材料力学讲义五四

Additionalremarksforbending第十二章弯曲的几个补充问题§12–1非对称弯曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

开口薄壁杆件的切应力弯曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章弯曲的几个补充问题

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非对称弯曲(Unsymmetricalbending)一、非对称弯曲(Unsymmetricalbending)

横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.yzxFyFzF二、斜弯曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.叠加(Superposition)对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲。z轴为中性轴yxz挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面xyz梁的轴线对称轴水平纵向对称面梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲，y轴为中性轴。挠曲线

三、梁内任意横截面上的内力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin

(使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴)Mz

=Fy

x=Fxcos

(使梁在xy平面内弯曲，z为中性轴)mmmmzyMyxMz四给、横具截面圈上的慢应力傲分析（St墨re辅ss幻玉a晶na叹ly档si监s江of林c剂ro堤ss绳s掌ec幻玉ti候on饲s)mmzyMyxMz1.与My相应颈的正闪应力翼为(色Th迅e锅be栏nd穴in惧g谈no拣rm粥al扑s搬tr圆es秒s使co凉rr卧es等po膛nd最in浇g炮toMy)2.与Mz相应刊的正怜应力略为(T以he沿b胀en傍di友ng溪n绘or出ma览l抹st昆re多ss跟c红or摆re梯sp屑on垫di污ng触t唐oMz)C点处件的正看应力(T迹he内n励or铜ma伟l玩st丸re叮ss姻a饼t裳po旋in除tC)C(y,z)五、胃横截钻面上记中性软轴的哨位置(L醒oc如at顷io拾n钳of阴n劈燕eu久tr恼al恳a肠xi硬s惠on叉c鸣ro为ss晃s突ec贵ti安on搞)中性禾轴上厕的正勤应力湖为零假设点e(z0,y0)为中姑性轴免上任闲意一掏点zyxMzOe(z0,y0)中性瓣轴方险程为中性撑轴是槐一条育通过鸟横截风面形判心的杰直线(t斧he锈n迎eu骗tr膊al塘a恩xi谢sis急a巡寿l爽in发e台wh递ic姜h骆cr欲os篮s猴th陶ece台nt驴ro情idof忽a茫n滤ar含ea永)中性轴My中性栗轴的削位置款由它饮与y轴的瓦夹角

确定zyx

中性轴公式陶中角爷度

是横截滨面上似合成基弯矩M的矢火量与y轴的盗夹角炎。横截哭面上炒合成姥弯矩M为y0yzO公式越中角只度y是横截猪面上抱合成弯矩M的矢异量与y轴的苦夹角.M中性奋轴MzMyyx

yM中性轴

z

yO讨论：（1笼）至一般漫情况则下，嗽截面准的IzIy,故中扬性轴须与合求成弯志矩M所在平面盏不垂皱直，馒此为定斜弯搞曲的相受力诸特征辫。所勿以挠颗曲线叨与外普力（施合成弯矩挠）所巧在面栏不共航面,此为秋斜弯羞曲的誓变形胶特征住。z（2魂）械对于约圆形就、正饼方形蒙等Iy=Iz的截领面，摄有=y，梁混发生平面室弯曲(p漫la滩ne趋b赠en歌di亡ng织)，正应黑力可盏用合档成弯算矩M按正甚应力痕计算公之式计观算。贤梁的朵挠曲虏线一线般仍很是一服条空楼间曲据线，辱故梁蚁的挠锐曲线方录程仍惯应分晓别按筋两垂饭直面爪内的昆弯曲桐来计公算，列不能瞒直接鼠用合慌成弯矩惯进行扎计算掌。

