xyFxyFFCxyBAend2)挠曲线变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：杆及结构的变形计算式(7揪-9绵)就是奇挠曲交线近吨似微猜分方之程。小变戴形xyM>0yxM<0(7姓-9趣)对于埋等截块面直挺梁，单挠曲奇线近谁似微凯分方笨程可冲写成唱如下辆形式季：en些d杆及勒结构穗的变防形计辉算en相d杆及叉结构耍的变诞形计马算2.用积悠分法凳求梁建的变玩形对等纤截面寺梁，EI为常台数，钓有：en浆d杆及留结构歌的变极形计阅算例7-隔2求悬准臂梁减在均摊布载陈荷作尸用下骨的转堂角和途挠度寒方程尝，并挑计算袋其最书大转赢角和汪最大啄挠度溪。已局知梁泰长为l，粱统的刚颤度为EI。(a)(b)解：（1）求出网固定暑端的居反力Rm（2）列出曲弯矩挡方程（3）给出胀挠曲个线微隙分方键程en暴d杆及萄结构饥的变静形计忙算(a)(b)Rm（4）积分劳，得厦出转傅角方写程和拍挠曲海线方着程（5）确定殃积分横常数C、D(6巨)转角盖方程事和挠雪曲线议方程音，最讨大挠乒度和占最大钓转角en硬d杆及书结构头的变默形计榆算7-迁4求杆轰件变兆形的颤叠加物法在假宵定杆邀的变头形微贸小及投材料饱服从也虎克痒定律讽的前均提下故，杆购的变眨形(一般疫指的屯就是朴截面斯形心雕的线皱位移克和截京面的谱角位愈移)都是岭外加繁载荷瘦的线恶性齐私次函捆数。值因此动，当协杆上赠有多赤个载遗荷共冻同作追用时斯，特牲别是外当各娘载荷藏单独销作用柄时的灵变形垦结果么已知(如有肤表可倦查)时，臣用叠考加法驶来计危算杆盘的变速形尤凡为方走便，太用式评子表玩达，插以挠剥度为晴例,即：式中y为多刺个载衡荷共才同作苍用时绵在某订点处垄引起浙的挠泻度，yPi为某般载荷刚单独母作用呜时在符该点统处引测起的浪挠度厚。en散d杆及扛结构架的变矿形计锣算例7-姻5外伸铅梁AB绩C受载蜻如图帖所示棚，设符梁的唉刚度盒为，罗求C点的框挠度袭。解：采用亏分段排刚化墨的步耻骤来仅解①刚化AB，则BC段为罗悬臂纸梁，查表留得：②刚化BC，则AB院C为外记伸梁球，分扛布力珠想B点简亡化；笨有则将置引起指梁的爱变形国，使荒截面朴产生总转角qB，也拜引起C点的牛位移yC2图(c判)如下降：m=能qa2/2P=qa，C点的朽挠度奥为en兼d杆及牺结构虫的变宿形计塑算例7-页6矩形钟截面敞的悬公臂梁壤受荷擦载P的作昂用，油如图罗所示趣。设P与垂怖直轴y的夹联角a=3趁0o，截猪面的祝惯性厕矩Iy、Iz已知政，且Iy<,Iz，试尤计算孩其自丙由端黑形心C的位隔移。而其概方位这角为雷：由于旺所设Iz>Iy，故b>a，如踩图(b)所示,即此友时弯曲凭变形寸不发作生在演载荷咳作用死的平渐面内，这走种弯恨曲工料程上择常称猫为斜弯学曲。en狠d杆及赛结构演的变吹形计侧算7-搁5杆的失刚度稻条件各种挤基变促形情渠况下巾的刚餐度条径件根据挖此种糕条件挤，可挂进行左类似博于强棍度计烂算那跟样的们三类贡计算趋：1)刚度滚校核氧；2)按刚挡度条葛件设种计截纸面；3)按刚鹅度条筛件确穴定许围可载韵荷。扭转掘的刚胡度条宫件精密浆机械轨轴一般炒传动再轴要求厦不高亭的轴拉伸努压缩弯曲吉转角弯曲馅挠度en妨d杆及橡结构面的变效形计宪算例7-傲7试确期定图网中所融示轴婚的直异径D，设尖材料踢的剪缺切弹致性模销量G=8睁0GP盈a，[t]=嫩40MP置a，[q]=仆0.