方程式(未知数)

方程式(未知数)第1页，课件共103页，创作于2023年2月何謂未知數？1個蘋果＋1個蘋果＝2個蘋果1公分＋1公分＝2公分「不知道」＋「不知道」＝?1個「∞」＋1個「∞」＝?1個「全部」＋1個「全部」＝?第2页，课件共103页，创作于2023年2月為什麼我們可以點數「蘋果、1公分」的個數？為什麼我們不可以點數「不知道、∞、全部」的個數?我們可以點數「x」的個數嗎？有那些能力後才能點數x的個數？第3页，课件共103页，创作于2023年2月「2個青蘋果，6個紅蘋果」青蘋果是全部的幾分之幾?2個紅蘋果是全部的幾分之幾?第4页，课件共103页，创作于2023年2月如果「ｘ」是一個未知數，學童有那些能力之後才能理解：2ｘ＋3ｘ＝5ｘ？

ｘ÷2＝ｘ/2？「ｘ」和「3」可以相加減嗎？

第5页，课件共103页，创作于2023年2月未知數定理：ｘ雖然是一個未知數，一個目前不知道等於多少的數，但是只要它是一個數，它就能與其它的數一起做運算，而且順從運算的所有性質。

第6页，课件共103页，创作于2023年2月在數學上，有那些運算性質（加減乘除及其混合運算）在全數系或有理數系一定成立？有那些運算性質在整數系或實數系（或複數系）一定成立？為什麼在代數學中，也要討論這些性質？第7页，课件共103页，创作于2023年2月自然數：｛1，2，3，......｝。自然數是點數的結果，描述一個給定的集合有多少個元素。全數：自然數∪｛０｝。全數是國小階段教學的重點，全數的０表示沒有的意思。第8页，课件共103页，创作于2023年2月整數：｛...,－1,0,1,2,...｝整數中的「2」是「＋2」的簡記法，表示比基準量0多2。0不一定表示沒有，0只是設定的基準量，例如溫度是攝氏0度，0度並不表示沒有溫度，0度是水結冰時的溫度。自然數可以視為整數的特例。第9页，课件共103页，创作于2023年2月全數、整數、有理數、實數都滿足那些運算性質？三一律：ａ，ｂ兩數恰滿足下列一種關係ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂ。第10页，课件共103页，创作于2023年2月等價關係：ａ，ｂ，ｃ三個數滿足反身性：ａ＝ａ。對稱性：ａ＝ｂ，則ｂ＝ａ。遞移性：ａ＝ｂ，且ｂ＝ｃ，則ａ＝ｃ。第11页，课件共103页，创作于2023年2月數的運算關係：ａ，ｂ，ｃ三個數滿足加法交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ。加法結合律：（ａ+ｂ）+ｃ＝ａ+（ｂ+ｃ）。第12页，课件共103页，创作于2023年2月乘法交換律：ａ×ｂ＝ｂ×ａ。乘法結合律：（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ）。第13页，课件共103页，创作于2023年2月乘法對加法的分配律：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。（乘法對加法的右分配律）ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ。（乘法對加法的左分配律）第14页，课件共103页，创作于2023年2月那些運算關係在減法或除法運算中也成立？（ａ＋ｂ）－ｃ＝（ａ－ｃ）＋ｂ（a≧ｃ）＝ａ＋（ｂ－ｃ）（b≧ｃ）＝ａ－（ｃ－ｂ）（b≦ｃ）。（ａ－ｂ）－ｃ＝（ａ－ｃ）－ｂ＝ａ－（ｂ＋ｃ）。第15页，课件共103页，创作于2023年2月（ａ×ｂ）÷ｃ＝（ａ÷ｃ）×ｂ。（ａ÷ｂ）÷ｃ＝（ａ÷ｃ）÷ｂ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。第16页，课件共103页，创作于2023年2月ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，下列算式中那些恆成立？ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。第17页，课件共103页，创作于2023年2月乘法對減法也滿足分配律。（ａ－ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ－ｂ×ｃ。(乘法對減法的右分配律)ａ×（ｂ－ｃ）＝ａ×ｂ－ａ×ｃ。(乘法對減法的左分配律)第18页，课件共103页，创作于2023年2月除法對加（減）法滿足右分配律，但是不滿足左分配律。（ａ＋ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ＋ｂ÷ｃ。（ａ－ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ－ｂ÷ｃ。ａ÷（ｂ＋ｃ）≠ａ÷ｂ＋ａ÷ｃ。ａ÷（ｂ－ｃ）≠ａ÷ｂ－ａ÷ｃ。第19页，课件共103页，创作于2023年2月等量公理：ａ，ｂ，ｃ三個數，若ａ＝ｂ則滿足ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ。ａ－ｃ＝ｂ－ｃ。ａ×ｃ＝ｂ×ｃ。ａ÷ｃ＝ｂ÷ｃ（ｃ≠0）。第20页，课件共103页，创作于2023年2月ａ，ｂ，ｃ三個數，若ａ＞ｂ則滿足ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ。ａ－ｃ＞ｂ－ｃ。ａ×ｃ＞ｂ×ｃ（ｃ＞０）。ａ×ｃ＜ｂ×ｃ（ｃ＜０）。ａ×ｃ＝ｂ×ｃ（ｃ＝０）。ａ÷ｃ＞ｂ÷ｃ（ｃ＞０）。ａ÷ｃ＜ｂ÷ｃ（ｃ＜０）。第21页，课件共103页，创作于2023年2月小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?學童有能力解決多步驟問題嗎？學童有能力用算式記錄多步驟問題的解題活動嗎?第22页，课件共103页，创作于2023年2月5×3＝15……鉛筆的錢8×4＝32……橡皮擦的錢15+32＝47……鉛筆和橡皮擦的錢47+40＝87……原有的錢學童應該有能力用多個算式記錄解題活動。第23页，课件共103页，创作于2023年2月學童有能力將多步驟問題記成算式填充題嗎？有能力將多步驟問題記成等號右邊只有括號的算式填充題嗎？第24页，课件共103页，创作于2023年2月小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?()-5×3-8×4＝405×3+8×4+60＝()那一種記法比較簡單?第25页，课件共103页，创作于2023年2月()-5×3-8×4＝405×3+8×4+60＝()就問題記錄（將問題記成算式填充題）而言，前者比較簡單。就解題活動（算出算式填充題的答案）而言，後者比較簡單。第26页，课件共103页，创作于2023年2月引入等量公理前：學童有能力解決等號右邊只有括號的算式填充題嗎？