中性轴

z

yOMyzy中性轴六、芦最大焰正应戒力分驶析（An饭al圣ys压is剖o纽奉f讯ma金xi俭mu圆m辱no炊rm咏al夸s鱼tr浩es来s)作平猴行于昼中性姜轴的赴两直辩线分围别与横截够面周扶边相普切于D1、D2两点，D1、D2两点伪分别许为横刚截面丹上最大肯拉应煎力点邻和最仅大压魄应力旨点。D2D1OD1D2zyzyO中性轴中性轴对于碍矩形泡、工眠字形皮等有汇两个粥相互孝垂直阵的对蜓称轴离的截堤面，梁横骨截面界的最属大正笋应力弊发生谅在截旷面的窜棱角侦处。可根返据梁裤的变饺形情况党，直哀接确躲定截发面上旨最大稳拉、谱压应玻力点正的位刑置，库无需馆定出避中性轴柿。D2D1O七、误强度撑条件(S辞tr纯en租gt躬h馋co店nd徐it末io让n)斜弯染曲的饲危险圈点处艺于单榜向应泼力状额态，枣所以助强度迫条件衰为强度条件的应用设计截面强度校核确定许可载荷八、拘斜弯悲曲的沈挠度(D瓣ef揭le楼ct熔io袍n岔of啦u划ns杀ym屿me郊tr励ic嚼al侨b诸en恶di漂ng撒)分别贺求出Fy引起孝的挠肢度wy和Fz引起户的挠唤度wz方法常：叠洪加原什理wzwywy总挠屋度为w总挠狸度与歪轴的罚夹角近为yxA承B晴CzyF2=2柜kNF1=1枣kN0.夜5m0.虚5m4080zyOa醋dbc例题1矩形侄截面婶的悬另臂梁极承受避荷载宇如图测所示.试确役定危炎险截侄面上助危险斧点所巧在的叉位置都，计饮算梁羡内最密大正掉应力校的值.解:（1）牵外力祝分析梁在F2的作镇用下略将在xO祥z平面弱内发狸生平捆面弯法曲(y为中号性轴峰）故此饥梁的虾变形民为两联个相兰互垂伤直平滋面弯当曲的挖组合--仙--斜弯厦曲梁在F1的作连用下夫将在xO盒y平面离内发疑生平冤面弯啊曲（z为中繁性轴豪）xA芝B搁CzyF2=2搜kNF1=1检kN0.俱5m寒0畅.5刃m（2）偶绘制鹿弯矩荐图绘出Mz(x)图绘出My(x)图A截面等为梁铅的危秘险截江面Mz=仔1kN蚁·mMy=丧1kN潮·mxA辰B捷CzyF2=2书kNF1=1猾kN0.渗5m0.蒙5m1kN·mxMz(x)图1kN·mxMy(x)图Mz使A截面自上部援受拉喝，下飞部受沾压My使A截面墓前部阅受拉凳，后洁部受脚压zyxMyzyxMzzyx（3）额应力痒分析D1是最攀大拉观应力哗点D2是最窝大压边应力凭点两点向正应汁力的弱绝对弃值相担等拉压拉压D2D18040zyzyxMyzyxMz拉压拉压（4）中暗性轴车的位盈置8040zy中性轴

（5）绘哀制总桂应力格分布照图8040zy中性轴

D1D2+-

D1=7哑.0如2

D2=-看7.等02拉压例题2旬20芬a号工仪字形盏悬臂谷梁受兰集度站为q的均督布荷焦载和满集中斯力F=qa/2作用,力F作用妥在yO裤z平面搞内.已知足钢的宰许用茄应力[

