直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析5565

直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点和热点，涉及交点个数问题、弦的问题、对称问题、最值问题、取值范围问题等，现将其分类总结如下，供同学们复习时参考。一、直线与圆锥曲线交点问题研究直线与圆锥曲线交点问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，将交点个数问题转化为一元二次方程解的问题，利用判别式讨论之．注意：（1）数形结合思想的运用；（2）在用到直线斜率时注意斜率不存在的情况；（3)在研究直线与双曲线时注意直线与双曲线的渐近线平行的情况。例1已知集合与集合M{(x,y)|ykx1}，当为何值时①M∩N有两个元kN{(x,y)|x29y29}素．②M∩N只有一个元素．③M∩N没有元素．【解析】ykx1y消去整理(19k2)x18kx1802：由x29y29若19k20即k1，则(18k)2418(19k2)=36(29k2)3①当0即2k且k1M∩N2时，有两个元素．33320k②当即M∩N时，只有一个元素．3由韦达定理知x2xb30xx112的中点，又∵在直线∴11M(,11M(,b)2222b)ABxy0上∴解得，11b022b1∴，∴，，xx20xx1xx212212由弦长公式．AB1k2|xx|112124(2)3212故选C【评析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．三、参数的取值范围问题这类问题有两种方法，（1）根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式(组），通过解不等式组求出参数的范围；（2）将所讨论的参数表示为关于另一个参数的函数问题，用求函数值域的方法求解。例3设、分别是椭圆的左、右x2y1FF2412焦点，过定点的直线与椭圆交于不同的两M(0,2)l点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），ABAOBO求直线的斜率的取值范围.lk【解析】：显然直线不满足题设条件，x0可设直线：，，ykx2lAx,yBx,y1222ykx2联立，消去，整理得：14ykx4kx30x2y21224∴xx,xx4k3k21k21121244由又得：3或4k4k134k230kk3242200A0B900cosA0B0OAOB0∴OAOBxxyy01212又8k43k2k1yykx2kx2k2xx2kxx422k21k214k211212121244∵，即∴3k120k422k2k21k2144故由①、②得3或2k3k222【评析】为了求参数的取值范围，用的是函数法．四、直线与圆锥曲线中的最值问题解决这类问题，通常结合图形，转化为函数的最值问题，用求函数的最值的方法求解，注意函数的定义域和直线斜率不存在的情况。例4已知椭圆C:x，直线l与椭圆2y123、C交于AB两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.32【解析】：设，．A(x，y)B(x，y)1122（1）当轴时，．AB⊥xAB3（2）当与轴不垂直时，ABx设直线的方程为．ABykxm由已知，得．m33m(k1)2241k22把代入椭圆方程，整理得ykxm，(3k21)x26kmx3m230，．xx6km3k13(m1)2xx123k2112236k2m212(m21)AB(1k2)(1k2)(xx)22(3k21)23k121212(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k1)(3k1)22224．12k29k46k1121223633(k0)≤39k216k22当且仅当，即3时等号成立．当时，19kk0k2k23AB3，综上所述AB2．max当最大时，面积取最大值1323△AOBABSAB22max【评析】本题是将其转化为关于直线斜率的函数问题，利用均值不等式求最值。五、直线与圆锥曲线位置关系中的弦的问题对弦长问题，将其化为一元二次方程，运用韦达定理与弦长公式解之；弦的中点问题或中点轨迹问题常用参数法或平方差法处理之。y例5已知双曲线21，求过点M（3，1）x24的弦的中点轨迹方程。【解析】：设过M（3，1）的弦的中点,P(x,y)弦的端点坐标为A，B(x,y)1(x,y)212②y214y224x211x212xx2x∴①12③④①-②得yy2y12(xx)(xx)(yy)(yy)0121241212当时，===，=yy4(xx)4xy1x3xxKK2112xxyyy12ABMP2112又∵A，B，M，P共线，∴=KKABMP即4x=y1，化简得4xy212xy02yx3当xx时，P（3，0）也适合12∴过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程为4x2y212xy0【评析】本题是双曲线的弦的中点的轨迹问题，用的是平方差法，本题也可用参数法。练习：1、已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的x3y40长轴长为（A）（B）（C）（D）322627422、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)2的椭圆弦的中点的横被直线3x－y－2=0截得的坐标为，则椭圆方程为()12A.2x22y212575B.2x22y217525xyx2yC.21D.212257575253、斜率为1的直线l与椭圆x2+y2=1相交4于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2BCD455410581054、抛物线上的点P到直线有最短y2xyx42的距离,则P的坐标是A,(0,0)B,C,(1,1)2(1,1)2D,11(,)225、经过抛物线y4x的焦点F的直线L与该2抛物线交于A,B两点．（１）线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；（２）直线的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的15取值范围．6、已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p(1)求a的取值范围(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值7、已知倾斜角为的直线过点，若45°lA(1，2)直线与双曲线相交于两点，且线x2lC:y1(a0)E，F2a2段的中点坐标为，求的值．EF(4，1)a答案1、C2、C3、C4、C5、(1)设A(直线AB的方程为x,y),B(x,y),2112y=k(x-1)(k≠0),代入得y4x,2kx-(2k+4)x+k=0．2222设M(x,y)，则xxxk22,122k2yy2y2.k12∴点M的坐标为(．k222,)k2k于是消去k，可得M的轨迹方程为．y2x2(x0)2(2)由于k22d=342mkk21,55所以6813m,k2k即0＜＜11,得k20＜11,13m2即或1519m2m4,22故实数的取值范围为．19(,2)2m6、(1)设直线l的方程为y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p∴4ap+2p2≤p2,即4ap24(ap)4a22≤－p2，又∵p＞0,∴a≤－p4(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有x==pyyxx2a1212xx12ap,y222∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0），点N到AB的距离为|a2pa|2p2从而S=1△当a有最大值－p时，S有最大值为p2