學童有能力解決等號左邊有未知數的算式填充題嗎?有能力解決等號兩邊都有未知數的算式填充題嗎？第27页，课件共103页，创作于2023年2月5×3+8×4+40＝()()-5×3-8×4＝40x-5×3-8×4＝405×3+()×3＝21–()5×3+3x＝21–x第28页，课件共103页，创作于2023年2月這三個問題的難度差不多嗎?記成()與記成x，難度差不多嗎?第一題是國小現在的教材。第二題是94年可能出現的教材。第三題是國中的教材。第29页，课件共103页，创作于2023年2月5×3+8×4+40＝()()＝5×3+8×4+40等號滿足對稱性。第30页，课件共103页，创作于2023年2月

5×3+8×4+40＝15+8×4+40＝15+32+40＝47+40＝87國小稱為逐次減項的記法。第31页，课件共103页，创作于2023年2月5+3＝8-2＝65

+3

8

-2你接受上面的記法嗎?6為什麼不接受上面的記法?學童為什麼會出現上面的記法?第32页，课件共103页，创作于2023年2月因為：5×3+8×4+40＝15+8×4+40

15+8×4+40＝15+32+40

15+32+40＝47+40

47+40＝87所以：5×3+8×4+40＝87這是詳細的記法，主要的概念是等號的遞移性。第33页，课件共103页，创作于2023年2月將前面的記法摘要記成：

5×3+8×4+40＝15+8×4+40＝15+32+40＝47+40＝87這是摘要的記法。教師應檢查答案87的意義。第34页，课件共103页，创作于2023年2月因為：a=b，b=c，c=d所以：a=d摘要記成：a=b=c=d教學的重點是什麼?第35页，课件共103页，创作于2023年2月()-5×3-8×4＝40x-5×3-8×4＝40引入等量公理前，學童有能力解決上述問題嗎?透過線段圖重新表徵問題的方式，將原問題改記成等號右邊只有括號的算式填充題。第36页，课件共103页，创作于2023年2月x-5×3-8×4＝40引入等量公理後，學童有能力解決上述問題嗎?解決問題很簡單，因為未涉及未知數的運算。比較困難的是記錄，因為和國小逐次減項的記法不相同。第37页，课件共103页，创作于2023年2月x-15-32＝40x-15＝40+32(=72)X＝72+15X＝87可以利用天平說明（已知數使用法碼，未知數使用沙包）。第38页，课件共103页，创作于2023年2月5×3+3x＝21–x引入等量公理前，學童有能力解決上述問題嗎?引入等量公理後，學童有能力解決上述問題嗎?學童必須理解等量公理及未知數定理的意義，才能解決上述問題。第39页，课件共103页，创作于2023年2月多步驟問題的運算次序先乘除後加減由左往右算括號先算上述口訣是處理多步驟問題運算次序的依據，這些口訣是怎樣發展出來的?第40页，课件共103页，创作于2023年2月先乘除後加減是可溝通的語句嗎?是清楚明白的語句嗎?48÷3×4＝48÷12＝4