帽5o/m巳知Mma牛x=1厉43肾2(N-睡m)解：①按强圈度条位件设僻计直亮径9551432N-mm2m1m3①按刚驱度条掏件设钓计直榜径故轴臂的直利径应不按刚乏度条谅件决础定，计可取号为68歇mm。en吹d杆及桨结构宗的变乞形计严算7-绵6静定掏结构君的位鸡移计兆算•杆件仅的变救形能杆件爱的位目移除鸣了用山前面构的微讯分方慨程积墙分的涌方法匙进行舞计算舱外，促还可啊由能检量守叹恒定打理按让能量滋法求间解。料这是沈研究瓜变形垮体问洗题的恩又一罚普遍摆方法什，特埋别适初用于贷求解搬复杂煌体系讨的变伪形问慕题。沸首先顶来研劲究杆颂件在胁各种肺变形攀形式纲下的逆变形收能的投计算债。en扮d杆及示结构贺的变描形计返算AlDlPPoDlADlDlB拉伸(压缩)时的秒变形辰能的匹计算弯曲货时的宣变形抖能的疯计算扭转美时的对变形吧能的刮计算en截d杆及套结构桐的变涨形计跨算当杆榴件承秀受组合嫌变形时踏：★若变庄形能落是内舒力的私非线虫性函厉数，拣力的六独立扑性原营理不刊成立通，故皇不能振用叠箩加法NNTTMMen筹d杆及缸结构惑的变仰形计饿算例7-封8求图表示简神支梁售在集黎中力P作用缝下的腐变形庙能让，已浓知梁扩的刚博度为EI。PAlabBCRARBx1x2解：(1拒)求支体反力(2块)列出考弯矩鬼方程(3牵)计算慰变形很能en凶d杆及辅结构滚的变驱形计谣算例7-傻9求图裁示曲见杆的搁变形胃能，既设曲卸杆的劫曲率把半径龙为R，抗纺弯刚慈度为EIPARBONAqOQMen桃d杆及席结构看的变粪形计谅算7-太7单位区荷载设法下面刻我们束从功回能互么等定末理出磁发导咽出计枪算线体弹性之结构横位移惊的一脖个普争遍方乏法—单位年荷载命法。博今以交刚架窜为例采来说看明。设刚摄架上础受外委荷载P1和P2作用眨，今吴欲求担刚架竭上任熔一点讲、任牢一方屈向的忠位移气，如反图中公所示叛的D的大拳小。P1P2MiNiDP0M0iN0iD0为此逆，我愤们可画在该峡结构天的该筒点上乡丰加上岗一个滑沿该悔方向坏的微填小荷掏载P0，再姓分别说写出定此两珍种受圣力情勤况下血的功梅能关企系式怒：P1P2Mi+M0iNi+N0iDP0D

0en围d杆及偶结构恢的变松形计悬算为了践求得Δ，我绍们尚敢需列们出第拒三状羞况下沿的功援能关眠系式拍，该批状况员是由泽结构碌上先授加P0荷载根，再街加已岔知荷宁载P1和P2而形院成的盆。写吉此时厨的功杯能关牙系时浙应注腊意：昂外力卫功除似了P1、P2和P0在其昆自身系引起董的位座移上问作功A和A0外，P0在P1、P2、所奋引起雨的位数移Δ上也像要作乖功。所以的，此往时的捡功能巷关系造式应独是：用此肢式减纸去前洪两式句，可败得：en逃d杆及监结构懒的变破形计雕算为了率能直吗接得抱到D的数晋值，咐可令P0=1，而凤对应扫于此浅时的M0i，N0i则写虫成M0i，N0i。这浙样，吸就得沃到用绞单位批荷载即法求帖结构守位移哥的一哲般公岁式：上述饥公式使也可使计算炸角位多移，芹只要裹将P0视为熄单位臭力偶集就可耳以了素。此风时公齿式中水的M0i，N0i即为张单位抵力偶侧作用患在该才结构陆上所随引起振的相村应内粘力。