]=睁16愧0M圾Pa，a=1顷m。试求杠此梁梅的许暗可荷顿载集肠度[q].40°FqaaACByz解：匀将力F向y轴和z轴分补解Fy与均姻布荷目载q使梁在xy平面滥内产虹生弯围曲(z为中嫩性轴)Fz使梁在xz平面扯内产皱生弯荡曲(y为中纯性轴)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.波61响7abcda0.校45落6qa20.左26络6qa20.称38厌3qa2Mz图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图（1）共画弯拆矩图A、D两截纽奉面可壁能是滴危险荒截面MzA=舟0.疏26胡6qa2MzD=输0.圣45预6qa2MyA=棚0.蹈64中2qa2MyD=欲0.勤44汉4qa2A截面D截面（2）计兽算应景力查工设字钢您表20才a号A截面D截面梁的支危险明点在A截面禽棱角菊处§12啄–2开口杏薄壁粪杆件但的切别应力铲弯美曲中筒心(S埋he荷ar盼s损tr贝es油s仗of许o潮pe爆n侵th织in招-w裤al哨l椅m定em班be饱rs许.Fl眉ex狠ur勾alce雾nt回er妨)一、阶非对迈称截队面梁垒平面第弯曲纷的条厌件(C片on贤di士ti稳on解s凭of篇p华la虚ne虽b歼en律di竿ng剩f础or逗u滚ns甩ym乌me晚tr检ic梨al离b蛮ea扁ms它)前面众讨论喘的平死面弯悲曲,仅限绳于梁眉至少亩有一邻个纵摧向对饮称面,外力因均作欣用在淋该对讯称面陡内且铺垂直钓于轴阔线.对于浅非对漠称截姜面梁.横截裤面上骄有一鸟对形报心主摆惯性脂轴y,z,形心缺主惯得性轴y,z与轴替线x组成谋两个蓬形心沟主惯抖性平岗面xO都y,xO普z形心主惯性平面y,z轴为形心主惯性轴zxy1.实体涝梁（Bo敏dy械b劈燕ea占ms猫)当横笼向外线力作肢用在斑形心承主惯议性平蓬面的过平面储内,梁发封生平僵面弯努曲.否则它将会洪伴随这着扭化转变弱形.但由等于实抽体构符件抗必扭刚前度很答大.扭转茶变形低很小,其带等来的负影响饺可以塘忽略毒不计.2.开口哲薄壁督截面立梁(O荐pe泳n打th休in动-w蠢al愧l薪s均ec达ti歌on典s)对于球开口到薄壁寺截面廊梁,即使蒜横向普力作床用于加形心炭主惯预性平败面内(非对罩称平火面),则梁败除发犹生弯损曲变抄形外,还将休发生料扭转骨变形.只有退当横软向力烧的作盾用线貌平行沫于形受心主松惯性奏平面赞并通贡过某毙个特污定点某时,梁才羊只发偶生平烛面弯辰曲,而无痕扭转边变形.这个阳特定蛾点称途为横深截面宰的弯曲菌中心(S双he图ar岂c旺en禽te博r伶or丈f速le捞xu厦ra歌l文ce扇nt摇er券),用A表示.3.弯曲斧中心争的确星定（De湿te聪rm合in标at为io至n届of袖t光he百s蛋he叛ar拿c脂en刃te派r)（1）弯曲搏中心(S岔he副ar坝c怠en索te塑r帖or填f主le垮xu玩ra饭l拼ce蜂nt蛮er忌)切应太力合辣力的宾作用兴点就煤是截稍面弯抬曲中不心(使杆淋不发闸生扭但转的抖横傲向力市作用图点).（2）弯曲首中心菊的位武置(Lo暑ca萌ti况on劈燕o侍f政th座e桶sh糊ea粱r肝ce亿nt敞er倒)（b）具膛有一然个对宣称轴崇的截疼面,其弯幕曲中立心一玻定在查这个澡对伸称轴瓶上.（c）若猎截面舍的中省线是咏由若黎干相袋交于旬一点麦的直秧线段鬼所组剥成，熔则此扛交车点就浪是截考面的裁弯曲瞧中心.AAA（a）具皇有两练个对忍称轴炉或反裂对称溜轴的恐截面,其弯变曲中高心与套形心心重合.例3试画搏出下扮列各夕薄壁伟截面纷弯曲亲中心框的大鱼致位滋置;若剪挨力FS的方子向垂征直向县下,试画乒出切稍应力洞流的谅方向.AAAAAAAAAA例题4一槽谣钢制坦成的桌梁受仔方向刷平行许于其努腹板丙的横歪向荷糕载作术用.钢槽厉截面到简化隶后的纯尺寸仔见图.（2）确睡定横救截面菌上剪拆力作童用线便的位渣置（1）分覆析横攀截面狱上腹芽板,翼缘怒两部谈分切应凯力t和t1的变醒化规仅律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切应力的变化规律腹板抬上切穷应力医沿高韵度按较二次蜜抛物增线规辟律变很化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）横览截面淋翼缘晒上的他切应晴力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼帽缘厚深度用悬纵向赴截面AC截出联一体亚积元挺素C-m在C-m的两不个截痰面D-m,C-n上咬分别煮有由筑法向糕内力普元素在C-m的两拢个截耽面D-m,C-n上分孤别有酸由法惧向内散力元库素组跃成的片拉力FN1*,FN1主1*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于模翼缘去很薄,故可些认为

1,

11,沿翼步缘厚狠度保汪持不芬变,且其太值与扯翼缘华中线排上的使正应删力相乳同.δ为翼缘厚度ξ为从翼缘外端到所取纵截面AC间的长度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以旨在AC截面裕上一艘定存紧在着愁切向惑内力姐元素dFS’，因为疤翼缘诱横截芝面也木是狭植长矩枣形,故可取采用柿切应钞力沿季壁厚眉不变戚及其绣方向呼平行肤于翼枣缘长矿度的纺假设.由于根据雁剪应犁力互苹等定拔理,横截续面上田的切应酿力和AC上的屯切应导力如嗽图所贩示.AξDmCdxδB平衡质方程

Fx=腿0经过整理,即得AξDmCdxδB由切应力互等定理可知得横截面上的切应力mnOzydxmDCAξ式中F