這樣算的學童，符合先乘除後加減的語意嗎?第41页，课件共103页，创作于2023年2月先乘除後加減。由左往右算。括號先算。它們是三個獨立的口訣嗎?它們是一個被分割記憶的口訣嗎?第42页，课件共103页，创作于2023年2月29-48÷3×4+(3×4-7)=?如果它們是3個獨立的口訣，沒有人知道上述問題的運算次序。它們的優先順序為何?第43页，课件共103页，创作于2023年2月括號先算是數學上的約定。先乘除後加減，由左往右算，是省略括號的約定。只省略了記錄（數學式子）的括號，心中的括號是不可能省略的。第44页，课件共103页，创作于2023年2月何謂先乘除後加減?為什麼不是先加減後乘除?何謂由左往右算?為什麼不是由右往左算?第45页，课件共103页，创作于2023年2月29-48÷3×4+(3×4-7)=?請用一段話(不要提到數字)，告訴學童運算的先後順序。將你的話錄音起來，再放給自己或別人聽聽看!懂得人，可能猜出你說的意思，不懂的人，應該還是不懂。

第46页，课件共103页，创作于2023年2月括號的部份要先算。沒有括號的時候：算式中加減乘除都有時，要先算乘和除的部份。都是加減的時候，要由左往右算，都是乘除時，也要由左往右算。第47页，课件共103页，创作于2023年2月未知數：在真正測量某一屬性之前，已具有潛在的結果。未知數並非真正的未知，只是在尚未確定答案(實施測量)前暫時的未知，所以「定量未知數」一詞更適合未知數。第48页，课件共103页，创作于2023年2月何謂算術？何謂代數？算術與代數有何異同？學童解決的問題是算術問題或是代數問題，必須依據未知數在學童心中所扮演的角色而定。