en既d杆及豆结构粘的变池形计轰算当结容构在马外力盲作用撇下，炼在杆谷件内脑引起丽扭矩软时，四只要排在公忠式(7死-2裂1)后面教附加女考虑缝扭转夏所引简起的浮位移律项就螺可以闲了，确公式便推导缸原理警不变赤。所芝以当伸不计转杆件六剪切枯内力描的影粥响(通常温很小棉，工姨程上到常忽闹略)时，取计算神结构战在外揭荷载姐作用逮下的困位移异的普节遍公售式是搂：需要舌指出梳的是听：单盐位荷快载的坦方向椅开始弊时可旅以随是意假降设，贼将来症按公泰式算只得的觉结果框如果毛是正恭值时硬，则磨所发情生的魄位移烤就是这沿所颤加单逐位荷门载方坏向，狸反之浙，则予位移化沿单振位荷倍载的觉反方誉向发桐生en丛d杆及鹅结构焰的变将形计惜算例7-找10求斑图示陵曲杆脚在B点的弄垂直科位移祖和水屋平位棒移AjO1B(b)AjO1B(c)AjO1B(d)(a)PARBOjen杂d杆及闷结构俩的变餐形计迷算7-印8图形宏互乘意法对工叙程中霉常见枣的一客些由等刚设度杆所形妥成的赌梁或股刚架烟等折线偏型结扇构，用继积分生法计菌算常躲嫌其料麻烦浙时，创也可断采用赔下面纪介绍墙的图形昨互乘持法来计踪蝶算。如上僻节所捉说在溉计算翅梁或念刚架张位移广时，替都会橡遇到哗如下纪积分乐：当结远构各统杆段溜的刚度EiIi=常数时，副该积杯分中肢的EiIi就可鞠提到蒜积分亚号外角面去编而和颗积分油变量度无关孙。剩昼下的漫就只挡要计凉算型朋式的阵积分违值。en首d杆及遭结构宜的变码形计巷算xdxxxcCMxM0xM(x)M0y

Cla据此瓜，可荒将公绕式替换纲为下桑式式中

wi，wNi，wni

分别为该段上弯矩图、轴力图和扭矩图的面积，而分别为和上述面积的形心相对应的

图上折的纵两坐标姿值。卷所有ω值和yC值均恢取代慢数值晃，或记遵循ω与yC在基箱线的同同侧购相乘营为正篇，异竞侧相晕乘为堡负的麦原则拖也可罚。abcdlw1w2在具削体计狡算wyC值时漂，还逃有一信些技钥巧，灭如以答下诸贴图所昌示：杆及纹结构暖的变巷形计君算比较(a),济(b)两式射可见钳，只降要将(a)式中四的a,通b,司c,急d的值获均看滩作代醋数值香，由(a)式即碍可得晌到(b)(b)(a)en溜den能d杆及脑结构布的变恢形计馆算例7-也11求图贪示酬刚架秋在缺槐口A处的裁相对故位移煤，设览杆的快抗弯步刚度江为EI。aaP2lP(a)PaPaPaPa(b)2a2a2a2a11(c)l11lllllll(d)1111111111(e)en骡d杆及斯结构杰的变浩形计敢算*7-顽9静定耗结构累由于浴支座智位移垫和温霞度变吃化所凶引起碰的位臣移计校算1.求结颜构由袍于支矿座位悔移所皱引起菜的结扮构位楼移当支限座C由于托沉陷洞而产夺生C1，C2，C3的位收移后拌，欲雄求端蚀部A处沿D方向腔的位动移D。为弹此，索假设燥在此良结构温的A处沿D方向烛加—相应龟的单啊位力祝，假岗设此滨时支沃座反招力R10，R20，R30的方直向取雕得和魂支座营位移告的方偷向一笛致时怖，如纠图(b怖)所示宅，则仆按刚滋体的惧虚位枕移原馋理可麦得下璃式：将上躬式移区项后挠即得券所求斗的位虾移为废：1(b)CC1C’BAC3C2DB’A’D(a)en蛮d杆及移结构跑的变堪形计狮算例7-牧12求三贝铰刚愤架由北于支匪座A处位竹移Dx和Dy而引会起的坦顶铰C处的免竖直旋位移DC。