河南省洛阳市栾川第四中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析

河南省洛阳市栾川第四中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数i﹣1(i是虚数单位)的虚部是(

)A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：A2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e参考答案：B【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；3.若直线与圆C：相交，则点的位置是(

)A．在圆C外

B．在圆C内

C．在圆C上

D．以上都可能参考答案：A略4.若a∈R，则“a=3”是“a2=9”的(

)条件．A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分又不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先判断出“a=3”成立能推出“a2=9”成立，因为“a2=9时a=±3，通过举例子a=﹣3成立推不出“a=3”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：已知a∈R，则a=3?a2=9；∵a2=9，可得a=±3，当a=﹣3时，满足a2=9，推不出a=3，∴“a=3”是“a2=9”的充分而不必要条件，故选A；【点评】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是知道一个正数的平方根有两个；5.在等比数列{an}中，a5a7=2，a2+a10=3，则=（）A．2 B． C．2或 D．﹣2或﹣参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的性质得出a5a7=a2a10，由题设可推断a2和a10是方程x2﹣3x+2=0的两根，求得a2和a10，进而求得q8代入即可．【解答】解：∵a5a7=a2a10=2，且a2+a10=3，∴a2和a10是方程x2﹣3x+2=0的两根，解得a2=2，a10=1或a2=1，a10=2，则或q8=2，∴=或2，故选：C．6.已知集合,则

(

)A、

B、

C、

D、参考答案：D略7.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A．一定平行

B.一定相交

C.平行或相交

D.一定重合参考答案：C8.在ABC中，，，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=(

)

A

B．

C．5

D．参考答案：A略9.利用数学归纳法证明不等式1++++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项参考答案：C【考点】数学归纳法．【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．【解答】解：用数学归纳法证明等式1++++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1++++…+，则当n=k+1时，左边=1++++…+＜f（n）∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共（2k+1）﹣2k﹣1﹣1=2k﹣1项，故选：C．10.将自然数按如下规律排数对：(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，…，则第60个数对是（

）A．(6,4)

B．(5,5)

C.(4,6)

D．(3,7)参考答案：B通过观察可以发现：两数和为1的数对有2个，两数和为2的数对有3个，两数和为3的数对有4个，，以此类推，两数和为n的数对有个，因为，则第55个到65个数对的两数之和为10，第55个到60个数对依次为：，即第60个数对为.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．参考答案：12.试通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为”，猜测关于球的相应命题是“半径为的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值为

▲

”.参考答案：略13.数列的前ｎ项和，则此数列的通项公式

参考答案：14.如右图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,且的面积为16,过作轴,则的长为__________参考答案：15.直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为参考答案：16.已知|AB|=|AC|=6，且=18，则⊿ABC的形状是_________;参考答案：等边三角形略17.等差数列中，已知，试求n的值

参考答案：50三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆，其长轴为，短轴为．（Ⅰ）求椭圆的方程，及离心率．（Ⅱ）直线经过定点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．参考答案：见解析解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：，设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．19.（本小题满分10分）已知等差数列的前n项的和记为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及其相应的的值.参考答案：20.（13分）已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）直接使用均值定理a+b≥2，即可求得xy的最大值，进而求得u=lgx+lgy=lgxy的最大值；（2）将乘以1==，再利用均值定理即可求得的最小值【解答】解：（1）∵，∴xy≤10，（当且仅当x=5且y=2时等号成立）．所以u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1∴u=lgx+lgy的最大值为1（2）∵2x+5y=20，∴∴

（当且仅当时等号成立）∴的最小值为【点评】本题考查了利用均值定理求函数最值的方法，利用均值定理求函数最值时，特别注意等号成立的条件，恰当的使用均值定理求最值是解决本题的关键21.正方体，，E为棱的中点．(Ⅰ)求证：面．(Ⅱ)求三棱锥的体积．参考答案：略22.某工厂的某车间共有30位工人，其中60%的人爱好运动。经体检调查，这30位工人的健康指数（百分制）如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于70者为“身体状况好”，健康指数低于70者为“身体状况一般”。（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”？

身体状况好身体状况一般总计爱好运动

不爱好运动

总计

30（2）现将30位工人的健康指数分为如下5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其频率分布直方图如图所示。计算该车间中工人的健康指数的平均数，由茎叶图得到真实值记为，由频率分布直方图得到估计值记为x，求x与的误差值；（3）以该车间的样本数据来估计该厂的总体数据，若从该厂健康指数不低于70者中任选10人，设X表示爱好运动的人数，求X的数学期望。附：。0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）列联表见解析；有的把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”；（2）误差值为0.4；（3）数学期望【分析】（1）根据茎叶图补全列联表，计算可得，从而得到结论；（2）利用平均数公式求得真实值；利用频率直方图估计平均数的方法求得估计值，作差得到结果；（3）可知，利用二项分布数学期望计算公式求得结果.【详解】（1）由茎叶图可得列联表如下：

身体状况好身体状况一般总计爱好运动