第49页，课件共103页，创作于2023年2月5+()=85+x=85+甲=8這三題的困難度是否相同?為什麼多數國小學童認為最上面的那一題比較簡單?第50页，课件共103页，创作于2023年2月未知數發展可以區分成三個層次：層次一：一個位置的概念。層次二：傳統的未知數概念。層次三：一個可以運算的數（理解未知數定理的意義）。第51页，课件共103页，创作于2023年2月5+()=8未知數的角色只是一個位置的概念，該位置填入某些數字後，就可以讓算式成立，但是目前不知道可以填入的數字是什麼。第52页，课件共103页，创作于2023年2月5+x=85+甲=8傳統的未知數概念，x或甲代表某一個確定的數字，只是該數字目前未知。第53页，课件共103页，创作于2023年2月如果未知數只是位置的概念或傳統的未知數概念，學童的想法只能算是算術，如果未知數的角色是代表一個可以運算的數，所進行的活動才是代數。第54页，课件共103页，创作于2023年2月算術中的未知數，可能只是一個位置，也可能代表傳統的未知數角色，它們都等待數值的發現。而代數中的未知數，代表一個符號，它擁有其本身數學物件的本值，可以和其它的數進行運算。第55页，课件共103页，创作于2023年2月由未知數是否能像已知數一樣被運作，可以判斷是算術概念還是代數概念。當一個一元一次方程式等號兩邊都有未知數時，才能算是真正的代數問題。第56页，课件共103页，创作于2023年2月算術的解題活動是透過列式，施展一些活動而朝向解答的獲得（並不彰顯量之間的關係，但是實施了關係），代數的解題活動是發現與表示量的關係，並藉由等量公理的運作，把一個等價關係變成另一個等價關係。第57页，课件共103页，创作于2023年2月一個問題，在關係尚未確定（列出方程式）之前，未知數已經是一個不變的量（一個目前未知的已知定量），關係的獲得只在於協助獲得其潛在的結果（求出目前未知的那一個定量），真正未知的是未知單位ｘ與已知單位１之間的關係未知。第58页，课件共103页，创作于2023年2月何謂單位？∞是一個單位嗎?當只是傳統的未知數概念時，未知數ｘ也可以是一個單位嗎？單位：所謂單位是指存在而被稱為１的事物（歐基理德）。第59页，课件共103页，创作于2023年2月二個一數、五個一數、十個一數，三個一數、七個一數。那些是你習慣的數法?請由178開始數數看！第60页，课件共103页，创作于2023年2月你真的會十個一數嗎？那些情形只能夠一個一數？那些情形只能夠十個或百個一數？那些情形可以一個一數，也可以十個或百個一數？第61页，课件共103页，创作于2023年2月物件零散排列時，只能一個一數(最多二個一數)。物件已經每十個放成一堆時，可以一個一數，也可以透過十個一數，讓點數更有效率。點數鈔票(橘色積木或百格板)時，只能十個、百個一數。第62页，课件共103页，创作于2023年2月數數看，圖中有多少個「○」？○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○由1開始，逐一點數到34。先十個一數，再一個一數到34。這兩種數法都為了確定有幾個「○」，而後者比前者有效率。第63页，课件共103页，创作于2023年2月點數較多物件(紙上呈現零散排列)的個數時，你會要求學童每數完10個物件後，畫一個圈，將點數過的物件圈起來嗎？你要求學童畫圈的理由為何？第64页，课件共103页，创作于2023年2月如果學童是由1開始逐一點數，畫圈是鞤他，還是妨礙他點數？想想看，你是怎麼數的？成人將10個物件圈起來，主要的目的是為了方便十個一數。第65页，课件共103页，创作于2023年2月○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○使用10、20、30、31、32、33、34的方式點數有幾個圓圈，點數的過程中，一共點數或使用了幾種單位？第66页，课件共103页，创作于2023年2月以「個」為量詞(1個圓圈為單位)點數一次：一個(或二個)一數！先十個一數，再一個一數！先一個一數，再十個一數！是否只點數了「1個(圓圈)」這一種單位(確定有幾個圓圈)？第67页，课件共103页，创作于2023年2月將「10個」視為「1堆」，再點數一次！1、2、3，３堆1、2、3、4，４個3堆又4個，才是使用或點數兩種單位的數法。第68页，课件共103页，创作于2023年2月當學童能辨識人、蘋果、花片或椅子所成的集合時，因為點數的對像很明確，不會產生混淆。學童由1開始點數有幾個人。當被要求點數蘋果時，學童會重新由1開始點數有幾個蘋果。第69页，课件共103页，创作于2023年2月當學童點數狗有幾隻，狗腿有幾條時，因為點數的對象都是狗，可能發生計數上的混淆。學童解決『1隻狗有4條腿，5隻狗合起來有幾條腿？跑掉1隻狗後，還剩下多少條腿？』時，可能發生計數上的混淆，回答跑掉1隻狗後，還剩下19條腿。第70页，课件共103页，创作于2023年2月當學童面對印度—阿拉伯記數系統的位值概念時，更可能發生計數上的混淆。x、y是兩個數碼(數字)二位數字xy的值是多少?

xy=x+y，xy=10x+y第71页，课件共103页，创作于2023年2月「77」這個數字中，左邊的「7」是右邊的「7」的多少倍？個數的觀點：左邊的7是7個「

」，右邊的7是7個「

」，個數都是7個，所以左邊的7是右邊的7的1倍。第72页，课件共103页，创作于2023年2月點數有7隻豬，點數有7隻螞蟻，雖然豬比螞蟻大很多，但是點數的結果(有幾隻)都是7隻。第73页，课件共103页，创作于2023年2月以「