代入舍公式(7绍-2屋7)得：DxDyC’A’DC(a)hCBAl1(b)首先咱在C处竖器直方纱向加渠单位惊力；况再求句出此杂时单匀位力惊在沿垫巳知怎位移插方向用的反春力；其值回为正戒，即C的竖锡直位硬移方强向和挣所加义单位泥力方祥向相丝式同。解：en京d杆及趁结构败的变碰形计姜算2.求结也构由漆于温僻度变柏化所筒引起斯的位剂移首先跑我们吸来讨闯论微稀段两转侧由眨于温去度的艳不同滋所造跟成的求变形挪。设场微段敞长ds，形风心轴泉距两殿侧的舒距离渔为h1和h2，截挎面的国高度唇为h，而撞温度t2>t1，材杨料的选线膨挣胀系静数为a。hdsh2h1djat2dsat1dst1t2形心轴微段萍的轴锯线伸解长量du和截清面的跑相对显转角dj为：en搂d杆及勺结构看的变胞形计层算知道谢了du，dj的表辽达式采后，送欲求团图示梯结构乎由于伤温度谊变化贞而引巾起的援任一汉点C的位催移Dt时，躬直接觉利用辰虚功角原理丢得下斩面的妈公式功：或应用返上述终两公所式时川，应注意畜正负著号。若派温度献引起希的轴锹向变碍形及粱弯曲启变形备与单枕位荷路载所妖引起损的轴国向变宪形和泳弯曲葬变形崇的方孟向一致胀时取袭正号，反之素取负俩号。t1t2t2At1CB1en霉d杆及眼结构钢的变习形计纽奉算例7-很13求图语示刚炭架C处所茎产生君的竖控直位宵移，次若刚封架外妥侧温闹度为0oC时，循内侧穿温度吉为10oC。各殖杆截早面相绵同且钢和形脏心轴级对称始，材料滔的线咳膨胀斗系数母为a，截倦面高衣度为h。解：作出裂单位蚊力下变的内录力图Ni0和Mi0，并百用虚绕线示浸出其思变形饲方向悲；同垄时也图用虚谢线示区出结喂构由蝴于温垒度变附化所牛引起肠的变信形方头向。禽由图辰可见邀，两太者正令相反管，故裳公式哪中的昏乘积这项均或取负茧号。蓝由于代入红公式(7融-2终8b范)后即悄得：10oACBll(a)1(b)1ll(c)en乡丰d杆及窗结构谎的变场形计耻算*7-少10虚功幻玉原理苦单位忧荷载仇法虚功唇原理万是固箱体力倍学的么一个过普遍铃性原劣理，阿它适薄用于漂刚体德和可鲁变形音体。君今以圈直杆锋在拉胀伸时笼的受攻力和蛇变形给状态火为例笑来说谦明此支原理炒。图(a)为其洽受力智状态圈，图(b)为其业假想唤的位编移状书态，剖此位氏移是牢杆约紫束条鼻件许允可的拣、满贫足变更形连幻玉续条镰件的艘任一调微小畅位移仇，简躬称其克为许特可位漠移或付虚位码移。dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN设u是该恩杆内订某微走段dx左截稻面的萄位移宅，则阳其右旬截面接的位吗移可盗写为u+安du；所重以，u可以殿称为界此微吴段的欧刚性泉位移血，而du则是县该微倦段的汗变形凑位移漆。当该直微段腔平衡墓时，缝可得柏：en豆d杆及妄结构洁的变牵形计释算dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN将上粉式两喊边乘跟以该唉微段遣的刚塞性位旺移u，积词分后呆得：若将钟此式龟展开非后积由分，冻则有在：分部纯积分,得将杆蛙的边猫界