」為單位描述的觀點：左邊的7是7個「

」，是70，右邊的7是7個『

』，是7，70是7的10倍，所以左邊的7是右邊的7的10倍。換成同單位來（0.1)描述，左邊的7都是右邊的7的10倍。第74页，课件共103页，创作于2023年2月「2.4」：以「1」為單位的記法?以「0.1」為單位的記法？第75页，课件共103页，创作于2023年2月「2.4」公尺：記了多少個「1公尺」，記了多少個「0.1公尺」？任何數字都是以1為單位的記法。第76页，课件共103页，创作于2023年2月「５」............「１」1是1個蘋果，5是5個蘋果。1是1盒蘋果，5是5盒蘋果。1是1箱蘋果，5是5箱蘋果。1盒或1箱有多少個蘋果，不知道！第77页，课件共103页，创作于2023年2月我們只有一套點數系統（數詞或數字序列），單位指的是點數時1所指的物件。當我們點數桌上有多少個蘋果的時候，被1對應的蘋果就是單位（每一個蘋果地位相同），當然，被2，3等對應到的蘋果也是單位。第78页，课件共103页，创作于2023年2月當我們點數2.4公尺長的繩子中有多少個0.1公尺時，被1對應到的0.1公尺就是單位。以0.1公尺為單位，2.4公尺是由24個0.1公尺合成的。2.4公尺是以1公尺為單位的記法。第79页，课件共103页，创作于2023年2月當我們點數桌上有多少堆蘋果時，被1對應到的那一堆蘋果（每一堆蘋果可以都是7個，也可以每一堆蘋果不一樣多，但是要將每一堆蘋果的地位視為相同）就是單位。第80页，课件共103页，创作于2023年2月我們只有一套點數的工具，這一套工具點數的對像都是「1個」，如果點數的結果是「5個」，什麼時候「5個」才會像「1個」一樣，變成可以被點數的單位?例如：1個「5個」，2個「5個」，3個「5個」等等。第81页，课件共103页，创作于2023年2月新的單位必須具備下列四項條件（以「5」為例）：剛開始「5」只是一個集聚單位，「5」是由5個「1」所合成的集合，「5」本身不是一個可以被運作或被計數的單位。第82页，课件共103页，创作于2023年2月要發展單位，必須先複製一個和原來的「5」不一樣的「5」。複製出一個「5」以後，接著可以複製出很多個「5」，當發現這些複製出的「5」，都滿足數量一樣多的等價關係，可以仿照點數有幾個「1」的方法，來點數有幾個「5」，此時，「5」成為一個可以被計數的單位。第83页，课件共103页，创作于2023年2月在點數有幾個「1」和點數有幾個「5」的時候，有時會混淆點數的意義，當不會混淆點數的意義，也就是說：能夠區辨點數時的1，是幾個「1」的1，或是幾個「5」的1時，「5」才真正的成為一個單位。第84页，课件共103页，创作于2023年2月當「5」是一個單位時，「5」也可以和「1」一樣，集聚7個「5」成為一個集聚單位，這個新的集聚單位（「7個「5」」）本身也滿足單位的條件時，稱新的單位（「7個「5」」）為測量單位（「1」組成「5」，「5」組成「7個「5」」）。第85页，课件共103页，创作于2023年2月如何幫助學童將未知數ｘ視為一個可以被計數的單位?如何幫助學童將未知數視為一個與全數或分數一樣的數，可以和其它的數(包括未知數）進形前面所描述的運算性質？第86页，课件共103页，创作于2023年2月未知數的命名活動：ｘ成為一個可以被計數的單位。如何引入「3ｘ」,「-3ｘ」？ｘ成為一個可以被分割的單位。如何引入「x/7」，「3x/7」，「-3x/7」？第87页，课件共103页，创作于2023年2月未知數的運算：未知數和未知數的運算。未知數和全數或分數的運算。第88页，课件共103页，创作于2023年2月未知數和未知數的運算如何引入：「3ｘ＋7x」「13ｘ-7x」「3x×7x」「3x÷7x」「3ｘ＋7y」「13ｘ-7y」「3x×7y」「3x÷7y」第89页，课件共103页，创作于2023年2月未知數和全數或分數的運算：如何引入「ｘ＋2」,「3－x」「ｘ×2」,「ｘ÷3」「2×ｘ」,「3÷ｘ」第90页，课件共103页，创作于2023年2月在有未知數的問題中，已知數的單位「1（例如1元）」和未知數ｘ的單位「壹（例如1個ｘ）」，都是可以被計數的單位，只是已知數的單位「1（1元）」，和未知數ｘ的單位「壹（1個ｘ）」，是不同的兩個單位，無法同時計數。第91页，课件共103页，创作于2023年2月3元和2元可以計數，3個ｘ和2個ｘ也可以計數，但是3元和2個ｘ無法合併計數(單位不相同）。在未知數問題中，未知的是「1（1元）」和「壹（